Transcript אינטגרלים משולשים
Slide 1
בס"ד
אינטגרלים משולשים
(והחוט המשולש לא במהרה יינתק)
פרופ' נח דנא-פיקארד
אדר ב' תשס"ח
Slide 2
סכומי רימן
חלוקת התחום לתיבות אלמנטריות
אם הגבול באגף ימין קיים
וסופי,
f ( xk , yk , zk ) Vk
k
2
f ( x , y , z ) dV lim
Vk 0
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
D
Slide 3
אינטגרציה על קופסה ()1
3
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 4
אינטגרציה על קופסה ()2
4
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 5
אינטגרציה על קופסה ()3
5
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 6
)משפט פוביני (חלש
פונקציה אינטגרבילית על התיבהf תהי
B [a, b] [c, d] [p, q]
אזי
q d b
f(x,
y, z) dx dy dz
B
f(x,
y, z) dx dy dz
p c a
q b d
f(x,
y, z) dy dx dz
p a c
b q d
f(x,
y, z) dy dz dx
a p c
נח דנא 'פרופ- פיקארד- אינטגרלים משולשים
6
Slide 7
דוגמאות
דוגמא :1
( x yz ) dx dy dz
דוגמא :2
dx dy dz
yz
x
7
e
4
4
3
1
0
2
4
1
1
1
I
1
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
J
Slide 8
תחומים "פשוטים"
8
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 9
תחום -zפשוט
הפאה העליונה נתונה ע"י x+y+z=2
9
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 10
תחום -yפשוט
הפאה העליונה נתונה ע"י x+y+z=2
10
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 11
גלילים
דוגמא :1
דוגמא :2
2
x
1
z
2
2
x
1
z 1
2
11
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 12
חישוב אינטגרל :דוגמא
חשב את האינטגרל
x
ye dV
D
I
כאשר Dהוא האיזור בשמיני
הראשון המוגבל ע"י
המישור שמשוואות היא
. x+y+z=2
12
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 13
אלגברת האינטגרלים
13
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 14
מציאת גבולות האינטגרציה
( x , y , z ) dz dy dx
14
) z f2 ( x, y
) z f1 ( x , y
)yg2 (x
) y g1 ( x
xb
xa
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
I
Slide 15
דוגמאות :חשב את הנפח של הגופים הנתונים
.1הטטרהדרון בשמיני
הראשון המוגבל ע"י
מישורי המערכת
והמישורים
שמשוואותיהם הן x+z=1
ו.y+2z=2 -
.2הפרוסה הנחתכת מן
הגליל שמשוואתו היא
y=x2-1והמשיורים
שמשוואותיהם הן z+y=0
ו.z=0 -
15
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 16
ועוד חישוב נפח 1 -
מצאו את נפח האיזור
במרחב הנמצא מעל
הריבוע הנתון ע"י
3 x 3, 3 y 3
והמוגבל ע"י המשטחים
הנתונים ע"י המשוואות
הבאות:
x y 5z 3 0
2x y 6z 2 0
תשובה:
z (3 x y ) / 5
dz dy dx
16
z ( 2 2 x y ) / 6
y 3
y 3
x3
x 3
I
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 17
פקודות Maple
17
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 18
חישוב נפח 2 -
מצאו את נפח האיזור
במרחב המוגבל ע"י
המשטחים הנתונים ע"י
המשוואות הבאות:
2
2
zx y
2
z 8 x y
2
תשובה:
2
dz dx dy
2
z 8 x y
2
2
zx y
2
2
x y 4
2
dz d d
18
z 8
2
dV
D
2
z
0
2
0
I
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 19
חישוב נפח 3 -
מצאו את נפח האיזור
במרחב המוגבל ע"י
המשטחים הנתונים ע"י
המשוואות הבאות:
2
2
19
z x 3y
2
z 8 x y
2
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 20
ממוצע של פונקציה על תחום סגור וחסום במרחב התלת-מימדי
אם fהיא פונקציה מוגדרת ורציפה בתחום Dסגור
וחסום במרחב ,R3אזי הממוצע של fעל Dנתון ע"י
הנוסחה:
1
f ( x , y , z ) dV
D
)(D
f ( x , y , z ) dV
D
Vol
dV
D
20
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
f ,D
Slide 21
דוגמא- ממוצע
נתון
אזי הממוצע על הקוביה
נפח:הנתונה הוא (תזכורת
:)1 הקוביה הזאת הוא
f ( x , y , z ) xy z
( xy z ) dV
2
D
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
2
1 2
x
y
xz
dy dz
2
x0
y 1
1
( xy z ) dx dy dz
x 1
1
2
1 2
y
yz
dz
4
y0
1
0
1
y
z
dy dz
0 2
1
1
z
0 4 dz
1
z 1
1 2
3
1
z z
.
2 z0 4
4
נח דנא 'פרופ- פיקארד- אינטגרלים משולשים
21
Slide 22
החלפת סדר האינטגרציה
שינו את סדר האינטגרציה וחישבו את האינטגרלים:
2
dx dy dz
) cos ( x
z
2
dy dx dz
22
zy
12 xze
1
2
2y
0
1
1
2
4
0
1
x
0
I
0
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
J
Slide 23
מסה ומרכז כובד
נתון תחום Dסגור וחסום במרחב התלת-מימדי .בעצם
Dמגדיר גוף שבו צפיפות החומר בנקודה )(x,y,z
מסומנת ב.δ(x,y,z) -
המסה של הגוףM ( x , y , z ) dV :
מומנטים ראשונים:
D
y ( x , y , z ) dV
D
zx
x ( x , y , z ) dV , M
D
yz
z ( x , y , z ) dV , M
D
קואורדינטות של מרכז הכובד:
xy
M
M
23
, z
xz
M
, y
yz
M
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
M
M
x
xy
M
Slide 24
דוגמא
24
מצא את מרכז נכובד של
הגוף בעל צפיפות אחידה δ
המוגבל ע"י מישור xy
והפרולואיד שמשוואתו
היא .z=4-x2-y2
תשובה.G(0,0,4/3) :
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 25
החלפת קואורדינטות
25
פקודות Maple
> ?coords
> ?changecoords
]> ?plot3d[coords
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 26
קואורדינטות גליליות
26
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 27
משטחים מיוחדים -קואורדינטות גליליות
קואורדינטות גליליות מתאימות לתאור המשטחים הבאים:
27
גלילים בעלי ציר לאורך ציר הz-
מישורים המכילים את ציר הz-
מישורים מאונכים לציר הz-
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 28
משטחים מיוחדים -קואורדינטות גליליות
28
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 29
נפח אלמנטרי בקואורדינטות גליליות
dV dz r dr d
29
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 30
חישובי אינטגרלים משולשים בעזרת קואורדינטות גליליות
נתונה פונקציה fשל שלושה משתנים ) (x,y,zבתחום חסום
וסגור Dבמרחב .R3אזי:
f (r cos , r sin , z ) r dz dr d
D
30
f ( x , y , z ) dV
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
D
Slide 31
דוגמא
מצא את גבולות
האינטגרציה עבור פונקציה
המוגדרת בתחום DבR3 -
המוגבל ע"י
מישור xy
הגליל שמשוותו היא
x2+(y-1)2=1
הפרבולואיד שמשוואתו היא
z=x2+y2
31
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 32
פתרון השאלה הקודמת
.1הבסיס של Dהוא העיגול R
במישור xyבעל משוואה
x2 + (y-1)2 = 1
x2 + y2 - 2y + 1 = 1
r2 - 2r sinθ = 0
.2גבולות :z-ישר העובר דרך
נקודה ) M(r,θבבסיס R
ומקביל לציר zנמצא
בתוך Dמ z=0 -עד
.z=x2+y2=r2
32
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 33
המשך הדוגמא
.3גבולות :r-קרן היוצאת מן
הראשית במישור xyנכנסת
כאשר r=0ויוצאת כאשר
.r=2 sin θ
.4גבולות :θ-כאשר הקרן
הנ"ל עוברת על כל ,R
הזוית שלה עם ציר הx-
עוברת מ θ=0 -עד .θ=π
33
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 34
מסקנת העבודה
האינטגרל המבוקש:
2
f ( r , , z ) dz r dr d
34
zr
z 0
r 2 sin
r 0
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
0
I
Slide 35
עוד דוגמא בקואורדינטות גליליות
35
Dהוא הגוף התחום ע"י
הגלילים שבסיסיהם הם
מעגל היחידה והקרדיואיד
שמשוואתו היא ),r=1+cos(θ
וכך שהתחתית במישור xy
וה"גג" במשיור שמשוואתו היא
.z=4
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 36
קואורדינטות כדוריות
36
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 37
משטחים מיוחדים -קואורדינטות כדוריות
קואורדינטות כדוריות מתאימות לתיאור המשטחים הבאים:
37
כדורים שמרכזם בראשית הצירים
חרוטים שקודקודם בראשית הצירים
מישורים העוברים דרך ציר הz-
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 38
משטחים מיוחדים :כדור בקואורדינטות כדוריות
38
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 39
חרוט בקואורדינטות כדוריות:משטחים מיוחדים
> restart;with(plots):
> sphereplot([r,theta,Pi/3],
r=0..2,theta=0..2*Pi,
axes=normal,
style=patchnogrid,
view=[-2..2,-2..2,0..2]);
נח דנא 'פרופ- פיקארד- אינטגרלים משולשים
39
Slide 40
מישור בקואורדינטות כדוריות:משטחים מיוחדים
> restart;with(plots):
> sphereplot([r,Pi/3,phi],
r=0..2,phi=0..2*Pi,
axes=normal,
style=patchnogrid,
view=[-2..2,-2..2,0..2]);
נח דנא 'פרופ- פיקארד- אינטגרלים משולשים
40
Slide 41
התמרת קואורדינטות מכדוריות לגליליות
41
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 42
נפח אלמנטרי בקואורדינטות כדוריות
42
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 43
חישובי אינטגרלים משולשים בעזרת קואורדינטות כדוריות
נתונה פונקציה fשל שלושה משתנים ) (x,y,zבתחום חסום
וסגור Dבמרחב .R3אזי:
f ( cos sin , sin sin , cos ) sin d d d
2
D
43
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
f ( x , y , z ) dV
D
Slide 44
עוד חישוב נפח
מצא את הנפח של הגוף המוגבל
ע"י כדור שמרכזו בראשית
והחרוט שקודקודו,2 ורדיוסו
בראשית וזית הראש שלו היא
> s1:=plot3d(4,t=0..2*Pi,
p=0..Pi/4,coords=spherical,
axes=boxed,
scaling=constrained,
color=blue):
s2:=plot3d(z,t=0..2*Pi,
z=0..2*sqrt(2),
coords=cylindrical, axes=boxed,
scaling=constrained,
color=yellow):
/2
V
2
0
/ 4
0
2
0
נח דנא 'פרופ- פיקארד- אינטגרלים משולשים
sin d d d
2
44
Slide 45
חישוב נפח
45
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 46
החלפת קואורדינטות באינטגרלים משולשים
נניח שהתחום Gבמרחב uvwנהפך לתחום Dבמרחב xyz
ע"י העתקות גזירות
) x g ( u , v , w ), y h ( u , v , w ), z k ( x , y , z
כל פונקציה Fשל המשתנים x,y,zמגדירה פונקציה Hשל
המשתנים : u,v,w
)) H ( u , v , w ) F ( x , y , z ) F ( g ( u , v , w ), h ( u , v , w ), k ( u , v , w
אזי
du dv dw
) ( x, y, z
) (u , v , w
) F ( x , y , z ) dx dy dz H ( u , v , w
G
|) | J ( u , v , w
46
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
D
Slide 47
דטרמיננטת יקובי -היקוביאן
האינטגרל:
du dv dw
) ( x, y, z
) (u , v , w
) F ( x , y , z ) dx dy dz H ( u , v , w
G
D
|) | J ( u , v , w
כאשר המטריצה
x
w
y
w
z
w
x
v
y
v
z
v
x
u
( x, y , z ) y
(u , v , w ) u
z
u
נקראת היקוביאן של הטרנספורמציה (החלפת הקואורדינטות)
47
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 48
דוגמא
48
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 49
המשך הדוגמא
הקואורדינטות מסודרות לפי פאה קדמית-פאה
אחורית:
G
D
49
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 50
מקורות של חלק מהתמונות
http://mathworld.wolfram.com/
http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/mul
tiworld/multipleIVP/spherical/body.htm
http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/mul
tiworld/multipleIVP/cylindrical/body.htm
נח דנא 'פרופ- פיקארד- אינטגרלים משולשים
50
Slide 51
תוכנות שימושיות לשרטוט
WINPLOT:
math.exeter.edu/rparris/winplot.html
DPGRAPH: www.dpgraph.com
נח דנא 'פרופ- פיקארד- אינטגרלים משולשים
51
בס"ד
אינטגרלים משולשים
(והחוט המשולש לא במהרה יינתק)
פרופ' נח דנא-פיקארד
אדר ב' תשס"ח
Slide 2
סכומי רימן
חלוקת התחום לתיבות אלמנטריות
אם הגבול באגף ימין קיים
וסופי,
f ( xk , yk , zk ) Vk
k
2
f ( x , y , z ) dV lim
Vk 0
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
D
Slide 3
אינטגרציה על קופסה ()1
3
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 4
אינטגרציה על קופסה ()2
4
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 5
אינטגרציה על קופסה ()3
5
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 6
)משפט פוביני (חלש
פונקציה אינטגרבילית על התיבהf תהי
B [a, b] [c, d] [p, q]
אזי
q d b
f(x,
y, z) dx dy dz
B
f(x,
y, z) dx dy dz
p c a
q b d
f(x,
y, z) dy dx dz
p a c
b q d
f(x,
y, z) dy dz dx
a p c
נח דנא 'פרופ- פיקארד- אינטגרלים משולשים
6
Slide 7
דוגמאות
דוגמא :1
( x yz ) dx dy dz
דוגמא :2
dx dy dz
yz
x
7
e
4
4
3
1
0
2
4
1
1
1
I
1
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
J
Slide 8
תחומים "פשוטים"
8
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 9
תחום -zפשוט
הפאה העליונה נתונה ע"י x+y+z=2
9
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 10
תחום -yפשוט
הפאה העליונה נתונה ע"י x+y+z=2
10
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 11
גלילים
דוגמא :1
דוגמא :2
2
x
1
z
2
2
x
1
z 1
2
11
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 12
חישוב אינטגרל :דוגמא
חשב את האינטגרל
x
ye dV
D
I
כאשר Dהוא האיזור בשמיני
הראשון המוגבל ע"י
המישור שמשוואות היא
. x+y+z=2
12
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 13
אלגברת האינטגרלים
13
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 14
מציאת גבולות האינטגרציה
( x , y , z ) dz dy dx
14
) z f2 ( x, y
) z f1 ( x , y
)yg2 (x
) y g1 ( x
xb
xa
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
I
Slide 15
דוגמאות :חשב את הנפח של הגופים הנתונים
.1הטטרהדרון בשמיני
הראשון המוגבל ע"י
מישורי המערכת
והמישורים
שמשוואותיהם הן x+z=1
ו.y+2z=2 -
.2הפרוסה הנחתכת מן
הגליל שמשוואתו היא
y=x2-1והמשיורים
שמשוואותיהם הן z+y=0
ו.z=0 -
15
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 16
ועוד חישוב נפח 1 -
מצאו את נפח האיזור
במרחב הנמצא מעל
הריבוע הנתון ע"י
3 x 3, 3 y 3
והמוגבל ע"י המשטחים
הנתונים ע"י המשוואות
הבאות:
x y 5z 3 0
2x y 6z 2 0
תשובה:
z (3 x y ) / 5
dz dy dx
16
z ( 2 2 x y ) / 6
y 3
y 3
x3
x 3
I
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 17
פקודות Maple
17
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 18
חישוב נפח 2 -
מצאו את נפח האיזור
במרחב המוגבל ע"י
המשטחים הנתונים ע"י
המשוואות הבאות:
2
2
zx y
2
z 8 x y
2
תשובה:
2
dz dx dy
2
z 8 x y
2
2
zx y
2
2
x y 4
2
dz d d
18
z 8
2
dV
D
2
z
0
2
0
I
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 19
חישוב נפח 3 -
מצאו את נפח האיזור
במרחב המוגבל ע"י
המשטחים הנתונים ע"י
המשוואות הבאות:
2
2
19
z x 3y
2
z 8 x y
2
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 20
ממוצע של פונקציה על תחום סגור וחסום במרחב התלת-מימדי
אם fהיא פונקציה מוגדרת ורציפה בתחום Dסגור
וחסום במרחב ,R3אזי הממוצע של fעל Dנתון ע"י
הנוסחה:
1
f ( x , y , z ) dV
D
)(D
f ( x , y , z ) dV
D
Vol
dV
D
20
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
f ,D
Slide 21
דוגמא- ממוצע
נתון
אזי הממוצע על הקוביה
נפח:הנתונה הוא (תזכורת
:)1 הקוביה הזאת הוא
f ( x , y , z ) xy z
( xy z ) dV
2
D
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
2
1 2
x
y
xz
dy dz
2
x0
y 1
1
( xy z ) dx dy dz
x 1
1
2
1 2
y
yz
dz
4
y0
1
0
1
y
z
dy dz
0 2
1
1
z
0 4 dz
1
z 1
1 2
3
1
z z
.
2 z0 4
4
נח דנא 'פרופ- פיקארד- אינטגרלים משולשים
21
Slide 22
החלפת סדר האינטגרציה
שינו את סדר האינטגרציה וחישבו את האינטגרלים:
2
dx dy dz
) cos ( x
z
2
dy dx dz
22
zy
12 xze
1
2
2y
0
1
1
2
4
0
1
x
0
I
0
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
J
Slide 23
מסה ומרכז כובד
נתון תחום Dסגור וחסום במרחב התלת-מימדי .בעצם
Dמגדיר גוף שבו צפיפות החומר בנקודה )(x,y,z
מסומנת ב.δ(x,y,z) -
המסה של הגוףM ( x , y , z ) dV :
מומנטים ראשונים:
D
y ( x , y , z ) dV
D
zx
x ( x , y , z ) dV , M
D
yz
z ( x , y , z ) dV , M
D
קואורדינטות של מרכז הכובד:
xy
M
M
23
, z
xz
M
, y
yz
M
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
M
M
x
xy
M
Slide 24
דוגמא
24
מצא את מרכז נכובד של
הגוף בעל צפיפות אחידה δ
המוגבל ע"י מישור xy
והפרולואיד שמשוואתו
היא .z=4-x2-y2
תשובה.G(0,0,4/3) :
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 25
החלפת קואורדינטות
25
פקודות Maple
> ?coords
> ?changecoords
]> ?plot3d[coords
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 26
קואורדינטות גליליות
26
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 27
משטחים מיוחדים -קואורדינטות גליליות
קואורדינטות גליליות מתאימות לתאור המשטחים הבאים:
27
גלילים בעלי ציר לאורך ציר הz-
מישורים המכילים את ציר הz-
מישורים מאונכים לציר הz-
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 28
משטחים מיוחדים -קואורדינטות גליליות
28
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 29
נפח אלמנטרי בקואורדינטות גליליות
dV dz r dr d
29
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 30
חישובי אינטגרלים משולשים בעזרת קואורדינטות גליליות
נתונה פונקציה fשל שלושה משתנים ) (x,y,zבתחום חסום
וסגור Dבמרחב .R3אזי:
f (r cos , r sin , z ) r dz dr d
D
30
f ( x , y , z ) dV
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
D
Slide 31
דוגמא
מצא את גבולות
האינטגרציה עבור פונקציה
המוגדרת בתחום DבR3 -
המוגבל ע"י
מישור xy
הגליל שמשוותו היא
x2+(y-1)2=1
הפרבולואיד שמשוואתו היא
z=x2+y2
31
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 32
פתרון השאלה הקודמת
.1הבסיס של Dהוא העיגול R
במישור xyבעל משוואה
x2 + (y-1)2 = 1
x2 + y2 - 2y + 1 = 1
r2 - 2r sinθ = 0
.2גבולות :z-ישר העובר דרך
נקודה ) M(r,θבבסיס R
ומקביל לציר zנמצא
בתוך Dמ z=0 -עד
.z=x2+y2=r2
32
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 33
המשך הדוגמא
.3גבולות :r-קרן היוצאת מן
הראשית במישור xyנכנסת
כאשר r=0ויוצאת כאשר
.r=2 sin θ
.4גבולות :θ-כאשר הקרן
הנ"ל עוברת על כל ,R
הזוית שלה עם ציר הx-
עוברת מ θ=0 -עד .θ=π
33
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 34
מסקנת העבודה
האינטגרל המבוקש:
2
f ( r , , z ) dz r dr d
34
zr
z 0
r 2 sin
r 0
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
0
I
Slide 35
עוד דוגמא בקואורדינטות גליליות
35
Dהוא הגוף התחום ע"י
הגלילים שבסיסיהם הם
מעגל היחידה והקרדיואיד
שמשוואתו היא ),r=1+cos(θ
וכך שהתחתית במישור xy
וה"גג" במשיור שמשוואתו היא
.z=4
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 36
קואורדינטות כדוריות
36
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 37
משטחים מיוחדים -קואורדינטות כדוריות
קואורדינטות כדוריות מתאימות לתיאור המשטחים הבאים:
37
כדורים שמרכזם בראשית הצירים
חרוטים שקודקודם בראשית הצירים
מישורים העוברים דרך ציר הz-
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 38
משטחים מיוחדים :כדור בקואורדינטות כדוריות
38
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 39
חרוט בקואורדינטות כדוריות:משטחים מיוחדים
> restart;with(plots):
> sphereplot([r,theta,Pi/3],
r=0..2,theta=0..2*Pi,
axes=normal,
style=patchnogrid,
view=[-2..2,-2..2,0..2]);
נח דנא 'פרופ- פיקארד- אינטגרלים משולשים
39
Slide 40
מישור בקואורדינטות כדוריות:משטחים מיוחדים
> restart;with(plots):
> sphereplot([r,Pi/3,phi],
r=0..2,phi=0..2*Pi,
axes=normal,
style=patchnogrid,
view=[-2..2,-2..2,0..2]);
נח דנא 'פרופ- פיקארד- אינטגרלים משולשים
40
Slide 41
התמרת קואורדינטות מכדוריות לגליליות
41
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 42
נפח אלמנטרי בקואורדינטות כדוריות
42
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 43
חישובי אינטגרלים משולשים בעזרת קואורדינטות כדוריות
נתונה פונקציה fשל שלושה משתנים ) (x,y,zבתחום חסום
וסגור Dבמרחב .R3אזי:
f ( cos sin , sin sin , cos ) sin d d d
2
D
43
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
f ( x , y , z ) dV
D
Slide 44
עוד חישוב נפח
מצא את הנפח של הגוף המוגבל
ע"י כדור שמרכזו בראשית
והחרוט שקודקודו,2 ורדיוסו
בראשית וזית הראש שלו היא
> s1:=plot3d(4,t=0..2*Pi,
p=0..Pi/4,coords=spherical,
axes=boxed,
scaling=constrained,
color=blue):
s2:=plot3d(z,t=0..2*Pi,
z=0..2*sqrt(2),
coords=cylindrical, axes=boxed,
scaling=constrained,
color=yellow):
/2
V
2
0
/ 4
0
2
0
נח דנא 'פרופ- פיקארד- אינטגרלים משולשים
sin d d d
2
44
Slide 45
חישוב נפח
45
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 46
החלפת קואורדינטות באינטגרלים משולשים
נניח שהתחום Gבמרחב uvwנהפך לתחום Dבמרחב xyz
ע"י העתקות גזירות
) x g ( u , v , w ), y h ( u , v , w ), z k ( x , y , z
כל פונקציה Fשל המשתנים x,y,zמגדירה פונקציה Hשל
המשתנים : u,v,w
)) H ( u , v , w ) F ( x , y , z ) F ( g ( u , v , w ), h ( u , v , w ), k ( u , v , w
אזי
du dv dw
) ( x, y, z
) (u , v , w
) F ( x , y , z ) dx dy dz H ( u , v , w
G
|) | J ( u , v , w
46
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
D
Slide 47
דטרמיננטת יקובי -היקוביאן
האינטגרל:
du dv dw
) ( x, y, z
) (u , v , w
) F ( x , y , z ) dx dy dz H ( u , v , w
G
D
|) | J ( u , v , w
כאשר המטריצה
x
w
y
w
z
w
x
v
y
v
z
v
x
u
( x, y , z ) y
(u , v , w ) u
z
u
נקראת היקוביאן של הטרנספורמציה (החלפת הקואורדינטות)
47
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 48
דוגמא
48
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 49
המשך הדוגמא
הקואורדינטות מסודרות לפי פאה קדמית-פאה
אחורית:
G
D
49
אינטגרלים משולשים -פיקארד -נח דנא 'פרופ
Slide 50
מקורות של חלק מהתמונות
http://mathworld.wolfram.com/
http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/mul
tiworld/multipleIVP/spherical/body.htm
http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/mul
tiworld/multipleIVP/cylindrical/body.htm
נח דנא 'פרופ- פיקארד- אינטגרלים משולשים
50
Slide 51
תוכנות שימושיות לשרטוט
WINPLOT:
math.exeter.edu/rparris/winplot.html
DPGRAPH: www.dpgraph.com
נח דנא 'פרופ- פיקארד- אינטגרלים משולשים
51