Transcript lnotes7.ppt
אנרגיה קינטית ועבודה באולימפיאדה בשנת 1996הושג שיא בהנפה של 260ק"ג (הרמה מעל הראש) .בשנת 1957נכנס פול אנדרסון מתחת למשטח ,הניח את ידיו על שרפרף והרים את המשטח בעזרת כתפיו .על המשטח היו חלקי מכוניות וכספת מלאה עופרת במשקל כולל של 27900ניוטון. מי עשה יותר עבודה בהרמת המשקל? אנרגיה באופן עקרוני בעיות תנועה ניתנות לפתרון בעזרת חוק IIשל ניוטון .בעזרת חוק זה מוצאים את התאוצה ,ואז בעזרת אינטגרציה פותרים את משואות התנועה ותנאי ההתחלה ומוצאים את המהירות והמיקום. m d2r / dt2 = m a = F v(t) = ∫a(t) dt r(t) = ∫v(t) dt יש כמה בעיות עם הגישה הזאת .1לא תמיד הכוח ידוע .2גם אם הכוח ידוע לא תמיד ניתן לפתור את משואות התנועה. .3הניתוח של התנועה דורש פרטים שלא תמיד ידועים. לדוגמה גוף מחליק במורד מישור משופע שיש לו עליות ומורדות .לא נוכל למצוא ,ממשואות התנועה מה תהיה מהירותו כשיגיע לקצה המישור. התברר עם השנים שיש טכניקה לטיפול בבעיות אלו .התברר שהטכניקה הזו שימושית גם במקרים בהם אין תנועה ,כמו למשל ריאקציות כימיות או לסיטואציות של פונקציות ביולוגיות או תהליכים גיאולוגים. לטכניקה הזו קוראים אנרגיה. אנרגיה מופיעה בצורות רבות וקשה למצוא לה הגדרה מדויקת .ברור כי אנרגיה היא גודל סקלרי המתאר מצב של גוף אחד או צבר של גופים. אנרגיה היא מספר (סקלר) הקשור לקבוצת גופים .הפעלת כוח משנה למשל את מהירותו של אחד הגופים והאנרגיה של המערכת משתנה. התברר גם שאם מגדירים את האנרגיה בזהירות ,אפשר ,במקרים רבים, לנבא תוצאות של ניסויים. אחת הצורות של אנרגיה היא אנרגיה קינטית הקשורה למצב התנועה של הגוף .ככל שהוא נע יותר מהר האנרגיה הקינטית יותר גבוהה .במצב נייח האנרגיה הקינטית היא אפס. K = ½mv2 [K] = kg (m/s)2 = Joule 1 Joule = 107 erg הערה :הגדרה זו של אנרגיה קינטית תופסת רק במהירויות הקטנות מאוד יחסית למהירות האור. עבודה כאשר פועל על גוף כוח הוא מגדיל את מהירות הגוף ולכן מגדיל את האנרגיה הקינטית שלו .הכוח העביר אנרגיה ממקור הכוח לגוף. העברת אנרגיה דרך הכוח קרויה עבודה .W ,העבודה Wחיובית אם אנרגית הגוף גדלה ושלילית אם היא קטנה. עבודה Wהיא העברת אנרגיה. לעשות עבודה פרושה להעביר אנרגיה. יחידת העבודה גם היא ג’ול )(Joule חרוז נע על תיל מרחק dבהשפעת כוח קבוע .Fתוך כדי כך מהירותו משתנה מ- v0ל .v -מהי עבודת הכוח? ax = Fx/m v2 -v02 = 2Fxd/m d F x v Fx = max v2 =v02 + 2axd ½mv2 - ½mv02 = Fxd W = Fxd W = F cos d W = F•d הערות: .1הוכחה זו תופסת לגבי כוח קבוע בלבד. .2הגוף חייב להיות קשיח .כל חלקיו חייבים לנוע יחד. [W] = new .m = kg m/s2 .m = kg (m/s)2 = Joule v0 סיכום .1לחישוב העבודה הנעשית על גוף ע"י כוח לאורך העתק יש צורך להשתמש רק ברכיב הכוח לאורך ההעתק. .2הרכיב המאונך להעתק אינו מבצע עבודה .3הכוח עושה עבודה חיובית אם יש לו רכיב בכיוון ההעתק ,ועבודה שלילית אם הרכיב מנוגד להעתק. משפט העבודה – אנרגיה קינטית אם כוח עושה עבודה Wעל גוף וכתוצאה מכך השתנתה האנרגיה הקינטית ב K -אזי קיים K = Kf – Ki = W דוגמה בזמן סערה דוחפת הרוח ארגז לאורך העתק d = -3iבכוח הנתון ע"י F = 2i –6j כאשר הכוח ניתן בניוטון וההעתק במטרים. F d מהי העבודה שעושה הכוח? W = F•d = ( 2i – 6j) •(-3i) = -6 Joule האנרגיה הקינטית ההתחלתית של הארגז היא .10Jמהי האנרגיה הקינטית הסופית? Kf – 10 = -6 Kf = 4 J עבודה הנעשית ע"י כוחות גרביטציוניים v כדור שמסתו mנזרק כלפי מעלה במהירות התחלתית .v0כלפי מטה פועל רק הכוח הגרביטציוני .mg d העבודה שעושה כוח הגרביטציה Wg = mgd cos = -mgd mg mg העבודה שלילית כיון שהגוף נע בניגוד לכיוון כוח הגרביטציה .הכוח הגרביטציוני מעביר אנרגיה בכמות mgdמהאנרגיה הקינטית. לעומת זאת אחרי שהגוף הגיע לשיא הגובה והוא מתחיל ליפול העבודה תהיה Wg = mgd הכוח הגרביטציוני מעביר עכשיו אנרגיה לאנרגיה הקינטית של הגוף. v0 נניח שאנו מרימים אנכית גוף ע"י הפעלת כוח אנכי .Fהכוח עושה עבודה חיובית W aבזמן שהגרביטציה עושה עבודה שלילית .W g השינוי באנרגיה הקינטית K = Kf – Ki = Wa + Wg אם אין שינוי באנרגיה הקינטית ,כלומר לגוף יש אותה מהירות לפני ואחרי ההרמה Wa + Wg = 0 Wa = - Wg העבודה שעושה הכוח החיצוני היא הערך השלילי של העבודה הנעשית ע"י כוח הגרביטציה. Wa = -mgd cos F F d mg = 180° הרמה הנמכה d mg = 0° נחזור לספורטאים. זוכה מדלית הזהב הרים 260ק"ג לגובה של 2מטר .העבודה שעשה כוח הגרביטציה Wg = mgd cos = 2548 • 2 • cos 180 = -5100 העבודה שעושה הספורטאי היא 5100ג’ול. פול אנדרסון הרים 27900ניוטון לגובה של 1ס"מ .העבודה שהוא עשה Wa = -Wg = - mgd cos = - 27900 • 0.01 • (-1) = 280J עבודה של כוח משתנה אם הכוח הפועל על הגוף איננו קבוע אלא משתנה. זהו מקרה של כוח משתנה בממד אחד .הגרף מתאר את ערכו של רכיב ה – xשל הכוח הפועל. הוא תלוי במיקום הגוף ,והוא פועל כאשר הגוף נמצא בין xiל – . xf כיון שאיננו קבוע ,אנו מחלקים את המסלול לקטעים קטנים x שלאורכם הכוח כמעט קבוע, וערכו לאורך הקטע ,jניתן ע"י .Fj,avg עבודת הכוח לאורך אותו קטע תהיה Wj = Fj,avg xj וזהו שטח המלבן .j העבודה שעושה הגוף היא סכום העבודות לאורך הקטעים השונים. W = Wj = Fj,avg xj זהו שטח כל המלבנים והוא שווה בקירוב לשטח שמתחת לעקומה. נוכל כעת להקטין את הגודל של כל קטע ושטח המלבנים ילך ויתקרב לשטח מתחת לעקומה. W = lim Fj,avg xj = F(x)dx xj o קפיץ כדי למתוח או לכווץ קפיץ צריך להפעיל כוח .ככל שהקפיץ מתוח או מכווץ יותר צריך להפעיל יותר כוח להמשך הפעולה .הקפיץ מפעיל כוח מחזיר, למצב שיווי המשקל והביטוי המתמטי ניתן ע"י F = - kx כאשר xהוא מידת המתיחות או הכיווץ של הקפיץ ביחס למצב שווי המשקל המוגדר בתור .x = 0הכוח תמיד מנוגד להעתק. kהוא קבוע הכוח של הקפיץ והוא נותן את גודל הכוח הדרוש למתיחת או כיווץ הקפיץ במטר אחד. העבודה שעושה הקפיץ בשינוי אורכו מ xi -עד xjתהיה xf Ws = (-kx)dx = ½kxi2 - ½kxf2 xi אם ההתארכות הסופית קרובה יותר לנקודת שיווי המשקל מההתארכות ההתחלתית אזי העבודה חיובית .אם xi = 0העבודה תהיה Ws = - ½kx2 אם פועל כוח חיצוני Faעל הקפיץ ואורך הקפיץ משתנה ב – .xבמשך אותה פעולה הכוח החיצוני עושה עבודה .W a השינוי באנרגיה הקינטית יהיה K = Kf – Ki = Wa + Ws ובהנחה שהאנרגיה הקינטית אינה משתנה Wa = -Ws דוגמה גוף מונח על משטח חסר חיכוך ,וקשור לקצהו של קפיץ החופשי להתנדנד. כוח בן 4.9Nדרוש להחזיק את הקפיץ במנוחה כאשר . x1 = 12 mm כמה עבודה עושה הקפיץ על הגוף אם הוא נמתח ממצב שווי משקל עד ל .x2 = 17 mmk = - F/x1 = - (-4.9)/ 0.012 = 408 N/m Ws = -½kx22 = -½ • 408 • 0.0172 = -0.059 J הגוף מוזז ל .x3=12 mmכמה עבודה עושה הקפיץ? Ws= ½kxi2 - ½kxf2 = ½ • 408 • (0.0172 – 0.0122 ) = 0.03J דוגמה גוף שמסתו 400גרם נע במהירות ,v = 0.5 m/sודוחס קפיץ שקבוע הכוח שלו .k = 750 N/mבכמה מתכווץ הקפיץ כאשר הגוף נמצא במנוחה רגעית. Kf – Ki = Ws = -½kd2 0 - ½mv2 = -½kd2 d = ± v(m/k)½ = ±0.012 m משפט העבודה – אנרגיה קינטית עבור כוח משתנה xf xf xi xi W = F(x)dx = ma dx ma dx = m(dv/dt)dx dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v(dv/dx) ma dx = m(dv/dx)v dx = mv dv vf W = mv dv = ½mvf2 - ½mvi2 vi W = Kf – Ki כלומר .בדיוק אותה תוצאה כמו במקרה של כוח קבוע ניתוח תלת ממדי של העבודה F = Fxi + Fyj + Fzk dr = dx i + dy j + dz k dW = F•dr = Fxdx + Fydy + Fzdz zf yf xf rf zi yi xi ri W = F•dr = Fxdx + Fydy + Fzdz דוגמה כוח של F = 3x2i + 4jפועל על חלקיק ומשנה רק את האנרגיה הקינטית שלו .כמה עבודה עושה הכוח כשהחלקיק נע מנקודה ) ( 2 , 3לנקודה ( ) .3 , 0 0 3 W = 3x2dx + 4dy = 7 J 3 2 הספק לעתים חשוב לדעת את קצב עשיית העבודה .עלייה וריצה לגובה של 3 קומות דורשות מגופנו את אותה עבודה אבל הריצה הרבה יותר קשה. ההספק מוגדר כקצב עשיית העבודה. P = dW/dt [P] = J/s = watt חשמל משלמים לפי קילוואט שעה 1 kW • hour = 1000 watt • 3600 s = 3.6x106 J בכמות העבודה הזאת אפשר להרים משקל של טון לגובה של 360מטר! W = 1000 • 10 • 360 = 3.6x106 J אם כוח קבוע (בזמן) Fפועל על גוף ,והגוף נע במהירות קבועה (קטר מושך רכבת). P = dW /dt =F cos dx/dt = F cos v = F•v ואם המהירות משתנה הביטוי לעיל נותן את ההספק הרגעי.