Slide 1

‫שימוש במושגים ובעובדות מתמטיות‬
‫להוכחת חפיפת משולשים‪:‬‬
‫זווית שטוחה וזווית ישרה‬

‫זוויות קודקודיות‬

‫חציית זווית שטוחה יוצרת שתי זוויות ישרות‪.‬‬

‫כל שתי זוויות קודקודיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ O1   O 2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬
‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪O‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ O 1   O 2  90 ‬‬

‫שימוש במושגים ובעובדות מתמטיות‬
‫להוכחת חפיפת משולשים‪:‬‬
‫צלע משותפת לשני משולשים‬

‫כלל חיבור‬

‫אם צלע מסוימת שייכת לשני משולשים‪,‬‬
‫אז היא נקראת הצלע המשותפת‪.‬‬

‫אם מחברים קטעים שווים לקטעים שווים‪,‬‬
‫מקבלים סכומים שווים‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון‪CE=FB :‬‬
‫צ"ל‪CB=FE :‬‬

‫‪C‬‬
‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ -BC‬צלע משותפת ל‪  ABC -‬ו‪ DBC -‬‬

‫‪B‬‬
‫‪F‬‬

‫‪ FB‬‬
‫_______‬
‫נתון‬
‫‪ CE‬‬
‫כל קטע שווה לעצמו_ ______ ‪CB  FE ‬‬
‫‪ BE  BE‬‬
‫חיבור קטעים שווים‬

‫בעיית "הפרפר"‬
‫נתון‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫צ"ל‪:‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.AC‬‬

‫‪A  C‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.BD‬‬

‫‪B  D‬‬

‫טענה‬

‫‪A‬‬

‫נימוק‬

‫‪.1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪.3‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫בעיית "הפרפר"‬
‫נתון‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫צ"ל‪:‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.AC‬‬

‫‪A  C‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.BD‬‬

‫‪B  D‬‬

‫טענה‬

‫‪A‬‬

‫‪AO=OC‬‬

‫נתון כי נק' ‪ O‬חוצה‬
‫את הקטע ‪AC‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪BO=OD‬‬

‫נתון כי נק' ‪ O‬חוצה‬
‫את הקטע ‪BD‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪ O1   O 2‬‬

‫‪.1‬‬

‫‪O2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ ABO   CDO‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫נימוק‬

‫זוויות קודקודיות‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬זצ‪.‬‬

‫‪A  C‬‬

‫ז‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫‪B  D‬‬

‫ז‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫בעיית "הצל"‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪F  C‬‬
‫‪AC  FD‬‬
‫‪BF  CE‬‬

‫צ "ל ‪:‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬
‫‪F‬‬

‫‪AB  ED‬‬

‫‪D‬‬

‫טענה‬

‫‪BF  CE‬‬
‫‪FC  FC‬‬

‫נימוק‬

‫‪+‬‬

‫נתון‬
‫קטע משותף‬

‫‪BF  FC  CE  FC‬‬

‫חיבור קטעים שווים‬

‫‪BC  FE‬‬
‫‪F  C‬‬

‫סכום קטעים שווים‬

‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪AC  FD .3‬‬

‫‪ ABC   DEF‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪AB  ED‬‬

‫נתון‬
‫נתון‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬

‫צ‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫חציית משולש‬
‫צ "ל ‪:‬‬

‫נתון‪:‬‬
‫‪ A1   A 2‬‬

‫‪AD  BC‬‬

‫‪AB  AC‬‬
‫טענה‬

‫נימוק‬

‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪A‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫חציית משולש‬
‫צ "ל ‪:‬‬

‫נתון‪:‬‬
‫‪ A1   A 2‬‬

‫‪AD  BC‬‬

‫‪A‬‬

‫‪AB  AC‬‬
‫טענה‬

‫‪.1‬‬

‫‪AB  AC‬‬

‫‪ A1   A 2 .2‬‬
‫‪AD  AD .3‬‬

‫נימוק‬

‫‪C‬‬

‫נתון‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪D‬‬

‫נתון‬
‫צלע משותפת לשני‬
‫המשולשים‬

‫‪ ABC   ACD‬‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬

‫‪ D1   D 2‬‬

‫צ‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫‪ D 1   D 2  90 ‬‬

‫חציית זווית שטוחה ( ‪) BDC‬‬
‫יוצרת שתי זוויות ישרות‬

‫‪AD  BC‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫‪B‬‬


Slide 2

‫שימוש במושגים ובעובדות מתמטיות‬
‫להוכחת חפיפת משולשים‪:‬‬
‫זווית שטוחה וזווית ישרה‬

‫זוויות קודקודיות‬

‫חציית זווית שטוחה יוצרת שתי זוויות ישרות‪.‬‬

‫כל שתי זוויות קודקודיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ O1   O 2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬
‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪O‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ O 1   O 2  90 ‬‬

‫שימוש במושגים ובעובדות מתמטיות‬
‫להוכחת חפיפת משולשים‪:‬‬
‫צלע משותפת לשני משולשים‬

‫כלל חיבור‬

‫אם צלע מסוימת שייכת לשני משולשים‪,‬‬
‫אז היא נקראת הצלע המשותפת‪.‬‬

‫אם מחברים קטעים שווים לקטעים שווים‪,‬‬
‫מקבלים סכומים שווים‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון‪CE=FB :‬‬
‫צ"ל‪CB=FE :‬‬

‫‪C‬‬
‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ -BC‬צלע משותפת ל‪  ABC -‬ו‪ DBC -‬‬

‫‪B‬‬
‫‪F‬‬

‫‪ FB‬‬
‫_______‬
‫נתון‬
‫‪ CE‬‬
‫כל קטע שווה לעצמו_ ______ ‪CB  FE ‬‬
‫‪ BE  BE‬‬
‫חיבור קטעים שווים‬

‫בעיית "הפרפר"‬
‫נתון‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫צ"ל‪:‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.AC‬‬

‫‪A  C‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.BD‬‬

‫‪B  D‬‬

‫טענה‬

‫‪A‬‬

‫נימוק‬

‫‪.1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪.3‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫בעיית "הפרפר"‬
‫נתון‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫צ"ל‪:‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.AC‬‬

‫‪A  C‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.BD‬‬

‫‪B  D‬‬

‫טענה‬

‫‪A‬‬

‫‪AO=OC‬‬

‫נתון כי נק' ‪ O‬חוצה‬
‫את הקטע ‪AC‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪BO=OD‬‬

‫נתון כי נק' ‪ O‬חוצה‬
‫את הקטע ‪BD‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪ O1   O 2‬‬

‫‪.1‬‬

‫‪O2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ ABO   CDO‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫נימוק‬

‫זוויות קודקודיות‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬זצ‪.‬‬

‫‪A  C‬‬

‫ז‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫‪B  D‬‬

‫ז‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫בעיית "הצל"‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪F  C‬‬
‫‪AC  FD‬‬
‫‪BF  CE‬‬

‫צ "ל ‪:‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬
‫‪F‬‬

‫‪AB  ED‬‬

‫‪D‬‬

‫טענה‬

‫‪BF  CE‬‬
‫‪FC  FC‬‬

‫נימוק‬

‫‪+‬‬

‫נתון‬
‫קטע משותף‬

‫‪BF  FC  CE  FC‬‬

‫חיבור קטעים שווים‬

‫‪BC  FE‬‬
‫‪F  C‬‬

‫סכום קטעים שווים‬

‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪AC  FD .3‬‬

‫‪ ABC   DEF‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪AB  ED‬‬

‫נתון‬
‫נתון‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬

‫צ‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫חציית משולש‬
‫צ "ל ‪:‬‬

‫נתון‪:‬‬
‫‪ A1   A 2‬‬

‫‪AD  BC‬‬

‫‪AB  AC‬‬
‫טענה‬

‫נימוק‬

‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪A‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫חציית משולש‬
‫צ "ל ‪:‬‬

‫נתון‪:‬‬
‫‪ A1   A 2‬‬

‫‪AD  BC‬‬

‫‪A‬‬

‫‪AB  AC‬‬
‫טענה‬

‫‪.1‬‬

‫‪AB  AC‬‬

‫‪ A1   A 2 .2‬‬
‫‪AD  AD .3‬‬

‫נימוק‬

‫‪C‬‬

‫נתון‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪D‬‬

‫נתון‬
‫צלע משותפת לשני‬
‫המשולשים‬

‫‪ ABC   ACD‬‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬

‫‪ D1   D 2‬‬

‫צ‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫‪ D 1   D 2  90 ‬‬

‫חציית זווית שטוחה ( ‪) BDC‬‬
‫יוצרת שתי זוויות ישרות‬

‫‪AD  BC‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫‪B‬‬


Slide 3

‫שימוש במושגים ובעובדות מתמטיות‬
‫להוכחת חפיפת משולשים‪:‬‬
‫זווית שטוחה וזווית ישרה‬

‫זוויות קודקודיות‬

‫חציית זווית שטוחה יוצרת שתי זוויות ישרות‪.‬‬

‫כל שתי זוויות קודקודיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ O1   O 2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬
‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪O‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ O 1   O 2  90 ‬‬

‫שימוש במושגים ובעובדות מתמטיות‬
‫להוכחת חפיפת משולשים‪:‬‬
‫צלע משותפת לשני משולשים‬

‫כלל חיבור‬

‫אם צלע מסוימת שייכת לשני משולשים‪,‬‬
‫אז היא נקראת הצלע המשותפת‪.‬‬

‫אם מחברים קטעים שווים לקטעים שווים‪,‬‬
‫מקבלים סכומים שווים‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון‪CE=FB :‬‬
‫צ"ל‪CB=FE :‬‬

‫‪C‬‬
‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ -BC‬צלע משותפת ל‪  ABC -‬ו‪ DBC -‬‬

‫‪B‬‬
‫‪F‬‬

‫‪ FB‬‬
‫_______‬
‫נתון‬
‫‪ CE‬‬
‫כל קטע שווה לעצמו_ ______ ‪CB  FE ‬‬
‫‪ BE  BE‬‬
‫חיבור קטעים שווים‬

‫בעיית "הפרפר"‬
‫נתון‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫צ"ל‪:‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.AC‬‬

‫‪A  C‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.BD‬‬

‫‪B  D‬‬

‫טענה‬

‫‪A‬‬

‫נימוק‬

‫‪.1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪.3‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫בעיית "הפרפר"‬
‫נתון‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫צ"ל‪:‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.AC‬‬

‫‪A  C‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.BD‬‬

‫‪B  D‬‬

‫טענה‬

‫‪A‬‬

‫‪AO=OC‬‬

‫נתון כי נק' ‪ O‬חוצה‬
‫את הקטע ‪AC‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪BO=OD‬‬

‫נתון כי נק' ‪ O‬חוצה‬
‫את הקטע ‪BD‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪ O1   O 2‬‬

‫‪.1‬‬

‫‪O2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ ABO   CDO‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫נימוק‬

‫זוויות קודקודיות‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬זצ‪.‬‬

‫‪A  C‬‬

‫ז‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫‪B  D‬‬

‫ז‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫בעיית "הצל"‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪F  C‬‬
‫‪AC  FD‬‬
‫‪BF  CE‬‬

‫צ "ל ‪:‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬
‫‪F‬‬

‫‪AB  ED‬‬

‫‪D‬‬

‫טענה‬

‫‪BF  CE‬‬
‫‪FC  FC‬‬

‫נימוק‬

‫‪+‬‬

‫נתון‬
‫קטע משותף‬

‫‪BF  FC  CE  FC‬‬

‫חיבור קטעים שווים‬

‫‪BC  FE‬‬
‫‪F  C‬‬

‫סכום קטעים שווים‬

‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪AC  FD .3‬‬

‫‪ ABC   DEF‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪AB  ED‬‬

‫נתון‬
‫נתון‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬

‫צ‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫חציית משולש‬
‫צ "ל ‪:‬‬

‫נתון‪:‬‬
‫‪ A1   A 2‬‬

‫‪AD  BC‬‬

‫‪AB  AC‬‬
‫טענה‬

‫נימוק‬

‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪A‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫חציית משולש‬
‫צ "ל ‪:‬‬

‫נתון‪:‬‬
‫‪ A1   A 2‬‬

‫‪AD  BC‬‬

‫‪A‬‬

‫‪AB  AC‬‬
‫טענה‬

‫‪.1‬‬

‫‪AB  AC‬‬

‫‪ A1   A 2 .2‬‬
‫‪AD  AD .3‬‬

‫נימוק‬

‫‪C‬‬

‫נתון‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪D‬‬

‫נתון‬
‫צלע משותפת לשני‬
‫המשולשים‬

‫‪ ABC   ACD‬‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬

‫‪ D1   D 2‬‬

‫צ‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫‪ D 1   D 2  90 ‬‬

‫חציית זווית שטוחה ( ‪) BDC‬‬
‫יוצרת שתי זוויות ישרות‬

‫‪AD  BC‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫‪B‬‬


Slide 4

‫שימוש במושגים ובעובדות מתמטיות‬
‫להוכחת חפיפת משולשים‪:‬‬
‫זווית שטוחה וזווית ישרה‬

‫זוויות קודקודיות‬

‫חציית זווית שטוחה יוצרת שתי זוויות ישרות‪.‬‬

‫כל שתי זוויות קודקודיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ O1   O 2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬
‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪O‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ O 1   O 2  90 ‬‬

‫שימוש במושגים ובעובדות מתמטיות‬
‫להוכחת חפיפת משולשים‪:‬‬
‫צלע משותפת לשני משולשים‬

‫כלל חיבור‬

‫אם צלע מסוימת שייכת לשני משולשים‪,‬‬
‫אז היא נקראת הצלע המשותפת‪.‬‬

‫אם מחברים קטעים שווים לקטעים שווים‪,‬‬
‫מקבלים סכומים שווים‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון‪CE=FB :‬‬
‫צ"ל‪CB=FE :‬‬

‫‪C‬‬
‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ -BC‬צלע משותפת ל‪  ABC -‬ו‪ DBC -‬‬

‫‪B‬‬
‫‪F‬‬

‫‪ FB‬‬
‫_______‬
‫נתון‬
‫‪ CE‬‬
‫כל קטע שווה לעצמו_ ______ ‪CB  FE ‬‬
‫‪ BE  BE‬‬
‫חיבור קטעים שווים‬

‫בעיית "הפרפר"‬
‫נתון‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫צ"ל‪:‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.AC‬‬

‫‪A  C‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.BD‬‬

‫‪B  D‬‬

‫טענה‬

‫‪A‬‬

‫נימוק‬

‫‪.1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪.3‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫בעיית "הפרפר"‬
‫נתון‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫צ"ל‪:‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.AC‬‬

‫‪A  C‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.BD‬‬

‫‪B  D‬‬

‫טענה‬

‫‪A‬‬

‫‪AO=OC‬‬

‫נתון כי נק' ‪ O‬חוצה‬
‫את הקטע ‪AC‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪BO=OD‬‬

‫נתון כי נק' ‪ O‬חוצה‬
‫את הקטע ‪BD‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪ O1   O 2‬‬

‫‪.1‬‬

‫‪O2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ ABO   CDO‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫נימוק‬

‫זוויות קודקודיות‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬זצ‪.‬‬

‫‪A  C‬‬

‫ז‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫‪B  D‬‬

‫ז‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫בעיית "הצל"‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪F  C‬‬
‫‪AC  FD‬‬
‫‪BF  CE‬‬

‫צ "ל ‪:‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬
‫‪F‬‬

‫‪AB  ED‬‬

‫‪D‬‬

‫טענה‬

‫‪BF  CE‬‬
‫‪FC  FC‬‬

‫נימוק‬

‫‪+‬‬

‫נתון‬
‫קטע משותף‬

‫‪BF  FC  CE  FC‬‬

‫חיבור קטעים שווים‬

‫‪BC  FE‬‬
‫‪F  C‬‬

‫סכום קטעים שווים‬

‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪AC  FD .3‬‬

‫‪ ABC   DEF‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪AB  ED‬‬

‫נתון‬
‫נתון‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬

‫צ‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫חציית משולש‬
‫צ "ל ‪:‬‬

‫נתון‪:‬‬
‫‪ A1   A 2‬‬

‫‪AD  BC‬‬

‫‪AB  AC‬‬
‫טענה‬

‫נימוק‬

‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪A‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫חציית משולש‬
‫צ "ל ‪:‬‬

‫נתון‪:‬‬
‫‪ A1   A 2‬‬

‫‪AD  BC‬‬

‫‪A‬‬

‫‪AB  AC‬‬
‫טענה‬

‫‪.1‬‬

‫‪AB  AC‬‬

‫‪ A1   A 2 .2‬‬
‫‪AD  AD .3‬‬

‫נימוק‬

‫‪C‬‬

‫נתון‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪D‬‬

‫נתון‬
‫צלע משותפת לשני‬
‫המשולשים‬

‫‪ ABC   ACD‬‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬

‫‪ D1   D 2‬‬

‫צ‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫‪ D 1   D 2  90 ‬‬

‫חציית זווית שטוחה ( ‪) BDC‬‬
‫יוצרת שתי זוויות ישרות‬

‫‪AD  BC‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫‪B‬‬


Slide 5

‫שימוש במושגים ובעובדות מתמטיות‬
‫להוכחת חפיפת משולשים‪:‬‬
‫זווית שטוחה וזווית ישרה‬

‫זוויות קודקודיות‬

‫חציית זווית שטוחה יוצרת שתי זוויות ישרות‪.‬‬

‫כל שתי זוויות קודקודיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ O1   O 2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬
‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪O‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ O 1   O 2  90 ‬‬

‫שימוש במושגים ובעובדות מתמטיות‬
‫להוכחת חפיפת משולשים‪:‬‬
‫צלע משותפת לשני משולשים‬

‫כלל חיבור‬

‫אם צלע מסוימת שייכת לשני משולשים‪,‬‬
‫אז היא נקראת הצלע המשותפת‪.‬‬

‫אם מחברים קטעים שווים לקטעים שווים‪,‬‬
‫מקבלים סכומים שווים‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון‪CE=FB :‬‬
‫צ"ל‪CB=FE :‬‬

‫‪C‬‬
‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ -BC‬צלע משותפת ל‪  ABC -‬ו‪ DBC -‬‬

‫‪B‬‬
‫‪F‬‬

‫‪ FB‬‬
‫_______‬
‫נתון‬
‫‪ CE‬‬
‫כל קטע שווה לעצמו_ ______ ‪CB  FE ‬‬
‫‪ BE  BE‬‬
‫חיבור קטעים שווים‬

‫בעיית "הפרפר"‬
‫נתון‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫צ"ל‪:‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.AC‬‬

‫‪A  C‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.BD‬‬

‫‪B  D‬‬

‫טענה‬

‫‪A‬‬

‫נימוק‬

‫‪.1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪.3‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫בעיית "הפרפר"‬
‫נתון‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫צ"ל‪:‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.AC‬‬

‫‪A  C‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.BD‬‬

‫‪B  D‬‬

‫טענה‬

‫‪A‬‬

‫‪AO=OC‬‬

‫נתון כי נק' ‪ O‬חוצה‬
‫את הקטע ‪AC‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪BO=OD‬‬

‫נתון כי נק' ‪ O‬חוצה‬
‫את הקטע ‪BD‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪ O1   O 2‬‬

‫‪.1‬‬

‫‪O2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ ABO   CDO‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫נימוק‬

‫זוויות קודקודיות‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬זצ‪.‬‬

‫‪A  C‬‬

‫ז‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫‪B  D‬‬

‫ז‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫בעיית "הצל"‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪F  C‬‬
‫‪AC  FD‬‬
‫‪BF  CE‬‬

‫צ "ל ‪:‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬
‫‪F‬‬

‫‪AB  ED‬‬

‫‪D‬‬

‫טענה‬

‫‪BF  CE‬‬
‫‪FC  FC‬‬

‫נימוק‬

‫‪+‬‬

‫נתון‬
‫קטע משותף‬

‫‪BF  FC  CE  FC‬‬

‫חיבור קטעים שווים‬

‫‪BC  FE‬‬
‫‪F  C‬‬

‫סכום קטעים שווים‬

‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪AC  FD .3‬‬

‫‪ ABC   DEF‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪AB  ED‬‬

‫נתון‬
‫נתון‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬

‫צ‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫חציית משולש‬
‫צ "ל ‪:‬‬

‫נתון‪:‬‬
‫‪ A1   A 2‬‬

‫‪AD  BC‬‬

‫‪AB  AC‬‬
‫טענה‬

‫נימוק‬

‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪A‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫חציית משולש‬
‫צ "ל ‪:‬‬

‫נתון‪:‬‬
‫‪ A1   A 2‬‬

‫‪AD  BC‬‬

‫‪A‬‬

‫‪AB  AC‬‬
‫טענה‬

‫‪.1‬‬

‫‪AB  AC‬‬

‫‪ A1   A 2 .2‬‬
‫‪AD  AD .3‬‬

‫נימוק‬

‫‪C‬‬

‫נתון‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪D‬‬

‫נתון‬
‫צלע משותפת לשני‬
‫המשולשים‬

‫‪ ABC   ACD‬‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬

‫‪ D1   D 2‬‬

‫צ‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫‪ D 1   D 2  90 ‬‬

‫חציית זווית שטוחה ( ‪) BDC‬‬
‫יוצרת שתי זוויות ישרות‬

‫‪AD  BC‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫‪B‬‬


Slide 6

‫שימוש במושגים ובעובדות מתמטיות‬
‫להוכחת חפיפת משולשים‪:‬‬
‫זווית שטוחה וזווית ישרה‬

‫זוויות קודקודיות‬

‫חציית זווית שטוחה יוצרת שתי זוויות ישרות‪.‬‬

‫כל שתי זוויות קודקודיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ O1   O 2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬
‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪O‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ O 1   O 2  90 ‬‬

‫שימוש במושגים ובעובדות מתמטיות‬
‫להוכחת חפיפת משולשים‪:‬‬
‫צלע משותפת לשני משולשים‬

‫כלל חיבור‬

‫אם צלע מסוימת שייכת לשני משולשים‪,‬‬
‫אז היא נקראת הצלע המשותפת‪.‬‬

‫אם מחברים קטעים שווים לקטעים שווים‪,‬‬
‫מקבלים סכומים שווים‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון‪CE=FB :‬‬
‫צ"ל‪CB=FE :‬‬

‫‪C‬‬
‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ -BC‬צלע משותפת ל‪  ABC -‬ו‪ DBC -‬‬

‫‪B‬‬
‫‪F‬‬

‫‪ FB‬‬
‫_______‬
‫נתון‬
‫‪ CE‬‬
‫כל קטע שווה לעצמו_ ______ ‪CB  FE ‬‬
‫‪ BE  BE‬‬
‫חיבור קטעים שווים‬

‫בעיית "הפרפר"‬
‫נתון‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫צ"ל‪:‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.AC‬‬

‫‪A  C‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.BD‬‬

‫‪B  D‬‬

‫טענה‬

‫‪A‬‬

‫נימוק‬

‫‪.1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪.3‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫בעיית "הפרפר"‬
‫נתון‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫צ"ל‪:‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.AC‬‬

‫‪A  C‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.BD‬‬

‫‪B  D‬‬

‫טענה‬

‫‪A‬‬

‫‪AO=OC‬‬

‫נתון כי נק' ‪ O‬חוצה‬
‫את הקטע ‪AC‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪BO=OD‬‬

‫נתון כי נק' ‪ O‬חוצה‬
‫את הקטע ‪BD‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪ O1   O 2‬‬

‫‪.1‬‬

‫‪O2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ ABO   CDO‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫נימוק‬

‫זוויות קודקודיות‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬זצ‪.‬‬

‫‪A  C‬‬

‫ז‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫‪B  D‬‬

‫ז‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫בעיית "הצל"‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪F  C‬‬
‫‪AC  FD‬‬
‫‪BF  CE‬‬

‫צ "ל ‪:‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬
‫‪F‬‬

‫‪AB  ED‬‬

‫‪D‬‬

‫טענה‬

‫‪BF  CE‬‬
‫‪FC  FC‬‬

‫נימוק‬

‫‪+‬‬

‫נתון‬
‫קטע משותף‬

‫‪BF  FC  CE  FC‬‬

‫חיבור קטעים שווים‬

‫‪BC  FE‬‬
‫‪F  C‬‬

‫סכום קטעים שווים‬

‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪AC  FD .3‬‬

‫‪ ABC   DEF‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪AB  ED‬‬

‫נתון‬
‫נתון‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬

‫צ‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫חציית משולש‬
‫צ "ל ‪:‬‬

‫נתון‪:‬‬
‫‪ A1   A 2‬‬

‫‪AD  BC‬‬

‫‪AB  AC‬‬
‫טענה‬

‫נימוק‬

‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪A‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫חציית משולש‬
‫צ "ל ‪:‬‬

‫נתון‪:‬‬
‫‪ A1   A 2‬‬

‫‪AD  BC‬‬

‫‪A‬‬

‫‪AB  AC‬‬
‫טענה‬

‫‪.1‬‬

‫‪AB  AC‬‬

‫‪ A1   A 2 .2‬‬
‫‪AD  AD .3‬‬

‫נימוק‬

‫‪C‬‬

‫נתון‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪D‬‬

‫נתון‬
‫צלע משותפת לשני‬
‫המשולשים‬

‫‪ ABC   ACD‬‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬

‫‪ D1   D 2‬‬

‫צ‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫‪ D 1   D 2  90 ‬‬

‫חציית זווית שטוחה ( ‪) BDC‬‬
‫יוצרת שתי זוויות ישרות‬

‫‪AD  BC‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫‪B‬‬


Slide 7

‫שימוש במושגים ובעובדות מתמטיות‬
‫להוכחת חפיפת משולשים‪:‬‬
‫זווית שטוחה וזווית ישרה‬

‫זוויות קודקודיות‬

‫חציית זווית שטוחה יוצרת שתי זוויות ישרות‪.‬‬

‫כל שתי זוויות קודקודיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ O1   O 2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬
‫‪2‬‬

‫‪D‬‬

‫‪O‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪B‬‬

‫‪ O 1   O 2  90 ‬‬

‫שימוש במושגים ובעובדות מתמטיות‬
‫להוכחת חפיפת משולשים‪:‬‬
‫צלע משותפת לשני משולשים‬

‫כלל חיבור‬

‫אם צלע מסוימת שייכת לשני משולשים‪,‬‬
‫אז היא נקראת הצלע המשותפת‪.‬‬

‫אם מחברים קטעים שווים לקטעים שווים‪,‬‬
‫מקבלים סכומים שווים‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון‪CE=FB :‬‬
‫צ"ל‪CB=FE :‬‬

‫‪C‬‬
‫‪D‬‬

‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ -BC‬צלע משותפת ל‪  ABC -‬ו‪ DBC -‬‬

‫‪B‬‬
‫‪F‬‬

‫‪ FB‬‬
‫_______‬
‫נתון‬
‫‪ CE‬‬
‫כל קטע שווה לעצמו_ ______ ‪CB  FE ‬‬
‫‪ BE  BE‬‬
‫חיבור קטעים שווים‬

‫בעיית "הפרפר"‬
‫נתון‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫צ"ל‪:‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.AC‬‬

‫‪A  C‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.BD‬‬

‫‪B  D‬‬

‫טענה‬

‫‪A‬‬

‫נימוק‬

‫‪.1‬‬

‫‪O‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪.3‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫בעיית "הפרפר"‬
‫נתון‪:‬‬

‫‪D‬‬

‫צ"ל‪:‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.AC‬‬

‫‪A  C‬‬

‫נקודת ‪ O‬חוצה את הקטע ‪.BD‬‬

‫‪B  D‬‬

‫טענה‬

‫‪A‬‬

‫‪AO=OC‬‬

‫נתון כי נק' ‪ O‬חוצה‬
‫את הקטע ‪AC‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪BO=OD‬‬

‫נתון כי נק' ‪ O‬חוצה‬
‫את הקטע ‪BD‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪ O1   O 2‬‬

‫‪.1‬‬

‫‪O2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪C‬‬
‫‪B‬‬

‫‪ ABO   CDO‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫נימוק‬

‫זוויות קודקודיות‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬זצ‪.‬‬

‫‪A  C‬‬

‫ז‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫‪B  D‬‬

‫ז‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫בעיית "הצל"‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪F  C‬‬
‫‪AC  FD‬‬
‫‪BF  CE‬‬

‫צ "ל ‪:‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬
‫‪F‬‬

‫‪AB  ED‬‬

‫‪D‬‬

‫טענה‬

‫‪BF  CE‬‬
‫‪FC  FC‬‬

‫נימוק‬

‫‪+‬‬

‫נתון‬
‫קטע משותף‬

‫‪BF  FC  CE  FC‬‬

‫חיבור קטעים שווים‬

‫‪BC  FE‬‬
‫‪F  C‬‬

‫סכום קטעים שווים‬

‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪AC  FD .3‬‬

‫‪ ABC   DEF‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫‪AB  ED‬‬

‫נתון‬
‫נתון‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬

‫צ‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫חציית משולש‬
‫צ "ל ‪:‬‬

‫נתון‪:‬‬
‫‪ A1   A 2‬‬

‫‪AD  BC‬‬

‫‪AB  AC‬‬
‫טענה‬

‫נימוק‬

‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪A‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪C‬‬

‫‪D‬‬

‫‪1‬‬

‫‪B‬‬

‫חציית משולש‬
‫צ "ל ‪:‬‬

‫נתון‪:‬‬
‫‪ A1   A 2‬‬

‫‪AD  BC‬‬

‫‪A‬‬

‫‪AB  AC‬‬
‫טענה‬

‫‪.1‬‬

‫‪AB  AC‬‬

‫‪ A1   A 2 .2‬‬
‫‪AD  AD .3‬‬

‫נימוק‬

‫‪C‬‬

‫נתון‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪D‬‬

‫נתון‬
‫צלע משותפת לשני‬
‫המשולשים‬

‫‪ ABC   ACD‬‬

‫לפי משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬

‫‪ D1   D 2‬‬

‫צ‪.‬מ‪.‬ב‪.‬ח‪.‬‬

‫‪ D 1   D 2  90 ‬‬

‫חציית זווית שטוחה ( ‪) BDC‬‬
‫יוצרת שתי זוויות ישרות‬

‫‪AD  BC‬‬

‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬

‫‪B‬‬