Transcript במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו

‫משולש שווה שוקיים‬
‫ח' מצויינות‪ ,‬ד' רדליך‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫משולש שווה שוקיים הוא משולש ששתיים‬
‫מצלעותיו שוות באורכן‪.‬‬
‫הצלעות השוות נקראת שוקיים‬
‫הצלע השלישית נקראת בסיס‬
‫הזווית שבין השוקיים נקראת זווית הראש‬
‫הזוויות הסמוכות לבסיס נקראות זוויות הבסיס‬
‫נתון משולש ‪ABC‬‬
‫‪AB=AC‬‬
‫‪AD _ AC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ O‬צ"ל ‪ :‬משולשים ‪ ABD,ACD‬חופפים‬
‫‪ O‬הוכחה‪:‬‬
‫טענה‬
‫הסבר‬
‫צ‬
‫‪AB=AC‬‬
‫נתון‬
‫צ‬
‫‪AD‬‬
‫צ' משותפת‬
‫ז‬
‫‪< ADB=< ADC‬‬
‫נתון ‪AD _ AC‬‬
‫‪≈ACD‬‬
‫‪ABD‬‬
‫לפי מ' צ‪.‬צ‪.‬ז[‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫משפט‬
‫‪ O‬במשולש שווה שוקיים‪ ,‬הגובה‬
‫לבסיס‪ ,‬מחלק את המשולש‬
‫לשני משולשים חופפים‪.‬‬
‫(לפי משפט חפיפה צ‪.‬צ‪.‬ז‪).‬‬
‫מתוך משפט זה נובעים שני משפטים נוספים‪:‬‬
‫משפט ‪1‬‬
‫‪O‬במשולש שווה שוקיים‬
‫זוויות הבסיס שוות זו לזו‬
‫משפט ‪2‬‬
‫‪ O‬במשולש שווה שוקיים‪ ,‬חוצה‬
‫זווית הראש הוא גם תיכון‬
‫לבסיס ‪.‬‬
‫‪( O‬כלומר‪ :‬הגובה לבסיס‪,‬‬
‫חוצה זווית הראש‬
‫והתיכון לבסיס מתלכדים)‬
‫מה בנוגע לחוצה זווית הבסיס? האם‬
‫הוא גם גובה לשוק וגם תיכון לשוק?‬
‫‪ O‬משימות‬
‫‪ .1‬סרטטי במשולש שווה שוקיים מזוויות הבסיס‬
‫(באופן מדוייק עם סרגל ומד זווית)‬
‫‪ O‬א‪ .‬גובה לשוק‪ ,‬משתי זוויות הבסיס‪ ,‬בצבע אדום‬
‫‪ O‬ב‪ .‬תיכון‪ ,‬לשוק‪ ,‬משתי זוויות הבסיס‪ ,‬בצבע ירוק‬
‫‪ O‬ג‪ .‬חוצה זווית הבסיס‪ ,‬משתי הזוויות‪ ,‬בצבע כחול‬
‫‪ O‬האם הם מתלכדים?‬
‫‪ O‬האם יתכן משולש שבו הם כן יתלכדו?‬
‫מסקנה ‪1‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫במשולש שווה שוקיים‪,‬‬
‫הגבהים היוצאים מזוויות הבסיס לשוקיים‬
‫התיכונים היוצאים מזוויות הבסיס לשוקיים‬
‫וחוצי הזווית היוצאים מזוויות הבסיס לשוקיים‬
‫‪ O‬אינם תמיד מתלכדים‬
‫נתון משולש שווה שוקיים ‪ABC‬‬
‫מהבסיסים העבירו גבהים לשוקיים‬
‫‪A‬‬
‫הוכיחי שהם שווים‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון ‪AB=AC :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪BD _ CE‬‬
‫‪C‬‬
‫צ"ל‪CE=BD :‬‬
‫הוכחה ‪ :‬נחפוף משולשים ‪ BEC‬עם ‪CDB‬‬
‫טענה‬
‫הסבר‬
‫צ‬
‫‪BC‬‬
‫צ משותפת‬
‫ז‬
‫‪< ABC=< ACB‬‬
‫נתון ‪ ABC‬מש"ש‪ ,‬ז' הבסיס שוות‬
‫ז גדולה‬
‫‪< BEC=< CDB‬‬
‫נתון ‪BD _ CE‬‬
‫מכאן נובע‬
‫המשולשים חופפים‬
‫לפי משפט צ‪.‬ז‪.‬ז(גדולה)‬
‫נובע מהחפיפה ‪CE=BD‬‬
‫צלעות שוות בהתאמה‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫הערה‪ ,‬לגבי משפט חפיפה‬
‫צ‪.‬ז‪.‬ז (גדולה)‬
‫‪ O‬משפט חפיפה זה אינו קביל בבגרות‪ ,‬אבל במבחן‬
‫כן‪.‬‬
‫‪ O‬ניתן להמיר אותו למשפט חפיפה ז‪.‬צ‪.‬ז‪ .‬ע"י חיסור‬
‫זוויות‬
‫(שהרי כשמחסרים ‪ 180‬משתי זוויות במשולש‪ ,‬נקבל‬
‫גודל שווה לאותן הזווויות במשולש השני‪ ,‬ואז קיבלנו‬
‫ז‪.‬צ‪.‬ז‪).‬‬
‫נתון משולש שווה שוקיים ‪ABC‬‬
‫מהבסיסים העבירו תיכונים לשוקיים‬
‫‪A‬‬
‫הוכיחי שהם שווים‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון ‪AB=AC :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪AE=EB‬‬
‫‪C‬‬
‫‪AD=DC‬‬
‫צ"ל‪CE=BD :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נחפוף משולשים ‪ BEC‬עם ‪CDB‬‬
‫‪E‬‬
‫טענה‬
‫הסבר‬
‫צ‬
‫‪BE=DC‬‬
‫נתון תיכונים לשוקיים‬
‫ז‬
‫‪< ABC=< ACB‬‬
‫זוויות בסיס שוות במש"ש‬
‫צ‬
‫‪BC‬‬
‫צ' משותפת‬
‫מכאן נובע‬
‫המשולשים חופפים‬
‫צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬
‫נובע מהחפיפה ‪CE=BD‬‬
‫צלעות שוות בהתאמה‬
‫‪B‬‬
‫נתון משולש שווה שוקיים ‪ABC‬‬
‫מהבסיסים העבירו חוצי זוויות הבסיס‬
‫‪A‬‬
‫הוכיחי שהם שווים‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון ‪AB=AC :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪< ABD=< DBC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ACE= ECB‬‬
‫צ"ל‪CE=BD :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נחפוף משולשים ‪ BEC‬עם ‪CDB‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫טענה‬
‫הסבר‬
‫ז‬
‫‪< ABC=< ACB‬‬
‫זוויות בסיס שוות במש"ש‬
‫צ‬
‫‪BC‬‬
‫צ' משותפת‬
‫ז‬
‫‪< DBC=< ECB‬‬
‫נתון חוצי זוויות של זוויות שוות‬
‫מכאן נובע‬
‫המשולשים חופפים‬
‫ז‪.‬צ‪.‬ז‪.‬‬
‫נובע‬
‫מהחפיפה‬
‫‪CE=BD‬‬
‫צלעות שוות בהתאמה‬
‫מסקנה ‪2‬‬
‫משפטים‬
‫במשולש שווה שוקיים‪:‬‬
‫‪ O‬התיכונים לשוקיים שווים זה לזה‬
‫‪ O‬הגבהים לשוקיים שווים זה לזה‬
‫‪ O‬חוצי זוויות הבסיס שווים זה לזה‬
‫נחזור למשפט‬
‫במשולש שווה שוקיים‪ ,‬זוויות‬
‫הבסיס שוות‬
‫‪ O‬האם גם המשפט ההפוך הוא נכון?‬
‫‪( O‬משולש בעל שתי זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים)‬
‫‪L‬‬
‫‪ O‬נתון‪ :‬משולש ‪>K= > M . KLM‬‬
‫‪ O‬צ"ל‪KL =LM :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוריד קו עזר ‪LT‬‬
‫‪K‬‬
‫‪T‬‬
‫‪M‬‬
‫‪O‬‬
‫משפט הפוך‬
‫‪ O‬אם נתון משולש שזוויות‬
‫הבסיס שוות זו לזו‬
‫אז המשולש הוא משולש שווה‬
‫שוקיים‬
‫משפט‬
‫תיכון ליתר במשולש ישר זווית‬
‫‪ O‬במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪AD=DC=BD O‬‬
‫משפט הפוך‬
‫אם במשולש התיכון לצלע שווה‬
‫למחצית הצלע אותה הוא חוצה‬
‫אז המשולש הוא ישר זווית‬
‫(הזווית שמול הצלע הנ"ל היא ישרה)‬
‫השלימי את ההוכחה בעמ' ‪147‬‬
‫עבודת כיתה וש"ב‬
‫"אפשר גם אחרת חלק ב'"‬
‫‪ O‬עמ' ‪ 142‬תרגילים ‪4,5‬‬
‫‪ O‬עמ' ‪ 143‬תרגילים ‪6,8,9‬‬
‫‪ O‬עמ' ‪ 146‬תרגילים ‪2,5‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫עמ' ‪ 147‬תרגילים ‪2,3‬‬
‫עמ' ‪ 149‬תרגילים ‪ :‬הראשון בעמוד‪ ,‬ותרגיל מס'‪2‬‬
‫עמ' ‪ 150‬תרגילים ‪6,8‬‬
‫עמ' ‪ 151‬תרגילים ‪11,12 ,9‬‬
‫עמ' ‪ 152‬תרגילים ‪14,15,17‬‬