Transcript נתון - Docstoc

‫משפחת המרובעים‬
‫לכיתה ט'‬
‫מאת‪ :‬אבי משולם‬
‫‪1‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫מתודולוגיה‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪2‬‬
‫טיפים לפתרון שאלות‬
‫מהו מרובע?‬
‫הטרפז‬
‫הדלתון‬
‫המעוין‬
‫המקבילית‬
‫המלבן‬
‫הריבוע‬
‫דוגמאות נוספות‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫טיפים בפתרון שאלות‬
‫• שרטטו שרטוט המתאים לשאלה‬
‫– רשמו את כל הנתונים בשרטוט‬
‫• כל נתון שאתם מגלים במהלך הפתרון – הוסיפו לשרטוט‬
‫• התחילו מהסוף – מה אתם צריכים לגלות‪/‬להוכיח?‬
‫• חשבו‪:‬‬
‫– איך הנתונים עוזרים לכם להגיע לפתרון?‬
‫– אילו משפטים שאתם מכירים מתאימים לשאלה?‬
‫• בשאלות שצריך למצוא גודל מסוים‪ ,‬רצוי לסמן את הגודל‬
‫כ‪( X-‬נעלם)‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫מהו המרובע?‬
‫• המרובע – מצולע בעל ‪ 4‬צלעות‪.‬‬
‫– סכום הזוויות במרובע הוא ‪.3600‬‬
‫– היקף המרובע (‪ – )P‬סכום ‪ 4‬צלעותיו‪.‬‬
‫– שטח מרובע (‪ – )S‬מכפלת צלע במרובע בגובה לאותה צלע‪.‬‬
‫• מבחינים בין מרובעים לא מיוחדים למרובעים מיוחדים‪.‬‬
‫– על המרובעים המיוחדים בשקפים הבאים‪...‬‬
‫‪4‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫מהו המרובע? (המשך)‬
‫‪a‬‬
‫‪P  abcd‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪d‬‬
‫‪h‬‬
‫‪b‬‬
‫‪S  ch‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪c‬‬
‫‪5‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫הטרפז‬
‫• טרפז – מרובע בעל זוג צלעות נגדיות מקבילות‪.‬‬
‫• תכונות הטרפז‪:‬‬
‫– זוג צלעות נגדיות מקבילות (‪.)ac‬‬
‫• שטח והקף‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P  abcd‬‬
‫‪(a  c)h‬‬
‫‪S ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪h‬‬
‫‪c‬‬
‫‪d‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫טרפז ישר זווית‬
‫• טרפז ישר זווית – טרפז אשר ‪ 2‬מזוויותיו בנות ‪ 90‬מעלות‪.‬‬
‫• תכונות הטרפז‪:‬‬
‫– זוג צלעות נגדיות מקבילות (‪.)ac‬‬
‫– זווית בת ‪ 90‬מעלות‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫• שטח והיקף‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪b‬‬
‫‪P  abcd‬‬
‫‪C‬‬
‫‪( c  a )b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪c‬‬
‫‪D‬‬
‫‪S ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫טרפז שווה‪-‬שוקיים‬
‫• טרפז שווה‪-‬שוקיים– טרפז אשר ‪ 2‬שוקיו שוות זו לזו‪.‬‬
‫• תכונות הטרפז‪:‬‬
‫– זוג צלעות נגדיות מקבילות (‪.)ac‬‬
‫– זוג שוקיים שוות (‪.)b=d‬‬
‫‪a‬‬
‫• שטח והיקף‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫‪P  abcd‬‬
‫‪(a  c)h‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪S ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫טרפז (דוגמה)‬
‫• דוגמה‪ ABCD :‬טרפז (‪.)ABCD‬‬
‫‪∢ABD = 25° ,AD=AB‬‬
‫חשבו את זווית ‪ .∢D‬נמקו!‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪250‬‬
‫‪C‬‬
‫‪9‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫‪D‬‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫טרפז (דוגמה‪-‬המשך)‬
‫• פתרון‪:‬‬
‫הסבר‬
‫טענה‬
‫נסתכל על משולש ‪ABD‬‬
‫נתון‬
‫‪AD=AB‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ABD  25‬‬
‫‪0‬‬
‫‪AD B ‬‬
‫‪A  130‬‬
‫‪ABCD‬‬
‫‪0‬‬
‫‪D  180‬‬
‫‪A‬‬
‫זוויות בסיס במשולש שו"ש‬
‫סכום הזוויות במשולש – ‪180‬‬
‫מעלות‬
‫נתון טרפז‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪250‬‬
‫זוויות חד‪-‬צדדיות בין מקבילים‬
‫‪500‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪D  50‬‬
‫‪C‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫‪D‬‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫הדלתון‬
‫• דלתון – מרובע בעל ‪ 2‬זוגות של צלעות סמוכות שוות‪.‬‬
‫• תכונות הדלתון‪:‬‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫‪AB=AD‬‬
‫‪CB=CD‬‬
‫זוויות הבסיס שוות ( ‪) B  D‬‬
‫האלכסון הראשי חוצה את זוויות הראש ( ‪A , C  C‬‬
‫האלכסונים מאונכים זה לזה (‪)AC┴BD‬‬
‫אלכסון הראש חוצה את אלכסון הבסיס (‪.)BO=DO‬‬
‫‪2‬‬
‫• שטח והיקף‪:‬‬
‫‪A1 ‬‬
‫‪a‬‬
‫)‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫‪P  (a  b)  2‬‬
‫‪AC  BD‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪S ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪11‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫הדלתון (דוגמה)‬
‫• דוגמה‪ PTRS :‬דלתון ובו נתון‪:‬‬
‫‪T1  28 , P R  10‬‬
‫‪0‬‬
‫– חשב את‪:‬‬
‫‪T2 , PO , RO‬‬
‫‪R 2  27 ,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪O1 ,‬‬
‫‪R1  62 ,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪TPS ,‬‬
‫‪T‬‬
‫• פתרון‪:‬‬
‫טענה‬
‫‪TRS‬‬
‫‪0‬‬
‫‪TPS ‬‬
‫הסבר‬
‫זוויות הבסיס בדלתון שוות‬
‫‪O‬‬
‫‪T P S  62  27  89‬‬
‫נתון‬
‫‪O1  90‬‬
‫האלכסונים בדלתון מאונכים זה‬
‫לזה‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 10‬ס"מ‬
‫‪P‬‬
‫‪R‬‬
‫‪S‬‬
‫‪12‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫הדלתון (דוגמה – המשך)‬
‫• המשך פתרון‪:‬‬
‫טענה‬
‫‪0‬‬
‫‪T 2  28‬‬
‫הסבר‬
‫‪T1 ‬‬
‫‪PO=RO=5‬‬
‫האלכסון הראשי בדלתון חוצה‬
‫את זוויות הראש‬
‫‪T‬‬
‫האלכסון הראשי בדלתון חוצה‬
‫את אלכסון הבסיס‬
‫‪ 10‬ס"מ‬
‫‪O‬‬
‫‪P‬‬
‫‪R‬‬
‫‪S‬‬
‫‪13‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫המעוין‬
‫• מעוין – מרובע בעל ‪ 4‬צלעות שוות זו לזו‪.‬‬
‫– זהו מקרה פרטי של דלתון ושל מקבילית‪.‬‬
‫• תכונות המעוין‪:‬‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫כל הצלעות שוות (‪)AB=BC=CD=DA‬‬
‫זוויות נגדיות שוות זו לזו ( ‪) A  C ; B  D‬‬
‫האלכסונים מאונכים זה לזה (‪)AC┴BD‬‬
‫האלכסונים חוצים זה את זה (‪)AO=CO;BO=DO‬‬
‫האלכסונים חוצים את הזוויות‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a‬‬
‫‪O‬‬
‫• שטח והיקף‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P  4a‬‬
‫‪AC  BD‬‬
‫‪14‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪S ‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫המעוין (דוגמה)‬
‫• דוגמה‪ :‬במעוין ‪ ABCD‬הקטע ‪ AE‬חוצה את‬
‫וחותך את האלכסון ‪ DB‬בנקודה ‪.F‬‬
‫נתון‪.DF=AF :‬‬
‫‪DAC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫– חשב את זוויות המעוין‪.‬‬
‫– הוכח‪.AE┴DC :‬‬
‫‪X1 X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪O‬‬
‫• פתרון‪:‬‬
‫‪F‬‬
‫הסבר‬
‫טענה‬
‫‪C‬‬
‫נסתכל על ‪∆AOD‬‬
‫נקרא‪:‬‬
‫‪A1  A2  X‬‬
‫‪DAE  X‬‬
‫‪AF=DF‬‬
‫‪15‬‬
‫‪E‬‬
‫לשם נוחות‬
‫נתון ‪ AE‬חוצה זווית‬
‫נתון‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫‪D‬‬
‫המעוין (דוגמה – המשך)‬
‫• פתרון (המשך)‪:‬‬
‫הסבר‬
‫טענה‬
‫‪ADF  X‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A O D  90‬‬
‫‪B‬‬
‫‪600‬‬
‫‪600‬‬
‫‪30‬‬
‫‪X0‬‬
‫‪X0 30‬‬
‫‪O‬‬
‫במעוין האלכסונים מאונכים זה‬
‫לזה‬
‫‪3X=900‬‬
‫סכום הזוויות במשולש הוא‬
‫‪1800‬‬
‫‪X=300‬‬
‫נתון‬
‫‪B A C  60‬‬
‫‪16‬‬
‫‪A1 ‬‬
‫זוויות הבסיס במשולש שו"ש‬
‫שוות‬
‫‪A‬‬
‫‪DAC ‬‬
‫במעוין האלכסונים הם חוצי‬
‫זווית‬
‫‪0‬‬
‫‪C  120‬‬
‫‪A‬‬
‫זוויות נגדיות שוות‬
‫‪0‬‬
‫‪D  60‬‬
‫‪B ‬‬
‫סכום הזוויות במרובע הוא ‪3600‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫‪F‬‬
‫‪1200‬‬
‫‪C‬‬
‫‪30‬‬
‫‪X0‬‬
‫‪E‬‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫‪D‬‬
‫המעוין (דוגמה – המשך)‬
‫• פתרון (המשך – סעיף ב')‪:‬‬
‫טענה‬
‫הסבר‬
‫נסתכל על ‪∆AED‬‬
‫‪0‬‬
‫‪D A E  30‬‬
‫‪A D E  60‬‬
‫הוכחה בסעיף קודם‬
‫‪A E D  90‬‬
‫סכום הזוויות במשולש הוא‬
‫‪1800‬‬
‫‪0‬‬
‫‪AE┴DC‬‬
‫‪17‬‬
‫‪B‬‬
‫‪600‬‬
‫‪600‬‬
‫הוכחה בסעיף קודם‬
‫‪0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪300 300‬‬
‫‪O‬‬
‫‪F‬‬
‫‪1200‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫‪30‬‬
‫‪X0‬‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫‪D‬‬
‫המקבילית‬
‫• מקבילית – מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות‪.‬‬
‫• תכונות המקבילית‪:‬‬
‫– צלעות נגדיות שוות זו לזו (‪)AB=CD; BC=AD‬‬
‫– זוויות נגדיות שוות זו לזו (‬
‫‪B ‬‬
‫‪D‬‬
‫;‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫)‬
‫– האלכסונים חוצים זה את זה (‪)AO=CO;BO=DO‬‬
‫– האלכסונים חוצים את הזוויות‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫• שטח והיקף‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪P  (a  b)  2‬‬
‫‪S  a h‬‬
‫‪18‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫‪A‬‬
‫‪h‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫המקבילית (דוגמה)‬
‫• דוגמה‪ :‬במקבילית ‪ ABCD‬נתון‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫– ‪CE┴AD‬‬
‫– ‪CF=DF‬‬
‫• צ"ל‪:‬‬
‫‪F‬‬
‫‪CFE  2  B‬‬
‫• פתרון‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫טענה‬
‫‪D‬‬
‫‪B ‬‬
‫זוויות נגדיות במקבילית שוות‬
‫‪ ∆CED‬ישר זווית‬
‫נתון ‪CE┴AD‬‬
‫‪CF=DF‬‬
‫נתון‬
‫‪EF=CD/2=DF‬‬
‫תיכון ליתר במשולש ישר זווית‪ ,‬שווה לחציו‬
‫‪FED‬‬
‫‪FED  2  B‬‬
‫‪19‬‬
‫הסבר‬
‫‪D ‬‬
‫‪B‬‬
‫זוויות בסיס במשולש שו"ש ‪EFD‬‬
‫‪CFE ‬‬
‫זווית חיצונית למשולש שווה לשתי הזוויות‬
‫הפנימיות שאינן צמודות לה‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫המלבן‬
‫• מלבן – מרובע שבו כל הזוויות ישרות‪.‬‬
‫– זהו מקרה פרטי של מקבילית‪.‬‬
‫• תכונות המלבן‪:‬‬
‫– כל הזוויות שוות זו לזו וישרות‪.‬‬
‫– צלעות נגדיות שוות זו לזו (‪)AB=CD; BC=AD‬‬
‫– האלכסונים שווים זה לזה (‪)AC=BD‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫– האלכסונים חוצים זה את זה (‪)AO=CO;BO=DO‬‬
‫‪b‬‬
‫• שטח והיקף‪:‬‬
‫‪O‬‬
‫‪P  (a  b)  2‬‬
‫‪S  a b‬‬
‫‪20‬‬
‫‪C‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫‪D‬‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫המלבן (דוגמה)‬
‫• דוגמה‪ :‬נתון ‪ ABCD‬מלבן‪ AE .‬חוצה זווית ‪.A‬‬
‫• פתור‪:‬‬
‫‪450‬‬
‫– מצא את זוויות ‪.3 ,2 ,1‬‬
‫– הוכח‪.BK=AB :‬‬
‫– נתון‪ 40=AB :‬ס"מ‪ 22=AD ,‬ס"מ‪ .‬מצא את ‪ BK ,CK‬ו – ‪.BC‬‬
‫• פתרון‪:‬‬
‫‪450‬‬
‫‪450‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫טענה‬
‫הסבר‬
‫‪A  90‬‬
‫במלבן כל הזוויות ישרות‬
‫‪A1 ‬‬
‫‪A2  45‬‬
‫‪BKAD‬‬
‫‪0‬‬
‫‪21‬‬
‫‪A3  45‬‬
‫‪A2 ‬‬
‫נתון ‪AE‬חוצה זווית‬
‫במלבן‪ ,‬צלעות נגדיות מקבילות‬
‫זוויות מתחלפות בין מקבילים‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫המלבן (דוגמה – המשך)‬
‫• המשך פתרון‪:‬‬
‫טענה‬
‫הסבר‬
‫נסתכל כל ‪∆ABK‬‬
‫נוכיח כי מדובר במשולש שו"ש‬
‫‪0‬‬
‫‪3  45‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 40‬ס"מ‬
‫ר' הוכחה בסעיף קודם‬
‫‪BC=AD=22‬‬
‫צלעות נגדיות במלבן שוות‬
‫‪BK=AB=40‬‬
‫ר' הוכחה בסעיף קודם‬
‫‪ 40‬ס"מ‬
‫‪AB=BK‬‬
‫אם זוויות הבסיס שוות‪ ,‬הרי מדובר‬
‫במשולש שו"ש (מ‪.‬ש‪.‬ל‪).‬‬
‫‪18‬ס"מ‬
‫‪450‬‬
‫‪22‬ס"מ‬
‫‪CK=BK-BC=18‬‬
‫‪450‬‬
‫‪450‬‬
‫‪22‬ס"מ‬
‫‪22‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫הריבוע‬
‫• ריבוע – מרובע בעל ‪ 4‬צלעות שוות ו‪ 4-‬זוויות שוות‪.‬‬
‫• תכונות הריבוע‪:‬‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫כל הצלעות שוות (‪)AB=BC=CD=DA‬‬
‫כל הזוויות שוות זו לזו וישרות‬
‫האלכסונים שווים זה לזה (‪)AC=BD‬‬
‫האלכסונים מאונכים זה לזה (‪)AC┴BD‬‬
‫האלכסונים חוצים זה את זה (‪)AO=CO;BO=DO‬‬
‫האלכסונים חוצים את הזוויות‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫• שטח והיקף‪:‬‬
‫‪P  4a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪23‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪S  a‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫הריבוע (דוגמה)‬
‫• דוגמה‪ :‬בריבוע ‪ ABCD‬נתון‪:‬‬
‫‪AF  2  FD‬‬
‫– ‪,BE=DF‬‬
‫– ‪ AL‬חוצה את הזווית ‪ AM ,FAD‬חוצה את הזווית ‪.BAE‬‬
‫‪X‬‬
‫• הוכיחו‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫– ‪ ∆ALM‬שווה‪-‬צלעות‪.‬‬
‫– ‪.MLEF‬‬
‫• פתרון‪:‬‬
‫טענה‬
‫‪F‬‬
‫הסבר‬
‫‪0‬‬
‫‪F A D  30‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A1  1 5‬‬
‫‪24‬‬
‫‪L‬‬
‫‪D‬‬
‫נסתכל על ‪∆ADF‬‬
‫‪AF  2  FD‬‬
‫‪X‬‬
‫‪34‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪15‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון‬
‫במשולש ישר זווית‪ ,‬הזווית מול ניצב‬
‫השווה לחצי מהיתר היא בת ‪300‬‬
‫נתון ‪ AL‬חוצה זווית‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫הריבוע (דוגמה ‪ -‬המשך)‬
‫• המשך פתרון‪:‬‬
‫טענה‬
‫הסבר‬
‫נסתכל על ‪∆ADF ,∆ABE‬‬
‫נוכיח משולשים חופפים‬
‫‪AD=AB‬‬
‫בריבוע כל הצלעות שוות (צ')‬
‫‪D ‬‬
‫בריבוע כל הזוויות שוות (ז')‬
‫‪B‬‬
‫‪BE=DF‬‬
‫נתון (צ')‬
‫‪ADF  ABE‬‬
‫לפי צ'‪ ,‬ז'‪ ,‬צ'‬
‫‪AE=AF=2X‬‬
‫צמב"ח‬
‫נסתכל על ‪∆ABE‬‬
‫‪AE  2  BE‬‬
‫‪0‬‬
‫‪B A E  30‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A3  1 5‬‬
‫‪25‬‬
‫‪X‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪X‬‬
‫‪150‬‬
‫‪34‬‬
‫‪L‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪150‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ישר זווית‪ ,‬הזווית מול ניצב‬
‫השווה לחצי מהיתר היא בת ‪300‬‬
‫נתון ‪ AM‬חוצה זווית‬
‫משפחת המרובעים‬
‫‪B‬‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫הריבוע (דוגמה ‪ -‬המשך)‬
‫• המשך פתרון‪:‬‬
‫טענה‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A  90‬‬
‫‪A1 ‬‬
‫‪A3  15‬‬
‫הסבר‬
‫כל הזוויות בריבוע ישרות‬
‫הוכח בסעיפים קודמים‬
‫‪M A L  60‬‬
‫משלים ל‪ 90-‬מעלות‬
‫נסתכל על ‪∆ADL ,∆ABM‬‬
‫נוכיח משולשים חופפים‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A3  15‬‬
‫‪AB=AD‬‬
‫‪D ‬‬
‫כל הזוויות בריבוע שוות‬
‫‪ADL  ABM‬‬
‫לפי ז'‪ ,‬צ'‪ ,‬ז'‬
‫‪AL=AM‬‬
‫צמב"ח‬
‫‪A M L  60‬‬
‫‪ALM ‬‬
‫‪ ∆ALM‬שווה‪-‬צלעות‬
‫‪26‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪F‬‬
‫‪X‬‬
‫‪L‬‬
‫‪D‬‬
‫‪600‬‬
‫‪2‬‬
‫‪150‬‬
‫‪600‬‬
‫‪150‬‬
‫‪4‬‬
‫‪A‬‬
‫זוויות שוות ומשלימות ל‪ 180-‬מעלות‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‬
‫משפחת המרובעים‬
‫‪B‬‬
‫‪600‬‬
‫הוכח בסעיף קודם (ז')‬
‫כל הצלעות בריבוע שוות‬
‫‪B‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A1 ‬‬
‫‪X‬‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫הריבוע (דוגמה ‪ -‬המשך)‬
‫• המשך פתרון‪:‬‬
‫טענה‬
‫הסבר‬
‫‪BE=FD‬‬
‫נתון‬
‫‪ADL  ABM‬‬
‫‪X‬‬
‫הוכח בסעיף קודם‬
‫‪BM=DL‬‬
‫צמב"ח‬
‫‪BE-BM=FD-DL‬‬
‫חיסור קטעים‬
‫‪ME=FL‬‬
‫נובע מסעיף קודם‬
‫‪MLEF‬‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‬
‫‪600‬‬
‫‪F‬‬
‫‪150‬‬
‫‪X‬‬
‫‪L‬‬
‫‪D‬‬
‫‪27‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪600‬‬
‫‪2‬‬
‫‪150‬‬
‫‪600‬‬
‫‪4‬‬
‫‪A‬‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫דוגמאות נוספות‬
‫• דוגמה מס' ‪:1‬‬
‫– ‪ ABCD‬מלבן‪ .‬הנקודה ‪ K‬נמצאת על המשך ‪.AB‬‬
‫הקטע ‪ CK‬שווה לאלכסון ‪.DB‬‬
‫– הוכיחו‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫• המשולש ‪ ACK‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫• המרובע ‪ CDBK‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫– פתרון‪:‬‬
‫‪28‬‬
‫טענה‬
‫הסבר‬
‫‪CK=DB‬‬
‫נתון‬
‫‪DB=CA‬‬
‫במלבן האלכסונים שווים זה לזה‬
‫‪CK=CA‬‬
‫נובע משני הסעיפים הקודמים‬
‫‪ ∆ACK‬שו"ש‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬
‫‪CDAB‬‬
‫במלבן‪ ,‬צלעות נגדיות מקבילות‬
‫משפחת המרובעים‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫‪K‬‬
‫דוגמאות נוספות (המשך)‬
‫• דוגמה מס' ‪:1‬‬
‫– המשך פתרון‪:‬‬
‫‪29‬‬
‫טענה‬
‫הסבר‬
‫‪CDKB‬‬
‫‪KB‬המשך צלע ‪AB‬‬
‫‪CAB‬‬
‫‪CKB ‬‬
‫זוויות בסיס שוות זו לזו במשולש‬
‫שו"ש ‪KCA‬‬
‫‪CAB‬‬
‫‪DBA ‬‬
‫האלכסונים במלבן שווים זה לזה‬
‫וחוצים זה את זה ולכן הם יוצרים‬
‫ביניהם משולשים שווי שוקיים‬
‫‪DBA‬‬
‫‪CKB ‬‬
‫נובע משני הסעיפים הקודמים‬
‫‪CKDB‬‬
‫נובע מסעיף קודם‪ ,‬זוויות מתאימות‬
‫שוות יוצרות שני מקבילים‬
‫‪ CDBK‬מקבילית‬
‫קיימות ‪ 2‬זוגות צלעות נגדיות‬
‫מקבילות (מ‪.‬ש‪.‬ל‪).‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫‪K‬‬
‫דוגמאות נוספות‬
‫• דוגמה מס' ‪:2‬‬
‫– נתון ‪ ABC‬משולש שווה‪-‬שוקיים (‪.)AB=BC‬‬
‫‪ DE .BD┴AC‬תיכון ל‪ BC-‬ב‪.∆BCD-‬‬
‫– הוכח‪2  D E  A B :‬‬
‫– נתון‪.FD=BF :‬‬
‫‪A‬‬
‫– הוכח‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫• ‪.DFBC‬‬
‫‪F‬‬
‫• ‪ DF‬תיכון ל‪.AB-‬‬
‫‪C‬‬
‫‪30‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫דוגמאות נוספות‬
‫• המשך דוגמה מס' ‪:2‬‬
‫– פתרון‪:‬‬
‫טענה‬
‫הסבר‬
‫‪ ∆ABC‬שו"ש‬
‫נתון‬
‫‪BD┴AC‬‬
‫נתון‬
‫‪AD=DC‬‬
‫גובה לבסיס במשולש שו"ש הוא‬
‫גם תיכון וגם חו"ז‬
‫‪BE=EC‬‬
‫נתון‬
‫‪ DE‬קטע אמצעים‬
‫מחבר אמצעי ‪ 2‬צלעות במשולש‬
‫‪2  DE  AB‬‬
‫‪EBD‬‬
‫‪31‬‬
‫‪FBD ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫קטע אמצעים במשולש מקביל‬
‫לצלע השלישית ושווה למחציתה‬
‫(מ‪.‬ש‪.‬ל‪).‬‬
‫‪ BD‬הוא חו"ז הראש במשולש‬
‫שו"ש ‪ABC‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫דוגמאות נוספות‬
‫• המשך פתרון דוגמה מס' ‪:2‬‬
‫טענה‬
‫הסבר‬
‫‪FD=FB‬‬
‫נתון‬
‫‪FBD‬‬
‫‪FDB ‬‬
‫זוויות הבסיס במשולש שו"ש שוות זו לזו‬
‫‪FD B  EBD‬‬
‫‪ 2‬זוויות השוות כל אחת לזווית שלישית‪,‬‬
‫שוות ביניהן‬
‫‪DFBC‬‬
‫זוויות מתחלפות שוות (מ‪.‬ש‪.‬ל‪).‬‬
‫‪ FDBE‬מקבילית‬
‫קיימות ‪ 2‬זוגות של צלעות נגדיות‬
‫המקבילות זו לזו‬
‫‪DE=FB‬‬
‫במקבילית צלעות נגדיות שוות זו לזו‬
‫‪2  DE  AB‬‬
‫הוכח קודם‬
‫‪AF=BF‬‬
‫נובע משני הסעיפים הקודמים (מ‪.‬ש‪.‬ל‪).‬‬
‫‪32‬‬
‫‪A‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫אפריל ‪28 07‬‬
‫‪33‬‬
‫משפחת המרובעים‬
‫אפריל ‪28 07‬‬