Transcript lec5.ppt
עבודה ואנרגיה
עבודה ואנרגיה במרחב
נתייחס לשלושה מושגים:
כוח
עבודה
אנרגיה
תחילה נגדיר את הגדלים ולאחר מכן נעמוד על הקשרים
ביניהם.
נתחיל בהסתכלות בבעיה פשוטה .נסתכל בגוף שמסתו m
ואשר מרחף במרחב הבין-גלקטי .במלים אחרות לא פועלים
כוחות חיצוניים עליו ולכן הוא נע במהירות קבועה.
בזמן t = 0מפעילים עליו כוח חיצוני Fextקבוע בכיוון תנועתו.
לשם פשטות נניח כי המהירות והכוח החיצוני בכיוון ציר . x
חישוב המהירות כפונקציה של הזמן
נמצא כיצד כוח קבוע כזה משפיע על
מהירות הגוף .עפ"י החוק השיני של
ניוטון הגוף ינוע בתאוצה קבועה בפרק
הזמן ) (0, tוקיים:
dv
Fext = ma = m
dt
1
dv = Fext dt
m
v
t
1
'v dv' = m Fext 0 dt
0
1
v t - v t = 0 = Fext t-0
m
Fext
כאשר ) v0 = v(t = 0המהירות
v t = v0 +
t
m
התחילית של הגוף.
מושג המתקף
הפעלת כוח על גוף משנה את התנע וקיים הנ"ל:
mv - mv0 = Fext t
מתקף
השינוי בתנע
הגדרה :המכפלה של הכוח באינטרוול זמן פעולתו מוגדר
כמתקף.
J = Fext t
המתקף Jשווה לשינוי התנע של החלקיק באינטרוול (.)0,t
באופן כללי :אם Fextתלוי בזמן :המתקף מוגדר כ-
t
' F t' dt
ext
J
0
הכוח שמופעל על mמשנה את התנע הליניארי של m
והשינוי שווה למתקף שהכוח מוסר לחלקיק בפרק הזמן של
פעולתו.
חישוב הדרך כפונקציה של הזמן
לחישוב מסלול התנועה נשתמש
בהגדרת המהירות:
dx
= vt
dt
dx = v t dt
t
x
0
x0
' dx' = v t' dt
ע"מ לקבל ביטוי מפורש ל x(t) -עלינו להציב ביטוי מפורש
ל v(t) -ולבצע אינטגרציה בגבולות המתאימים.
Fext 2
x t = x 0 + v0 t +
t
2m
:נציב את הביטוי
1
x t - x 0 = v 0 + Fext
t' dt' =
m
0
t
= v 0 t' 0
t
Fext t'
+
m 2
2 t
Fext
v t = v0 +
t
m
0
את מקוםx0 -וסמנו ב
.t = 0 החלקיק בזמן
t נכתוב את הביטוי האחרון בצורה נוחה יותר ע"י הצבת
.מהנוסחה של המהירות
m
t=
v - v0
Fext
Fext m
m
x - x0 =
v - v0 v0 +
v - v0
Fext
2m Fext
m
1
=
v - v0 v0 + v - v0
Fext
2
v + v0
m
1 m 2 2
=
=
v - v0
v - v0
Fext
2
Fext 2
מצאנו אפוא את הביטוי הבא:
m 2 2
= v - v0
2
שני גדלים סקלרים חדשים:
– Kאנרגיה קינטית
– Wעבודה
Fext x - x 0
m 2
=K
v
2
W = Fext x - x 0
W = K - K0
הגדרה :האנרגיה הקינטית של הגוף הנה מחצית המכפלה
של מסת הגוף בריבוע מהירותו.
הגדרה :העבודה שמבצע כוח קבוע על גוף תוגדר כמכפלה
של רכיב הכוח המקביל לכוון תנועתו באורך המסלול.
m 2 2
= v - v0
2
Fext x - x 0
העבודה שמבצע כוח חיצוני על גוף לאורך דרך שווה לשינוי
באנרגיה הקינטית של הגוף; במילים אחרות כוח שפועל על
גוף יכול לשנות את האנרגיה הקינטית של הגוף.
אנרגיה ועבודה-יחידות ומימדים
יחידת עבודה/אנרגיה :ג'אול ()Joule
הג'אול שווה לעבודה שנעשית ע"י כוח קבוע שעוצמתו 1 N
הפועל לאורך דרך של .1 m
)1 Joule = 1 N m=1 (kg m2/s2
מימדים:
][W] = [Force] [distance
]= [mass] [acceleration] [distance
= M (L/T2( L = M L2 / T2
בשיטת היחידות CGSיחידת האנרגיה הנה הארג
) ,(ergוהיא מוגדרת כעבודה שמבצע כוח שעוצמתו
דין ) (dyneאחד לאורך דרך של ס"מ אחד.
)1 erg = 1 (gr cm2/s2
1 Joule = 107erg
הערות פרקטיות
אם כוח פועל על גוף בכוון תנועתו
תהיה העבודה שהכוח מבצע על
הגוף שווה למכפלה של הכוח
בגודל ההעתק.
v
F
אם כוח פועל על גוף בזוית ө
ביחס לכוון תנועתו ,נפרק את
הכוח לרכיב מקביל FIIולרכיב
ניצב ┴ .Fהעבודה תהיה שווה
במקרה זה למכפלה של הרכיב
המקביל בגודל ההעתק.
F
v
θ
F┴ = F sinθ
Y
v
θ
X
FII= F cosθ
θ
F
עבודה – הגדרה פורמאלית
Y
θ
F┴ = F sinθ
θהיא הזווית בין הכוח לבין
ההעתק
רכיב הכוח שהוא ניצב לכיוון
תנועת החלקיק אינו מבצע
עבודה.
הגדרת העבודה כמכפלה
סקלארית של הכוח בהעתק
X
כוללות את כל האפשרויות,
עבור ), dr=(dx,dy,dz
)F=(Fx,Fy,Fz
FII= F cosθ
W = F dr = Fxdx + Fy dy + Fz dz
W = FIIdr
העבודה שווה למכפלה של
רכיב בכוח שמקביל להעתק
בהעתק.
W = F(dr)II
העבודה שווה למכפלה של
הכוח ברכיב ההעתק במקביל
לכוח.
F
F
מקרים פרטיים:
העבודה חיובית אם הכוח פועל בכיוון ההעתק
F>0 , dr>0
W = Fdr > 0 , cos = 1 ,
F<0 , dr<0
העבודה שלילית אם הכוח פועל בכיוון הפוך להעתק
F<0 , dr>0
W = Fdr > 0 , cos = -1 ,
F>0 , dr<0
הכוח פועל בניצב להעתק dr
W = Fdr = 0 , cos = 0
N
מקרים שבהם העבודה הנה אפס.
v
m
T
T
m
m
v
כוח מרכזי כוח שואף מרכז
(צנטריפטלי) אינו מבצע
עבודה כי ההעתק ניצב לכוח.
Fc
עבודה שמבצע כוח משתנה
• האינטגרל מבטא את השטח
מתחת לעקומה של הכוח
כפונקציה של הדרך.
.1אם ידוע הכוח כפונקציה של
,xנבצע אינטגרציה אנליטית
או נומרית.
FII
x
x2
x1
dW = F(r) dr = F (x)dx
.2אם נתון גרף של Fכפונקציה
של הדרך נחשב את השטח
מתחת לעקומה בגבולות
x
המתאימים ונתמיר את השטח W x1 x 2 = dW = F x dx
x
לשווי ערך מתאים של עבודה.
בעיה חד מימדית
2
1
הגדרה דיפרנציאלית:
dW = F(r)·dr
העבודה לאורך העתק אינפיניטסימלי dr
) -F(rמייצג ערך יציג של הכח בקטע ( ;)r,r+drבגבול ,dr0
) F(rיהיה הכוח בנקודה .r
הגדרה אינטגרלית :העבודה שמבצע הכוח לאורך מסלול C
בין הנקודות ① ו ② -שווה לאינטגרל רימן.
W 1 2 F dr
C
2
F x,y,z dx + F x,y,z dy + F x,y,z dz
z
y
x
1
עבודה בשדה כוח קבוע -נפילה חופשית
גוף נופל ממנוחה מגובה . hבזמן
t=0מהירותו ; v0=0והוא בגובה
. x=h
על הגוף פועל כוח הגרביטציה
Fg = -mgשכוונו כלפי מטה בכוון
נפילת הגוף .במצב הסופי
המהירות ) ;v(tוגובה הגוף מפני
הארץ .x=0
h
Y
0
חישוב
Wg = K f - K i
1
1
2
2
Fg x - x 0 = mv - mv 0
2
2
1
- mg 0 - h = mv 2 - 0
2
1
mgh = mv 2
2
בגובה hלגוף אנרגיה פוטנציאלית בשיעור mghביחס לפני
הארץ; כאשר הגוף נופל מגובה hלגובה 0האנרגיה
הפוטנציאלית הופכת לאנרגיה קינטית.
עבודה בשדה כוח-הגבהת גוף מפני הארץ לגובה h
על מנת להעלות גוף מגובה 0לגובה hיש להפעיל
כוח חיצוני שכיוונו כלפי מעלה,
Fext = - Fg = mg
העבודה שמבצע Fextעל הגוף:
Wext = Fext (x - x 0 ) = mg (h - 0) = mgh
העבודה ש Fext -ביצע על הגוף הפכה לאנרגיה פוטנציאלית
בשיעור .mgh
העבודה שדרושה להעלות גוף מפני הארץ לגובה hשווה
לעבודה שמבצע כוח הכבידה על הגוף כאשר הגוף נופל
מגובה x0=hאל פני הארץ בגובה .x=0
נניח עתה כי גוף נופל מגובה התחלתי x0ומהירות
תחילית v0לגובה xומהירות .v
Wg = K
1
] - mg (x - x 0 ) = [mv 2 - mv02
2
1
1
2
Mgx 0 + mv0 = mgx + mv 2
2
2
סכום אנרגיה קינטית
ופוטנציאלית בגובה x
סכום אנרגיה קינטית
ופוטנציאלית בגובה x0
xכלשהו ולכן עבור גובה כלשהו :
1
mgx + mv 2 = E ; E = const
2
הגדרה E :אנרגיה הכללית של הגוף.
האנרגיה הכללית של הגוף הינה גודל קבוע בזמן.
V(x) = mgx
1
K = mv 2
2
נסמן :אנרגיה פוטנציאלית:
אנרגיה קינטית
פונקצית האנרגיה
האנרגיה הפוטנציאלית תלויה בכוח שפועל גל הגוף.
1
E = V(x) + mv 2
2
עבור כבידה U g = mgx xגובה mמנקודת יחוס.
למקרה של כוח אלסטי
Fe = - kx
כוח שמפעיל קפיץ.
Fext = - Fe = kxכוח חיצוני שיש להפעיל על קצה הקפיץ כדי
למתוח אותו בשיעור xביחס לאורכו במצב שיווי משקל
x
x
1 2
We = Fext dx' = kx'dx' = kx
2
0
0
2
kx
= Ue
2
Ueמבטא את העבודה שהכוח החיצוני מבצע על mעל מנת
לשנות את אורך הקפיץ בשיעור xביחס למצבו הרפוי.
m
x0
m
x+x0
m
x0
m
x+x0
x-x0
2x
באופן כללי :אם חלקיק נמצא בשדה כוח ) F(xכלשהו כי אז
על מנת להעבירו ממקום התחלתי x0אל מקום xיש לבצע
עבודה על הגוף (כנגד הכוח )Fבשיעור :
x
' F(x')dx
x
(x')dx' = -
F
ext
x0
= W x0 x
x0
W x0 x = U x - U x0
או
x
' F(x')dx
x0
U x = U x0 -
השינוי באנרגיה הפוטנציאלית כאשר גוף משנה את מקומו
ממצב התחלתי x1אל מצב x2יהיה איפוא
U x 2 - U x1
x F(x')dx'
0
x1
- F(x')dx' - U x 0
x1
x2
= U x0
x1
x2
x0
x0
' F(x')dx' + F(x')dx
=-
ההפרש אינו תלוי ב x0-ולפיכך אין חשיבות לבחירת x0אם
אנו מעוניינים לחשב הפרשים של האנרגיה הפוטנציאלית
בשתי נקודות התוך השדה.
לשם פשטות נבחר נקודת ייחוס שבהU(x0)=0 :
כך ש-
x
' F x'dx
x0
Ux = -
הגדרה :האנרגיה הפוטנציאלית בשדה הכוח ) F(xמוגדר
באינטגרל
x
' F x' dx
Ux = -
x0
זוהי הגדרה אינטגראלית
כדי לקבל הגדרה דיפרנציאלית נחשב את השינוי
באנרגיה הפוטנציאלית במעבר x x + dxכאשר
dxהעתק אינפיניטסימאלי.
dU = U x+dx - U x = -
x+dx
x0
=-
F x' dx' -
x+dx
x0
x+dx
x0
x
x
x F x' dx'
0
x
F x' dx' - F x' dx' = - F x' dx'
)) כמוהו כהחלפת גבולות האינטגרציה-1(-(כפל אינטגרל ב
dx0 בגבול
dU = - F x' dx
dU
Fx = dx
או
הכוח שפועל על גוף שווה לקצב השינוי של האנרגיה
הפוטנציאלית שיש לגוף לפי המקום.
בכל מקרה הכוח Fשפועל על הגוף נובע מאינטראקציה
פנימית כגון כבידה ,כוח אלקטרומגנטי או כוח קפיץ.
הכללה :כוח Fintכלשהו והזזה drבכיוון כלשהו בתוך שדה
הכוח.
dW = Fext dr = - Fint dr
B
או
W A B = - Fint r dr
A
האינטגרל נקרא אינטגרל קווי של הכוח בגבולות AוB-
B
Fext = - Fint
Fint r
A
r
תנועה במרחב חופשי מאינטראקציות .כאשר מזיזים גוף
מנקודה Aלנקודה Bע"י הפעלת כוח חיצוני Fextעל הגוף
נעשית עבודה על הגוף השווה לאינטגרל הקווי לאורך מסלול
תנועתו.
dv
=m
dt
B
B
Fext
B
dv
dr
W A B = Fext dr = m dr = mdv
dt
dt
A
A
A
1
1
2
2
= mv B - mv A
2
2
vB
vA
B
B
1
1
2
mv dv = m d v v = mv
2 A
2
A
1
1
2
2
W A B = mv B - mv A = k B - k A
2
2
העבודה שנעשית על הגוף חופשי ע"י כוח חיצוני כלשהו
שמופעל עליו שווה לשינוי באנרגיה הקינטית של הגוף.
כוחות משמרים
כוח הינו משמר אם העבודה
( W)A--<Bשמבצע הכוח על
()4
אל
A
מנקודה
בהעתקתו
גוף
()2
()3
נקודה Bב"ת במסלול התנועה
של הגוף.
העבודה שמבצע כוח משמר
()1
לאורך כל אחד מן המסלולים
A
( )1(-)4הנו זהה .העבודה תלוי
אך ורק בנקודה התחלתית ()A
וסופית (.)B
מתוך הגדרתהW A B = -W B A :
העבודה שמבצע כוח משמר לאורך מסלול סגור שווה לאפס.
B
W A B + W B A W A A 0
כוחות מרכזיים
הכוח שמפעיל חלקיק 1על חלקיק 2הנו כוח מרכזי אם גודל
הכוח הנו פונקציה של המרחק בין החלקיקים וכיוונו מונח על
הישר שמחבר את החלקיקים.
ˆFc = f |r| r
הגדרה מתמטית :
כוח הגרביטציה העולמי הינו כוח מרכזי ומשמר.
ˆ Gm1m 2
FG =
r
2
r
הכוח האלקטרוסטאטי בין שני מטענים נקודתיים במנוחה
הנו כוח מרכזי ומשמר.
ˆ
r
kq1q 2
Fel = 2
r