Slide 1

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 2

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 3

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 4

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 5

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 6

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 7

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 8

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 9

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 10

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 11

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 12

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 13

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 14

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 15

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 16

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 17

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 18

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 19

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 20

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬


Slide 21

‫יחידת הדרכה מס' ‪6‬‬

‫שימוש בטכנולוגיה –‬
‫‪GEOGEBRA‬‬

‫המלבן‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫הרעיון המרכזי בתכנית הגיאומטריה לכיתה ז' הוא ביסוס והרחבת הידע של‬

‫העובדות הגיאומטריות‪ ,‬המוכרות מבית הספר היסודי‪ ,‬הכרת ההיבט‬
‫השימושי של הגיאומטריה וגם הכרת הנמקות ושיקולים מהסוג המרכיב‬
‫הוכחות‪ ,‬לפני הכרת המבנה הדדוקטיבי המסודר של הגיאומטריה‪.‬‬

‫הנושא הראשון בגיאומטריה הוא מלבן ולא מושגי יסוד וחפיפת משולשים‪.‬‬
‫הסיבה לכך היא שהמלבן ותכונותיו מוכרים היטב מבית הספר היסודי‬
‫ומהסביבה שבה אנו חיים‪ .‬מאותה סיבה‪ ,‬גם המשולש ישר הזווית נידון לפני‬

‫משולשים אחרים‪.‬‬

‫המלבן ‪ -‬מתוך תוכנית הלימודים לכיתה ז'‪:‬‬

‫מתוך המבוא לתוכנית הלימודים‪:‬‬

‫שימוש באמצעים טכנולוגיים‬
‫בנוסף לשימוש באמצעים טכנולוגיים שמטרתם לבצע פעולות‬
‫מתמטיות‪ ,‬יש חשיבות רבה לשלב במהלך ההוראה והלמידה‬
‫אמצעים גרפיים ואמצעים טכנולוגיים שנוצרו במיוחד ללימוד וחקר‬
‫המתמטיקה‪.‬‬
‫האמצעים הגרפיים נותנים ייצוג חזותי בנוסף לשאר הייצוגים‪.‬‬
‫בדרך זו היא פונה לאינטליגנציה החזותית של התלמידים‬
‫ומרחיבה את הבנתם‪.‬‬

GeoGebra
Dynamic Mathematics for Everyone
Markus & Judith Hohenwarter
Florida State University

www.geogebra.org

‫מהי ‪? GeoGebra‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬

‫תוכנה מתמטית דינאמית‬
‫ייעודית להוראה ולמידת‬
‫מתמטיקה‬
‫שילוב של גיאומטריה‪ ,‬אלגברה‬
‫וחדוו"א‬
‫שימוש בחינם‬
‫‪www.geogebra.org‬‬

‫גיאומטריה ואלגברה אינטראקטיביים‬
GeoGebra = Geometry + Algebra
Interactive Geometry Systems •
‫ גוררים עצמים‬,‫– דינאמי‬
‫– ייצוג גרפי‬
Geometer‘s Sketchpad, Cabri Geometry, Cinderella, Kig,
Ruler and Compass, …

Computer Algebra Systems •
‫ אלגבריים ואנליטיים‬, ‫– חישובים מספריים‬
‫ אלגברי‬-‫– ייצוג סימבולי‬
Mathematica, Maple, Derive, Maxima, …

‫מיהו הריבוע ה"אמיתי"?‬
‫גררו את קודקודי הריבוע ‪ .‬מה קיבלתם בכל מקרה?‬
‫כיצד נבנה מרובע זה‪ ,‬ומהם תכונותיו?‬

‫"בנייה בסרגל ומחוגה" של מלבן‬
‫בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪ .‬האם תכונות המלבן נשמרו?‬
‫‪-‬האם ניתן ליצור מהבנייה גם ריבוע?‬

‫בניית ריבוע בסרגל ומחוגה – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של הריבוע‪ .‬האם תכונות הריבוע נשמרו?‬
‫התוכלו ע"י הזזה ליצור מלבן?‬

‫בניית מלבן – בעזרת ‪GEOGEBRA‬‬

‫‪.2‬‬

‫מלבן‬
‫כיצד תשנו את בניית הריבוע כך שתקבלו מלבן?‬

‫‪.3‬‬

‫מלבן בעל היקף קבוע‬
‫אתגר‪ -‬בנו מלבן שהיקפו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫רמז‪ -‬שימו לב הצלע ‪ AB‬שמה ‪ .a‬ל‪ a-‬יש ערך של אורך הצלע‪.‬‬
‫אם ידוע אורך צלע אחת ‪ ,a‬תוכלו לקבוע את אורך הצלע השנייה‬

‫בדקו‪ -‬הזיזו את אחד הקודקודים של המלבן‪.‬‬
‫האם קיבלתם מלבן אחר? האם היקפו ‪?20‬‬
‫האם ניתן לקבל מבניה זו ריבוע שהיקפו ‪?20‬‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – מיהו המרובע ה"אמיתי"?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫גררו כל מרובע‪ ,‬מה מאפיין אותו? כיצד הוא נבנה?‬
‫מי מבין כל המרובעים הוא מלבן? מה מייחד אותו?‬
‫מהי התכונה המייחדת את הריבוע?‬
‫האם פעילות כזו יכולה להוביל להגדרות?‬

‫בעקבות הפעילות – בניות ב‪GEOGEBRA -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫האם כל ריבוע הוא מלבן? האם כל מלבן הוא ריבוע?‬
‫לאיזו הגדרה מתאימה הבנייה של המלבן?‬
‫האם ניתן לבנות אחרת את המלבן?‬
‫מהן הגדרות שקולות?‬
‫עולם המשתנים וגיאומטריה‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫בהוראה ובלמידה של גיאומטריה שני היבטים עיקריים‪:‬‬

‫‪ .1‬ראיית הגיאומטריה כמדע המרחב‬
‫‪ .2‬ראיית הגיאומטריה כמבנה לוגי‬
‫במחקר מקובלות ההנחות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬המטרה העליונה בלימוד הגיאומטריה היא להציגה‬
‫כמערכת דדוקטיבית‬
‫‪ .2‬בלי שליטה בגיאומטריה כ"מדע המרחב" אין אפשרות‬
‫להבין את הגיאומטריה כ"מערכת דדוקטיבית"‪.‬‬

‫מתוך המאמר‪ :‬אספקטים קוגניטיביים בלמידה והוראה של גיאומטריה‪:‬‬
‫חלק א‪ ,‬חלק ב ‪ -‬רינה הרשקוביץ‬
‫על"ה ‪ ,9‬על"ה ‪10‬‬

‫לומדות אינטראקטיביות (כגון המשער הגאומטרי‪ )GEOGEBRA ,‬מאפשרות‬
‫להכניס למערכת ההוראה של גיאומטריה תהליכים אינדוקטיביים של גילוי‪.‬‬
‫תהליכים אלה אפשר לראות כחוליות מקשרות בין גיאומטריה כמדע המרחב‬
‫לגיאומטריה במערכת דדוקטיבית‪ ,‬ורצוי לשזור אותם בתוך תהליך ההוראה‬
‫של הגיאומטריה כמערכת דדוקטיבית‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫ציור באדום כחול וצהוב‬
‫פיצוח העוסק בקווים מקבילים‪ ,‬תכונות המלבן ושטחו‪.‬‬

‫שנו בציור הדינאמי את‬
‫המלבנים וחשבו בכל אחד‬
‫מהציורים שלכם את ההיקף‬
‫של שני המרובעים הכחול‬
‫והאדום‪.‬‬
‫בדקו בציור הדינאמי‪ ,‬האם‬
‫תקבלו תוצאה דומה עם‬
‫שינוי מימדי המלבנים?‬
‫הסבירו את התוצאה‪.‬‬
‫התוכלו להסביר תופעה זו‬
‫גם באופן אלגברי?‬

‫שאלות לדיון‬
‫בעקבות הפעילות – ציור באדום כחול וצהוב‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫כיצד באה לידי ביטוי בפעילות קישוריות של אלגברה‬
‫וגיאומטריה?‬
‫משמעות המשתנה בעולם הגיאומטריה‬
‫מהו ההבדל בין ציור לצורה גיאומטרית?‬
‫במה תורמת פעולת הגרירה של נקודה ובכך לשינוי הציור‬
‫להבנת הגיאומטריה כמדע של המרחב?‬

‫הוראה עם הגיאוגברה‬
‫• כלי לתצוגה‬
‫– המורה במרכז‬

‫• כלי לחקירה מתמטית‬
‫– התלמיד במרכז‬

‫• כלי עריכה‬
‫– תמונות סטטיות‬
‫– דפי עבודה אינטראקטיביים‬

‫הטכנולוגיה לעידוד הלמידה‬
‫• ויזואליזציה‬
‫התלמידים יכולים "לראות" ו"לגעת" בעצמים‬
‫מופשטים‪.‬‬
‫• ייצוגים שונים‬
‫התלמידים יכולים לקשר בין הייצוגים‬
‫• חקר‬
‫התלמידים יכולים לחקור ולגלות מתמטיקה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים טכנולוגיים‪:...‬‬

‫‪ ‬כיצד מתורגמת הגדרת העצם הגיאומטרי לבנייה בכלים טכנולוגיים?‬
‫האם בניות שונות יכולות להוביל להגדרות שונות? ולהפך?‬

‫‪ ‬הערך המוסף של בנייה גיאומטרית בכלים טכנולוגיים‬
‫‪ ‬הקשיים המתעוררים עם הבנייה‬
‫‪ ‬למי מתאימה הפעילות? למורים? לתלמידים? לכל התלמידים?‬

‫‪ ‬האם עדיף יישום מוכן מראש לחקירה‪ ,‬בנייה מונחית‪ ,‬בנייה פתוחה?‬
‫‪ ‬שילוב של יישומים דינאמיים בהוראת הגיאומטריה‪.‬‬

‫נושאים לדיון‬

‫בעניינים מתמטיים‪:...‬‬

‫‪ ‬מה המיוחד בריבוע מכל המרובעים?‬
‫‪ ‬משפחת המרובעים – יחסי הכלה‪.‬‬
‫‪ ‬מהי הגדרה בגיאומטריה? מהן הגדרות שקולות?‬
‫‪ ‬קישוריות של משתנים וגיאומטריה‬