Slide 1

‫טריגונומטריה – מעגל היחידה‬
‫הגדרת הפונקציות ‪ Sin‬ו‪Cos -‬‬
‫וחישוב ערכן עבור זוויות שונות‬

‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬


Slide 2

‫הגדרת הסינוס והקוסינוס ‪ -‬רביע ראשון‬
‫‪Sin‬‬

‫‪0    90‬‬

‫‪0  S in   1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0  C os  1‬‬

‫‪S in ‬‬

‫‪Cos‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪C os‬‬

‫‪-1‬‬
‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬


Slide 3

‫הגדרת הסינוס והקוסינוס ‪ -‬רביע שני‬
‫‪Sin‬‬

‫‪90    180‬‬

‫‪0  S in   1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1  C os  0‬‬

‫‪S in ‬‬

‫‪Cos‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C os‬‬

‫‪-1‬‬
‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬

‫‪-1‬‬


Slide 4

‫הגדרת הסינוס והקוסינוס ‪ -‬רביע שלישי‬
‫‪Sin‬‬

‫‪180    270‬‬

‫‪ 1  S in   0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1  C os  0‬‬

‫‪Cos‬‬

‫‪‬‬

‫‪C os‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪S in ‬‬

‫‪-1‬‬
‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬


Slide 5

‫הגדרת הסינוס והקוסינוס ‪ -‬רביע רביעי‬
‫‪Sin‬‬

‫‪270    360‬‬

‫‪ 1  S in   0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0  C os  1‬‬

‫‪C os‬‬

‫‪Cos‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪S in ‬‬

‫‪-1‬‬
‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬


Slide 6

‫סיכום – סימני הסינוס והקוסינוס בכל רביע‬
‫‪Sin‬‬
‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪- +‬‬
‫‪Cos‬‬

‫‪1‬‬

‫‪+ +‬‬
‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪- +‬‬
‫‪-1‬‬
‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬

‫‪-1‬‬

‫‪-‬‬

‫‬‫‪-1‬‬


Slide 7

‫‪Java Applets‬‬
‫‪‬‬

‫קישור ליישום אנימציה‬
‫ חישוב ערכי הפונקציה ‪ Sin‬לכל זווית‬‫‪ -‬חישוב ערכי הפונקציה ‪ Cos‬לכל זווית‬

‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬


Slide 8

‫סינוס וקוסינוס של זויות שהן כפולות של ‪90‬‬
‫‪Sin‬‬

‫‪Cos‬‬

‫‪360‬‬

‫‪270‬‬

‫‪180‬‬

‫‪90‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S in ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C os‬‬

‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬


Slide 9

‫סינוס וקוסינוס של זווית בת ‪30‬‬
‫במשולש זהב‬
‫) ‪(3 0 , 6 0 , 9 0 ‬‬

‫‪Sin‬‬

‫‪1‬‬

‫הניצב מול ה‪3 0  -‬‬

‫‪S in3 0  ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫שווה למחצית היתר‪.‬‬

‫‪1‬‬

‫‪Cos‬‬

‫‪S in3 0 ‬‬

‫‪30‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪C o s3 0 ‬‬

‫לפי פיתגורס‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬

‫‪(C o s3 0  ) ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪C o s3 0  ‬‬

‫‪2‬‬
‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬

‫‪-1‬‬


Slide 10

‫סינוס וקוסינוס של זווית בת ‪60‬‬
‫במשולש זהב‬
‫) ‪(3 0 , 6 0 , 9 0 ‬‬
‫הניצב מול ה‪3 0  -‬‬

‫שווה למחצית היתר‪.‬‬

‫‪Sin‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C o s6 0  ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫‪Cos‬‬

‫‪S in 6 0 ‬‬

‫‪60‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪C os60‬‬

‫לפי פיתגורס‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬

‫‪(S in6 0  ) ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪S in6 0  ‬‬

‫‪2‬‬
‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬

‫‪-1‬‬


Slide 11

‫סינוס וקוסינוס של זווית בת ‪45‬‬
‫המשולש שנוצר ) ‪( 4 5 , 4 5 , 9 0 ‬‬

‫‪Sin‬‬

‫הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים‪ ,‬שבו‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S in 4 5   C o s 4 5 ‬‬

‫לפי פיתגורס‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪(S in45  )  (Cos45  )  1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Cos‬‬
‫‪2  (S in45  )  1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S in 4 5 ‬‬

‫‪45‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪Cos45‬‬

‫‪S in 4 5  ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪Cos45 ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S in 4 5  ‬‬

‫‪2‬‬

‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬

‫‪-1‬‬


Slide 12

‫סיכום ‪ -‬סינוס וקוסינוס של זוויות מיוחדות‬
‫‪90‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪60‬‬

‫‪45‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪30‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪3‬‬
‫‪2‬‬

‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S in ‬‬

‫‪C os‬‬


Slide 13

‫חישוב סינוס וקוסינוס של זוויות ברביע השני‬
‫‪90    180‬‬

‫‪Sin‬‬

‫‪Sin‬‬
‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫) ‪S in(1 8 0  ‬‬

‫‪S in ‬‬

‫‪‬‬

‫‪180  ‬‬

‫‪1 Cos‬‬

‫‪-1‬‬

‫) ‪C o s(1 8 0  ‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1 Cos‬‬

‫ניעזר ברביע הראשון‬
‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬

‫‪C os‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬


Slide 14

‫חישוב סינוס וקוסינוס של זוויות ברביע השני‬
‫‪90    180‬‬

‫) ‪C o s    C o s(1 8 0  ‬‬

‫) ‪S in   S in(1 8 0  ‬‬

‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪1‬‬

‫‪S in1 5 0  S in(1 8 0  1 5 0 )  S in3 0 ‬‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫‪C o s1 2 0   C o s(1 8 0  1 2 0 )   C o s6 0  ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S in1 3 5  S in(1 8 0  1 3 5 )  S in 4 5 ‬‬

‫‪2‬‬
‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬


Slide 15

‫חישוב סינוס וקוסינוס של זוויות ברביע השלישי‬
‫‪180    270‬‬

‫‪Sin‬‬

‫‪Sin‬‬
‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫) ‪S in(   1 8 0‬‬
‫‪  180‬‬

‫‪1 Cos‬‬

‫‪-1‬‬

‫) ‪C o s(   1 8 0‬‬

‫‪Cos‬‬

‫‪‬‬

‫‪C os‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪S in ‬‬

‫‪-1‬‬

‫ניעזר ברביע הראשון‬
‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬

‫‪-1‬‬


Slide 16

‫חישוב סינוס וקוסינוס של זוויות ברביע השלישי‬
180    270

S in    S in(   1 8 0 )

C o s    C o s(   1 8 0 )

:‫דוגמאות‬
S in2 4 0   S in( 2 4 0  1 8 0 )   S in6 0  

3
2

C o s2 1 0   C o s(2 1 0  1 8 0 )   C o s3 0  

C o s2 2 5   C o s(2 2 5  1 8 0 )   C o s 4 5  

3
2
2

2
‫ תיכון הראשונים הרצליה‬,‫מעוז‬-‫טל בר‬


Slide 17

‫חישוב סינוס וקוסינוס של זוויות ברביע הרביעי‬
‫‪270    360‬‬

‫‪Sin‬‬

‫‪Sin‬‬
‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫) ‪S in(3 6 0  ‬‬
‫‪C os‬‬

‫‪360  ‬‬

‫‪1 Cos‬‬

‫‪-1‬‬

‫) ‪C o s(3 6 0  ‬‬

‫‪Cos‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪S in ‬‬

‫‪-1‬‬

‫ניעזר ברביע הראשון‬
‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬

‫‪-1‬‬


Slide 18

‫חישוב סינוס וקוסינוס של זוויות ברביע הרביעי‬
‫‪270    360‬‬

‫) ‪C o s   C o s(3 6 0  ‬‬

‫) ‪S in    S in(3 6 0  ‬‬

‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫‪S in3 1 5   S in(3 6 0  3 1 5 )   S in 4 5  ‬‬

‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪C o s3 1 5  C o s(3 6 0  3 1 5 )  C o s 4 5 ‬‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪S in3 3 0   S in(3 6 0  3 3 0 )   S in3 0  ‬‬
‫‪2‬‬
‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬


Slide 19

‫חישוב סינוס וקוסינוס של זוויות שליליות‬
‫‪Sin‬‬

‫‪Sin‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S in ‬‬

‫) ‪C o s(  ‬‬

‫‪‬‬
‫‪1 Cos‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪C os‬‬

‫‪Cos‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪-1‬‬
‫) ‪S in(  ‬‬

‫‪-1‬‬

‫ניעזר ברביע הראשון‬
‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬

‫‪-1‬‬


Slide 20

‫חישוב סינוס וקוסינוס של זוויות שליליות‬
‫‪S in(   )   S in ‬‬

‫‪C o s(   )  C o s ‬‬

‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫‪S in(  4 5 )   S in 4 5  ‬‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫‪C o s(  1 2 0 )  C o s1 2 0  ‬‬

‫‪2‬‬

‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬


Slide 21

‫זהות טריגונומטרית יסודית‪:‬‬
‫‪Sin‬‬

‫‪ ‬הנקודה ) ‪A (C o s  , S in ‬‬

‫נמצאת על מעגל היחידה‬
‫שרדיוסו ‪R=1‬‬
‫‪‬‬

‫) ‪A (C o s  , S in ‬‬
‫‪S in ‬‬

‫נבנה את משוואת המעגל‪:‬‬
‫‪(Cos  )  (Sin  )  1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Cos‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪C os‬‬

‫נקבל את הזהות היסודית‪:‬‬
‫‪S in   C o s   1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬

‫‪-1‬‬


Slide 22

‫חישוב סינוס וקוסינוס באמצעות הזהות היסודית‬
‫‪S in   C o s   1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫נתון כי הזווית ‪‬‬

‫‪(  0.6 )  C os   1‬‬
‫‪2‬‬

‫נמצאת ברביע השלישי‬
‫כלומר‪1 8 0    2 7 0 :‬‬

‫‪2‬‬

‫‪C o s   0 .6 4‬‬
‫‪2‬‬

‫‪C o s    0 .8‬‬
‫‪‬‬

‫נתון כי‪:‬‬

‫‪‬‬

‫חשבו את‬

‫יקואל ‪004‬‬
‫‪2‬א' ‪260 /‬‬

‫‪S in    0 .6‬‬

‫‪C os‬‬

‫אבל ‪  ...‬ברביע שלישי ולכן‪:‬‬
‫‪Cos‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫‪-‬‬

‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬

‫‪C o s    0 .8‬‬


Slide 23

‫חישוב סינוס וקוסינוס באמצעות הזהות היסודית‬
‫‪S in   C o s   1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫נתון כי הזווית ‪‬‬

‫‪) 1‬‬
‫‪2‬‬

‫נמצאת ברביע הרביעי‬
‫כלומר‪2 7 0    3 6 0 :‬‬

‫‪5‬‬
‫‪3‬‬

‫‪2‬‬
‫‪‬‬

‫נתון כי‪:‬‬

‫‪‬‬

‫חשבו את‬

‫‪5‬‬

‫‪C os ‬‬

‫יקואל ‪004‬‬
‫‪3‬ב' ‪260 /‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S in  ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪9‬‬
‫‪S in   ‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬
‫‪S in ‬‬

‫( ‪S in  ‬‬

‫‪S in‬‬

‫אבל ‪  ...‬ברביע רביעי ולכן‪:‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪3‬‬

‫טל בר‪-‬מעוז‪ ,‬תיכון הראשונים הרצליה‬

‫‪S in   ‬‬