יופיה של המתמטיקה הרצאה :1 מספרים פרופ' גיל קלעי נושאי הקורס • • • • • • • • • • מספרים האינסוף צורות (גאומטריה) החלטות (מתמטיקה בשרות מדעי החברה) אלגברה משחקים הסתברות לוגיקה – תורת ההגיון הסרגל הקוסמי (מתמטיקה לעזרת.
Download ReportTranscript יופיה של המתמטיקה הרצאה :1 מספרים פרופ' גיל קלעי נושאי הקורס • • • • • • • • • • מספרים האינסוף צורות (גאומטריה) החלטות (מתמטיקה בשרות מדעי החברה) אלגברה משחקים הסתברות לוגיקה – תורת ההגיון הסרגל הקוסמי (מתמטיקה לעזרת.
יופיה של המתמטיקה הרצאה :1מספרים פרופ' גיל קלעי נושאי הקורס • • • • • • • • • • מספרים האינסוף צורות (גאומטריה) החלטות (מתמטיקה בשרות מדעי החברה) אלגברה משחקים הסתברות לוגיקה – תורת ההגיון הסרגל הקוסמי (מתמטיקה לעזרת הפיסיקה) חידות ושעשועים חידה מס :1נמלים על מקל יש לנו מקל צר באורך של מטר שמים עליו nנמלים במקומות כלשהן ובכיוונים כלשהם כל נמלה נעה במהירות של מטר לדקה כאשר שתי נמלים נפגשות הן מחליפות כיוון כאשר נמלה מגיעה לקצה היא נופלת כמה זמן לכל היותר יקח עד שכל הנמלים תיפולנה? נתחיל בתמונות של ממש עם קשר למתמטיקה ריצופים ריצוף לא מחזורי של פנרוז פתית השלג של קוך פרקטל Borromean rings טבעות בורומין קשרים הרצאה א :מספרים המספרים הטבעיים …1,2,3,4,5,6,7, קרונקר אמר :את המספרים הטבעיים נתן לנו אלוהים ,כל היתר מעשי ידי האדם. ניתן לחבר ולהכפיל לעיתים לחסר ולחלק (לא תמיד). מספרים ראשוניים מספר הוא ראשוני אם הוא מתחלק בעצמו ובאחד בלבד. … 2,3,5,7,11,13,17,19, 23, 29, 31, 37, כל מספר ניתן לכתיבה כמכפלה של ראשוניים. 1001= 7 x 11 x 13 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 יתר על כן ,כל מספר ניתן להציג באופן יחיד כמכפלת מספרים ראשוניים! (פרט לסדר) כלומר לא יתכן למשל ש .31x17=37x13 תזכורת :מתחלק ומחלק (אותי זה תמיד מבלבל) 15מתחלק ב 5 48מתחלק ב 6 5הוא מחלק של 85 7הוא מחלק של 42 כאשר aשונה מאחד ,אם מספר bמתחלק במספר , aאז b+1אינו מתחלק ב . a משפט :יש אינסוף מספרים ראשוניים! הוכחה (אוקלידס) :נניח בשלילה שיש רק מספר סופי של מספרים ראשונים P1, P2, P3,…, Pn נתבונן במכפלה של כולם X = P1 x P2 x P3 x…x Pn נכתוב Y = X+1 המספר Xמתחלק ב ,P1ולכן Yאינו מתחלק בו המספר Xמתחלק ב ,P2ולכן Yאינו מתחלק בו יש אינסוף ראשוניים (המשך) Yאינו מתחלק באף אחד מהראשוניים האלה וזו סתירה! משפטים ,הוכחות טענות מתמטיות נקראות "משפטים". כדי להראות שטענה מתמטית נכונה יש צורך לספק לה הוכחה. מה זו הוכחה? באופן גס הוכחה היא סדרה של טענות מתמטיות שכל טענה נובעת מקודמותיה. ההוכחה שהראנו היא הוכחה בדרך השלילה: מניחים שהמשפט אינו נכון ומקבלים בסופו של דבר סתירה. המושג של הוכחה חשוב בכל תחומי המדע וגם במשפט ,אבל המשמעות של הוכחה משתנה מתחום לתחום. האפס האפס נדבר עכשיו בקצרה על ההיסטוריה של המספר 0 ועל חשיבותו. היוונים שאלו האם 0הוא מספר? כיצד שום דבר יכול להיות משהו? ה 0כספרה. מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי (מאה תשיעית) "כאשר בחישוב לא מופיע שום מספר בספרת העשרות יש לשים שם עיגול קטן" صفر מספרים שלמים כאשר מצרפים למספרים הטבעיים את 0ואת המספרים השליליים -1,-2,-3,-4,-5,-6,... מקבלים את המספרים השלמים. ניתן לחבר ולהחסיר מספרים שלמים ,להכפיל אך לא תמיד לחלק. מספר שלילי הוא מושג פחות אינטואיטיבי ויותר אבסטרקטי מאשר מספר חיובי. חיוב ,שלילה ,ושפה האינטואיציה בנוגע למספרים שלילים לא תמיד ברורה .מדוע למשל כפל של מספרים שליליים נותן מספר חיובי? הפילוסוף סידני מורגנבסר שמע פעם הרצאה על כך שבשפות רבות שלילה כפולה משמעותה חיוב אבל חיוב כפול אין משמעותו שלילה. תגובתו הייתה ”“yeah, yeah שברים מספר נקרא רציונאלי אם אפשר להציג אותו כמנה של מספרים שלמים ½ ... 8/5 -3/5 2/5 -1/6 1/5 ¼ 1/3 מספרים רציונאליים ניתן לחבר ,לחסר ,להכפיל, ולחלק. (פרט לחלוקה באפס). ש :האם יש מספרים שאינם רציונאליים? ת :מה הכוונה במילה יש? היוונים עסקו בגאומטריה והתעניינו בגודל של צורות גאומטריות? הם שאלו :האם כל שני גדלים גאומטריים ניתן למדוד עם מדיד משותף? מספרים אי רציונאלים אם אורך הניצבים הוא אחד אורך היתר הוא 2 האם יש מדיד שאפשר להשתמש בו למדוד גם את הצלעות וגם את היתר? השורש של 2אינו רציונאלי הוכחה: נניח שאפשר לכתוב 2 = a/b אנו יכולים להניח של aו b-אין גורמים משותפים, בפרט רק אחד מהם לכל היותר הוא זוגי. נעלה בריבוע ונקבל a2 / b2= 2 הוכחה ששורש של 2אינו רציונאלי (המשך) קבלנו a2 / b2 = 2 a2 = 2 b2 ונקבל לכן a2מספר זוגי! לכן aמספר זוגי ,נרשום a=2c a2 = (2c)2 = 4c2 = 2 b2 ונקבל b2 = 2 c2 לכן ולכן גם b2זוגי ולכן bזוגי וזו סתירה! זו הוכחה יפה ומסתורית. מדוע בכלל יש שורש ריבועי של ? 2 מדוע בכלל יש שורש ריבועי של ? 2 תשובות אפשריות: כי מספר זה מבטא גודל גאומטרי, כי ניתן לחשב אותו בדיוק הולך וגדל או ,במילים אחרות ,ניתן להתקרב אליו על ידי מספרים רציונאליים. השורש של 2אינו רציונאלי דוגמא לטענה שמראה את מגבלותינו :חלק מההשגים המזהירים של המתמטיקה והמדע יש להם אופי כזה. ההוכחה התגלתה על ידי הפיתגוראים500( . לפני הספירה .יתכן שהיא היתה ידועה במתמטיקה הודית אפילו קודם). ההוכחה מיוחסת להיפסוס .האגדה אומרת שהיא עוררה רוגז רב כי נגדה את הדוקטרינה הפיתגוראית ,והיפסוס הוגלה או אף הוטבע. יחס הזהב יחס הזהב :יחס בין אורך ורוחב של מלבן שדומה למלבן שמתקבל (המלבן הוורד בתמונה) על ידי הורדת הריבוע הנשען על הצלע הקצרה. מהו יחס הזהב יחס הזהב: x=a/bנניח b=1ו a=x נקבל משוואה )x=1/(1-x x=1/(1-x) x(1-x)=1; x2-x+1 = 0 X=(1+ 5)/2 = 1.6180339887… מדוע יש בכלל יחס כזה? הסבר אחד :קבלנו ביטוי מדויק עבור x X=(1+ 5)/2 הסבר אחר :אם המלבן ארוך מידי היחס במלבן שיוותר יהיה קטן מהנדרש ,ואם המלבן קצר מידי היחס יהיה ארוך מהנדרש ,איפה שהוא באמצע נקבל את היחס הנדרש .נימוק כזה מכונה נימוק של "רציפות". נסיון להמחיש את רעיון הרציפות מדוע יחס הזהב אינו רציונאלי הוכחה :בדרך השלילה .נבחר את המלבן עם אורכי הצלעות שלמים שהמנה שלהם היא יחס הזהב ,כך שהאורך שלו a הוא הקטן ביותר האפשרי .לרוחב נקרא .b אבל אז גם במלבן הוורד המנה של אורכי הצלעות היא יחס הזהב .האורך והרוחב של המלבן הוורוד הם מספרים שלמים ,והאורך שלו bקטן מ , aסתירה!! הכתיב העשרוני כל מספר ניתן לתאר באמצעות ספרות 23.6517802 …12.2121212121 …3.14159265 המצאת הכתיב העשרוני היא אחת ההתפתחויות החשובות בהסטוריה האנושית. קשה להפריז בערכה! לפעמים פריצת הדרך אינה מושגת מתגלית מסובכת ומורכבת או עמוקה מאד ,אלא דווקא ממהפכה בסימונים ובמושגים. היוונים ידעו לשאול ולענות על בעיות מתמטיות קשות לעין שעור אבל החמיצו את הכתיב העשרוני(Positional numerical systems) . שיטות כתיבה אחרות :הכתיב הבינרי מה המשמעות של המספר 3107 3אלפים 1מאה 0עשרות 7יחידות השיטה בנויה על חזקות של עשר. ניתן להחליף את עשר בכל מספר אחר. יש חשיבות מיוחדת להצגה של מספרים בשיטה בינרית בעזרת חזקות של שתיים. הכתיב הבינרי בכתיב הבינרי יש שתי ספרות 0ו1 הוא מבוסס על חזקות של שתיים 2 = 102 4 = 1002 8 = 10002 למה שווה בכתיב עשרוני ? 112 1+1x2=3 כתיב בינרי למה שווה בכתיב עשרוני ? 112 1+1x2=3 למה שווה בכתיב עשרוני ? 1012 1+0x2+1x4=5 למה שווה בכתיב עשרוני ? 1010112 = 1+0 x 2 + 1 x 4 + 0 x 8 + 1 x 16+ 1 x 32 53 למה שווים 11ו 97בכתיב הבינרי? בכתיב הבינרי יש שתי ספרות 0ו1 הוא מבוסס על חזקות של שתיים 2 = 102 4 = 1002 8 = 10002 11=8+2+1 לכן 11=10112 97=64+32+1לכן 11000012=97 וe - הוא המספר המתאר את היחס בין היקף מעגל והקוטר שלו .יש לו חשיבות עצומה במתמטיקה ובמדע .אנו נכיר בהמשך מספר חשוב נוסף שמסומן ב .e-הוא קשור לריבית דריבית. מספרים דמיוניים ומרוכבים השורש של -1הוא מספר דמיוני ,ההכרה בחשיבותו חוללה מהפיכה במתמטיקה ובפיסיקה .נדבר על כך בהמשך הקורס. מספרים אינסופיים ומספרים סוראליסטיים האינסוף יהיה הנושא הבא שלנו. ונדבר גם על סוגי אינסוף שונים שהתגלו רק בסוף המאה התשע עשרה והביאו למהפיכה במתמטיקה. מספרים סוריאליסטים הומצאו בשנת 1969והם קשורים למשחקים מתמטיים. האם יתכן :מספר אי רציונאלי בחזקת מספר אי רציונאלי שנותן מספר רציונאלי? האם ישנם xו yאי רציונאלים כך ש xy רציונאלי? תשובה :כן! יש לכך הוכחה בלתי ישירה נביט על 2 2 ) (2 יש כלל: = abc c b ) (a xו yאי רציונאליים כך ש xyרציונאלי 2 2 = 2 = 2 נגדיר . a= 22 אם aהוא רציונאלי ניקח x= 2ו =y 2 אחרת אם aהוא אי רציונאלי ניקח x=aו y= 2 xאי רציונאלי אבל x2 = 2וסיימנו! 2 )(22 (2 ) = 2 מה מיוחד בהוכחה הזאת? ההוכחה לא נותנת במפורש את xואת .y ההוכחה מציגה שתי אפשרויות ומראה שאחת האפשרויות עונה על השאלה .היא לא עונה אפילו ברמז איזה מבין השתיים. תרגיל כתוב את המספרים הבאים בשיטת כתיבה בינרית 6 19 101 ואת המספרים הבאים בשיטה טרנרית (המבוססת על חזקות של )3 27 28 חידה מספר :2נוסעים במטוס לטיסה במטוס עם 100מקומות מגיעים 100 נוסעים ובהם יוחנן שאבד את כרטיס הנוסע שלו. יוחנן נכנס ראשון ויושב במקום אקראי .כל נוסע שבה אחריו מנסה לשבת במקום המיועד לו, ואם זה תפוס הוא יושב במקום פנוי אקראי. מה הסיכוי לכך שהנוסע האחרון ישב במקום המיועד לו?