Transcript משטחים במרחב התלת - מימדי פרופ' נח דנא - פיקארד בית ספר גבוה לטכנולוגיה בירושלים אדר תשס"ט

‫משטחים במרחב התלת‪-‬מימדי‬
‫פרופ' נח דנא‪-‬פיקארד‬
‫בית ספר גבוה לטכנולוגיה בירושלים‬
‫אדר תשס"ט‬
‫מישורים במרחב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫משוואה כללית‪ax+by+cz+d=0 :‬‬
‫אם ‪ ,a=0‬המישור מקביל לציר ה‪x-‬‬
‫אם ‪ ,b=0‬המישור מקביל לציר ה‪y-‬‬
‫אם ‪ ,c=0‬המישור מקביל לציר ה‪z-‬‬
‫אם ‪ ,d=0‬המישור עובר דרך הראשית‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫חיתוך של שני מישורים‬
‫‪x  y  z 1  0‬‬
‫‪x  2y  z 3  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪Intersection‬‬‫‪2Planes.dpg‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫כדור‬
‫‪‬‬
‫כדור יחידה‪:‬‬
‫‪x  y z 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫כדור היחידה‬
‫‪‬‬
‫משוואה קרטזית‬
‫‪‬‬
‫‪x  y z 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הצגה פרמטרית‪:‬‬
‫‪x=cos u cos v‬‬
‫‪y=cos u sin v‬‬
‫‪z=sin v‬‬
‫‪0u2, 0v2‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כדור היחידה‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫חיתוך כדור ומישור‬
‫‪‬‬
‫כדור יחידה עם מישור‬
‫‪1‬‬
‫‪z  x y‬‬
‫‪2‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫פרבולואידים‬
‫‪x  y  4z  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪z ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z  2x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫חיתוך פרבולואיד עם מישור‪:‬‬
‫) ‪(x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x yz30‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫חרוט‬
‫‪x  y z 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫חרוט בטבע‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫חתכי חרוט ‪ :1‬היפרבולה‬
‫‪x  y z 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2x  3y  z  2  0‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫חתכי חרוט ‪:2‬‬
‫שני ישירים נחתכים‬
‫‪x  y z 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x yz 0‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫חתכי חרוט ‪:3‬‬
‫פרבולה‬
‫‪x  y z 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z  x2‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫חתכי חרוט ‪ :4‬מעגל ‪ -‬אליפסה‬
‫‪x  y z 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z3‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫חיתוך חרוט עם פרבולואיד‬
‫‪2‬‬
‫‪z  2 x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  y z  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫גליל (בסיס=מעגל(‬
‫‪x  y 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫גליל (בסיס=פרבולה(‬
‫‪x y 0‬‬
‫‪2‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫גליל (בסיס=סינוס(‬
‫‪‬‬
‫‪sin x -y=0‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫עוד גליל‬
‫)‪z  x ( x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫היפרבולואיד חד יריעתי‬
‫‪2‬‬
‫‪ z 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫היפרבולואיד דו‪-‬יריעתי‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2x  4 y ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫פרבולואיד היפרבולי)‪(1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪2‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫פרבולואיד היפרבולי)‪(2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫פרבולואיד היפרבולי)‪ :(3‬הישרים היוצרים‬
‫‪‬‬
‫‪z=xy‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫פרבולואיד היפרבולי)‪(4‬‬
‫‪ ‬המשטח = איחוד של קווים ישרים‬
‫‪Intersection-ParabHyperb‬‬‫‪VerticalPlane.dpg‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫פרבולואיד היפרבולי)‪ :(5‬ההיפרבולות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪z=xy‬‬
‫‪z=2‬‬
‫‪z=-2‬‬
‫‪Intersection‬‬‫‪ParabHyperb‬‬‫‪Plane.dpg‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫פרבולואיד היפרבולי)‪(4‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫משטחים “קלאסיים”‪:‬‬
‫משוואות קרטזיות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מישור‬
‫כדור‬
‫‪( x  a)  ( y  b)  ( z  c)  R‬‬
‫) ‪(x ‬‬
‫)‪(y  ‬‬
‫) ‪(z  ‬‬
‫אליפסואיד‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫פרבולואיד‬
‫‪z  ax  by‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫היפרבולואיד חד‪-‬יריעתי ‪  1‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫היפרבולואיד דו‪-‬יריעתי‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ax  by  cz  d  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪2‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫משטחים חדשים (‪(1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪z‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫משטחים אחרים (‪(2‬‬
‫‪3‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫‪z x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫משטחים אחרים (‪(3‬‬
‫) ‪z  ln( x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫משטחים אחרים (‪(4‬‬
‫) ‪z  ( x  y )( x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫ הצגה פרמטרית‬:‫פס מוביוס‬




x(u,v) = 2 cos u + v cos(u/2) cos u
y(u,v) = 2 sin u + v cos (u/2) sin (u)
z(u,v) = v sin (u/2)
0u2, -1v1
(c) ‫נח דנא 'פרופ‬-‫ט"פיקארד אדר תשס‬
‫איזור בין שני משטחים במרחב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫גליל ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫פרבולואיד ‪2 :‬‬
‫‪zx y‬‬
‫האיזור מעל מישור ‪xy‬‬
‫והכלוא בין המשטחים‬
‫מוגדר ע"י‪:‬‬
‫‪x  y  25‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x 2  y 2  25‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0  z  25‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫בין שני פרבולואידים‬
‫‪ ‬א ‪’:‬‬
‫‪ ‬ב‪’:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪z  4  (x  y‬‬
‫‪ ‬האיזור הלוא בין שני‬
‫הפרבולואידים מוגדר‬
‫ע"י‬
‫‪2‬‬
‫‪z x y‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪x  y  z  4  (x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬
‫תם ולא נשלם‬
‫ט"פיקארד אדר תשס‪-‬נח דנא 'פרופ )‪(c‬‬