Transcript lnotes3.ppt
וקטורים רוב הגדלים בפיסיקה מתחלקים לשתי קטגוריות :סקלרים ווקטורים. הסקלרים הם גדלים שאין להם כוון כגון מסה ,טמפרטורה ,מטען חשמלי, מרחק (לא העתק) וכדומה. וקטורים הם גדלים בעלי כוון .לא כל גודל בעל כוון הוא וקטור .וקטורים חייבים לקיים תנאי נוסף. שלושת הוקטורים האלו שווים כיון שיש להם אותו גודל ואותו כוון .אם הם מסמלים העתק ההעתק הוא הוקטור . ABהקו העקום היא הדרך שהגוף עבר מ A -ל . B - A B חיבור וקטורים s=a+b b a s חוק החילוף a+b=b+a חוק הקיבוץ ) ( a + b ) +c = a + ( b + c הפרדת וקטור לרכיביו נעשית במערכת צירים ישרת זווית הנבחרת לפי הצורך כדי שתתאים לסימטריה ולדרישות הפיסיקליות. y a כווני הרכיבים הם ככווני הוקטור ax .ו- ayהם חיוביים כיוון שהוקטור נמצא ברביע x ax הראשון. a = ax + ay ay = a sin ax = a cos a = (ax2 + ay2)½ tan = ay / ax וקטורי יחידה וקטור יחידה הוא וקטור שאורכו בדיוק 1 ומצביע על כיוון מסוים .במיוחד הכיוונים הצירים המסוימים שנשתמש הם כיווני מערכת y x, y, zהמסומנים .i, j, k ay z k j i x חיסור וקטורים חיסור וקטורים נעשה על ידי הפעולה הבאה )a – b = a + (-b -a a כדי לחסר את bמ a -מחברים את -b רכיבים של וקטורים סכום של שני וקטורים מוגדר באופן חד ערכי .לעומת זאת אפשר לפרק וקטור לשני רכיבים באין סוף דרכים. a הצגת הוקטור בעזרת רכיביו תהיה a = ax i + ay j + az k חיבור וקטורים אנו יודעים לחבר וקטורים הצורה גרפית .בעזרת הרכיבים ,ניתן לבצע חיבור של הרכיבים שהוא חיבור של סקלרים. c=a+b את פעולת החיבור מבצעים a c cx = ax + bx cy = ay + by cz = az + bz c = cxi + cyj +czk כאשר הרכיבים cx , cy, czיכולים להיות חיוביים או שליליים. הצגה של וקטור בעזרת רכיביו תלויה בבחירת מערכת הצירים .בחירה של מערכת צירים אחרת משנה רק את הצגת הוקטור ולא את הוקטור עצמו. y ’x x ’ ax ax ay ’y ’ay ½ ) a = ( ax2 + ay2 )½ = ( ax’ 2 + ay’ 2 ’ = - בחירת מערכת הצירים אינה משנה את גודל הוקטור .הוא בלתי תלוי בבחירת מערכת הצירים ,עובדה המשאירה לנו חופש רב בבחירת המערכת. כפל של וקטורים .1מכפלה של וקטור בסקלר b=a משמעותו :גודלו של bגדול פי מגודלו של .aאם > 0הוא מקביל ל- aואם < 0הוא בכוון הפוך ל.a - .2מכפלה סקלרית של וקטורים a ab = abcos = ab cos התוצאה היא סקלר .היא מופיעה בפיסיקה לעיתים קרובות .למשל בהגדרת העבודה. a משמעותה היא מכפלת aבהיטל של bעל .a b )ab = a (b cos ולהפך מכפלת bבהיטל של aעליו. )ab = b (a cos b כאשר הזווית בין הוקטורים = 0ºאזי ההיטל הוא מקסימלי וערכה של המכפלה הוא מקסימלי .כאשר = 90ºאין היטל וערכה של המכפלה הוא אפס. i•i=j•j=k•k=1 i•j=i•k=j•k=0 לפי ההגדרה ) a • b = ( axi + ayj + azk ) • ( bxi + byj + bzk = ax bx + ay by + az bz ואורכו של וקטור aיהיה ) a • a = ( ax2 + ay2 +az2 דוגמאות .1זווית בין שני וקטורים ניתנת על ידי cos = a • b / ab מהי הזווית בין הוקטורים a = 3i – 4j b = -2i +3k תשובה 110° .2נתון משולש .אפשר להציגו כסכום של שני וקטורים b c=a+b )c•c=(a+b)•(a+b ) c2 = a2 + b2 + 2ab cos (180 - c2 = a2 + b2 - 2ab cos a c מכפלה וקטורית זוהי מכפלה בין שני וקטורים הנותנת וקטור. c=ab c = ab sin = ab sin c b a זהו שטח המקבילית המוגדרת על ידי aו .b - אם שני הוקטורים מקבילים – התוצאה היא אפס כיוונו של cמתקבל על ידי סבוב של aלכיוון של .bכיוון ההתקדמות של בורג ימני נותן את כוון .c j i = -k ii=0 ij=k a b = -b a k j = -i jj=0 jk=i i k = -j k k = 0 ki=j = ) a b = ( axi + ayj +azk ) ( bxi + byj + bzk = ( aybz – azby )i + ( azbx – axbz )j + ( axby – aybx )k ab = i j k ax ay az bx by bz דוגמה a b c c=a+b ca=aa+ba ca sin = ba sin (180 - ) = ba sin c / sin = b / sin שימושים של מכפלה וקטורית a שטח המקבילית שצלעותיה הם הוקטורים aו- bניתן ע"י S=axb γ b axb נפח של מקבילון שמוגדר ע"י הוקטורים a, b, c יהיה c a V=axb·c a x bנותן את שטח הבסיס .הוקטור שהוא מייצג נותן את הגובה. המכפלה הסקלרית בוקטור cנותנת שטח הבסיס כפול הגובה. b s