Transcript אינטגרלים כפולים
Slide 1
בס"ד
אינטגרלים כפולים
פרופ' נח דנא-פיקארד
ניסן תשס"ט
Slide 2
מוטיבציה ראשונה :חישוב נפח
2
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 3
סכומי רימן – חלוקת מלבן למלבנים
אם הגבול באגף ימין קיים
וסופי,
f ( x k , y k ) Ak
k
3
f ( x , y ) dx dy lim
Ak 0
D
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 4
אינטגרל על מלבן
אנימציה בעזרת Maple
2
4
f ( x, y ) x 2 y
2
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 5
אינטגרל על מלבן
D
(c פ- ד.)פרופ' נ
f ( u , v ) du dv
vd
vc
u b f ( u , v ) du dv
u
a
5
Slide 6
משפט פוביני (חלש)
בתנאים מסוימים (כגון אם הפונקציה הנתונה
רציפה מעל המלבן הנתון במישור)
אפשר להחליף את סדר האינטגרציה:
vd
f ( u , v ) dv du
6
u b
vc
ua
f ( u , v ) du dv
u b
ua
vd
vc
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 7
דוגמאות
:1 דוגמא
I
2
4
1
0
( x xy ) dx dy
2
:2 דוגמא
I
0
(c פ- ד.)פרופ' נ
2
x sin y dx dy
0
7
Slide 8
השיטה במקרה הכללי :סכומי רימן
8
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 9
"חלוקת" התחום (כמעט )...לתאים מלבניים
x 2y 3
2
9
2
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 10
תחומי אינטגרציה
התחום Rהוא פשוט אנכי
)(vertically simple
אם הוא מוגדר ע"י אי שוויונים מהצורה
a x b
) g 1 (x) y g 2 (x
כאשר g 1ו g 2הן רציפות על
הקטע ].[a, b
10
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 11
דוגמא
1 x 6
2
x 3x y 2x 6
I
( x , y ) d
( x , y ) x xy 1
2
R
6
1
2 x6
2
x 3 x
2
( x xy 1) dy dx
2
2
2 x6
:האינטגרל
1
2
3
x y xy y
1
3
x2 3 x
6
מוגדר ע"יR
38 4
1 7
6
5
3
2
x
3
x
9
x
x
19
x
65
x
77
x
6
dx
1 3
3
6
6
1 8 3 7 3 6 38 5 19 4 65 3 77 2
x x x
x
x
x
x 6x
7
2
15
4
3
2
24
1
1434083
120
11950 . 70
(c פ- ד.)פרופ' נ
11
Slide 12
תחומי אינטגרציה
התחום Rהוא פשוט אופקי
)(horizontally simple
אם הוא מוגדר ע"י אי שוויונים מהצורה
c y d
) h 1 (y) x h 2 (y
כאשר h1ו
].[c, d
12
h2הן רציפות על הקטע
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 13
דוגמא (לא מעובדת)
Rהוא התחום
המוגבל ע"י המעגל
שמרכזו בראשית עם
רדיוס 6
והפרבולה שמשוואתה
2
היא x y
הפונקציה נתונה ע"י
( x, y ) x y 1
2
13
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 14
הנחיה חשובה
שרטט תמיד סקיצה של תחום האינטגרציה
לפני חישוב של אינטגרל כפול
14
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 15
משפט פוביני (חזק)
15
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 16
שימוש במשפט פוביני
2
0
(c פ- ד.)פרופ' נ
2x
x
2
f ( x , y ) dy dx
4
0
y
f ( x , y ) dx dy
y/2
16
Slide 17
דוגמאות
0
x
I
sin y
.1
dy dx
y
.2
I
8
0
(c פ- ד.)פרופ' נ
1
2
3
x
y
4
1
dy dx
17
Slide 18
תכונות אלגבריות של האינטגרלים הכפולים
18
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 19
איחוד תחומי אינטגרציה
19
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 20
איחוד תחומי אינטגרציה – דוגמאות
שרטט את תחום
האינטגרציה.
אח"כ חשב את שטח
התחום הזה.
נתונים:
1 x
.1
dy dx
dy dx
0
4
0
20
x/2
x
dy dx . 2
2
0
dy dx
1 x
0
1 2 x
0
2
2
x 4
I
I
0
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 21
חישוב נפח באמצעות אינטגרל כפול
נתונה פונקציה fרציפה ואי
שלילית על תחום חסום .Rאזי
הנפח Vשל גוף הנמצא מתחת ל
גרף של fומעל התחום Rנתון
ע"י האינטגרל הכפול
f(x, y) dx dy
R
שהאינטגרל קיים)
(כמובן בתנאי
21
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 22
דוגמא
התחום מוגבל מלרע ע"י
המישור xyומלעיל ע"י
חצי כדור שמרכזו
בראשית ובעל רדיוס .2
d
2
4 x y
2
V
R
22
צריכים קואורדינטות
אחרות (ראה להלן) ...
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 23
חישוב נפח באמצעות אינטגרל כפול
זה מקרה פרטי של חישוב נפח,
עבור
f ( x , y ) 1, ( x , y ) R
23
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 24
חישוב שטח ע"י אינטגרל מסוים:דוגמא
( 2 x 6 ) ( x 3 x ) dx
x 5 x 6 dx
S
6
2
1
6
2
1
6
3
2
x x 6 x
2
3
1
1
343
5
57 . 17 .
6
(c פ- ד.)פרופ' נ
24
Slide 25
חישוב אותו שטח עם אינטגרל כפול
S
6
2 x6
1
x 3 x
2
dy dx
2 x6
y
1 x 3 x dx
6
2
( 2 x 6 ) ( x 3 x ) dx
x 5 x 6 dx
6
2
1
6
2
1
6
1 3 5 2
x x 6 x
2
3
1
343
57 . 17
6
(c פ- ד.)פרופ' נ
25
Slide 26
חישוב נפח בעזרת אינטגרל כפול
חשב את הנפח של הגוף
המוגבל ע"י
הפרבולואידים הנתונים
ע"י המשוואות
2
2
) z 8 (x y
2
26
z x y
2
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 27
קואורדינטות קוטביות
משוואות הישרים:
y x, y x 3
משוואת המעגלים:
x y 1, x y 4
2
27
2
2
2
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 28
מעבר מקואורדינטות קוטביות לקואורדינטות
קרטזיות
נוסחאות מעבר:
x cos
, 0, R
y sin
שטח אלמנטרי:
dx dy d d
28
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 29
דוגמא
חשב את האינטגרל
dx dy
2
y
2
x
D
כאשר Dהוא האיזור ברביע
הראשון המוגבל ע"י
המעגלים שמרכזם
בראשית הצירים ובעלי
רדיוסים 1ו 2-בהתאמה.
29
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 30
תחום נתון בקואורדינטות קוטביות
מצא את השטח של
התחום הנמצא בתוך
הקרדיואיד C1ומחוץ
למעגל C2הנתונים ע"י
המשוואות הבאות:
C 1 : 1 cos
C2 : 1
תשובה:
d d
1 cos
/2
/2 1
30
S
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 31
דוגמא נוספת
(c פ- ד.)פרופ' נ
http://ndp.jct.ac.il/COURSES_HP/Exos/Infi2
/DoubleIntegral-PolarCoord-1.jpg
31
Slide 32
החלפת קואורדינטות
תזכורת :הצבה באינטגרל מסוים (אינפי א')
d
f ( u ) du
כאשר
32
c
f g ( x ) g ' ( x ) dx
b
a
)u g ( x
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 33
החלפת קואורדינטות -יעקוביאן
מבקשים לחשב את האינטגרל הכפול
מעל התחום Rבמישור .xy
נתון
x g ( u , v ), y h ( u , v ), ( u , v ) S
אזי:
הביטוי
du dv
) ( x, y
) (u , v
f g ( u , v ), h ( u , v )
x
x
v
y
u
y
) (u , v
u
v
) ( x, y
S
f ( x , y ) dA
R
f ( x , y ) dA
R
J ( x , y ), ( u , v )
נקרא היעקוביאן של הטרנספורמציה (ההחלפה)
33
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 34
Jacobian – Maple commands
(c פ- ד.)פרופ' נ
34
Slide 35
דוגמא 1
חשב את האינטגרל
dx dy
2x y
x y / 2
2
x ( y / 2 ) 1
4
I
0
רמז :השתמש שהחלפת
קואורדינטות הבאה:
2x y
u
2
y
v
2
35
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 36
דוגמא 2
36
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 37
ועוד דוגמא
37
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 38
38
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 39
39
)פרופ' נ .ד-פ (c
בס"ד
אינטגרלים כפולים
פרופ' נח דנא-פיקארד
ניסן תשס"ט
Slide 2
מוטיבציה ראשונה :חישוב נפח
2
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 3
סכומי רימן – חלוקת מלבן למלבנים
אם הגבול באגף ימין קיים
וסופי,
f ( x k , y k ) Ak
k
3
f ( x , y ) dx dy lim
Ak 0
D
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 4
אינטגרל על מלבן
אנימציה בעזרת Maple
2
4
f ( x, y ) x 2 y
2
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 5
אינטגרל על מלבן
D
(c פ- ד.)פרופ' נ
f ( u , v ) du dv
vd
vc
u b f ( u , v ) du dv
u
a
5
Slide 6
משפט פוביני (חלש)
בתנאים מסוימים (כגון אם הפונקציה הנתונה
רציפה מעל המלבן הנתון במישור)
אפשר להחליף את סדר האינטגרציה:
vd
f ( u , v ) dv du
6
u b
vc
ua
f ( u , v ) du dv
u b
ua
vd
vc
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 7
דוגמאות
:1 דוגמא
I
2
4
1
0
( x xy ) dx dy
2
:2 דוגמא
I
0
(c פ- ד.)פרופ' נ
2
x sin y dx dy
0
7
Slide 8
השיטה במקרה הכללי :סכומי רימן
8
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 9
"חלוקת" התחום (כמעט )...לתאים מלבניים
x 2y 3
2
9
2
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 10
תחומי אינטגרציה
התחום Rהוא פשוט אנכי
)(vertically simple
אם הוא מוגדר ע"י אי שוויונים מהצורה
a x b
) g 1 (x) y g 2 (x
כאשר g 1ו g 2הן רציפות על
הקטע ].[a, b
10
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 11
דוגמא
1 x 6
2
x 3x y 2x 6
I
( x , y ) d
( x , y ) x xy 1
2
R
6
1
2 x6
2
x 3 x
2
( x xy 1) dy dx
2
2
2 x6
:האינטגרל
1
2
3
x y xy y
1
3
x2 3 x
6
מוגדר ע"יR
38 4
1 7
6
5
3
2
x
3
x
9
x
x
19
x
65
x
77
x
6
dx
1 3
3
6
6
1 8 3 7 3 6 38 5 19 4 65 3 77 2
x x x
x
x
x
x 6x
7
2
15
4
3
2
24
1
1434083
120
11950 . 70
(c פ- ד.)פרופ' נ
11
Slide 12
תחומי אינטגרציה
התחום Rהוא פשוט אופקי
)(horizontally simple
אם הוא מוגדר ע"י אי שוויונים מהצורה
c y d
) h 1 (y) x h 2 (y
כאשר h1ו
].[c, d
12
h2הן רציפות על הקטע
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 13
דוגמא (לא מעובדת)
Rהוא התחום
המוגבל ע"י המעגל
שמרכזו בראשית עם
רדיוס 6
והפרבולה שמשוואתה
2
היא x y
הפונקציה נתונה ע"י
( x, y ) x y 1
2
13
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 14
הנחיה חשובה
שרטט תמיד סקיצה של תחום האינטגרציה
לפני חישוב של אינטגרל כפול
14
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 15
משפט פוביני (חזק)
15
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 16
שימוש במשפט פוביני
2
0
(c פ- ד.)פרופ' נ
2x
x
2
f ( x , y ) dy dx
4
0
y
f ( x , y ) dx dy
y/2
16
Slide 17
דוגמאות
0
x
I
sin y
.1
dy dx
y
.2
I
8
0
(c פ- ד.)פרופ' נ
1
2
3
x
y
4
1
dy dx
17
Slide 18
תכונות אלגבריות של האינטגרלים הכפולים
18
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 19
איחוד תחומי אינטגרציה
19
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 20
איחוד תחומי אינטגרציה – דוגמאות
שרטט את תחום
האינטגרציה.
אח"כ חשב את שטח
התחום הזה.
נתונים:
1 x
.1
dy dx
dy dx
0
4
0
20
x/2
x
dy dx . 2
2
0
dy dx
1 x
0
1 2 x
0
2
2
x 4
I
I
0
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 21
חישוב נפח באמצעות אינטגרל כפול
נתונה פונקציה fרציפה ואי
שלילית על תחום חסום .Rאזי
הנפח Vשל גוף הנמצא מתחת ל
גרף של fומעל התחום Rנתון
ע"י האינטגרל הכפול
f(x, y) dx dy
R
שהאינטגרל קיים)
(כמובן בתנאי
21
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 22
דוגמא
התחום מוגבל מלרע ע"י
המישור xyומלעיל ע"י
חצי כדור שמרכזו
בראשית ובעל רדיוס .2
d
2
4 x y
2
V
R
22
צריכים קואורדינטות
אחרות (ראה להלן) ...
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 23
חישוב נפח באמצעות אינטגרל כפול
זה מקרה פרטי של חישוב נפח,
עבור
f ( x , y ) 1, ( x , y ) R
23
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 24
חישוב שטח ע"י אינטגרל מסוים:דוגמא
( 2 x 6 ) ( x 3 x ) dx
x 5 x 6 dx
S
6
2
1
6
2
1
6
3
2
x x 6 x
2
3
1
1
343
5
57 . 17 .
6
(c פ- ד.)פרופ' נ
24
Slide 25
חישוב אותו שטח עם אינטגרל כפול
S
6
2 x6
1
x 3 x
2
dy dx
2 x6
y
1 x 3 x dx
6
2
( 2 x 6 ) ( x 3 x ) dx
x 5 x 6 dx
6
2
1
6
2
1
6
1 3 5 2
x x 6 x
2
3
1
343
57 . 17
6
(c פ- ד.)פרופ' נ
25
Slide 26
חישוב נפח בעזרת אינטגרל כפול
חשב את הנפח של הגוף
המוגבל ע"י
הפרבולואידים הנתונים
ע"י המשוואות
2
2
) z 8 (x y
2
26
z x y
2
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 27
קואורדינטות קוטביות
משוואות הישרים:
y x, y x 3
משוואת המעגלים:
x y 1, x y 4
2
27
2
2
2
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 28
מעבר מקואורדינטות קוטביות לקואורדינטות
קרטזיות
נוסחאות מעבר:
x cos
, 0, R
y sin
שטח אלמנטרי:
dx dy d d
28
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 29
דוגמא
חשב את האינטגרל
dx dy
2
y
2
x
D
כאשר Dהוא האיזור ברביע
הראשון המוגבל ע"י
המעגלים שמרכזם
בראשית הצירים ובעלי
רדיוסים 1ו 2-בהתאמה.
29
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 30
תחום נתון בקואורדינטות קוטביות
מצא את השטח של
התחום הנמצא בתוך
הקרדיואיד C1ומחוץ
למעגל C2הנתונים ע"י
המשוואות הבאות:
C 1 : 1 cos
C2 : 1
תשובה:
d d
1 cos
/2
/2 1
30
S
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 31
דוגמא נוספת
(c פ- ד.)פרופ' נ
http://ndp.jct.ac.il/COURSES_HP/Exos/Infi2
/DoubleIntegral-PolarCoord-1.jpg
31
Slide 32
החלפת קואורדינטות
תזכורת :הצבה באינטגרל מסוים (אינפי א')
d
f ( u ) du
כאשר
32
c
f g ( x ) g ' ( x ) dx
b
a
)u g ( x
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 33
החלפת קואורדינטות -יעקוביאן
מבקשים לחשב את האינטגרל הכפול
מעל התחום Rבמישור .xy
נתון
x g ( u , v ), y h ( u , v ), ( u , v ) S
אזי:
הביטוי
du dv
) ( x, y
) (u , v
f g ( u , v ), h ( u , v )
x
x
v
y
u
y
) (u , v
u
v
) ( x, y
S
f ( x , y ) dA
R
f ( x , y ) dA
R
J ( x , y ), ( u , v )
נקרא היעקוביאן של הטרנספורמציה (ההחלפה)
33
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 34
Jacobian – Maple commands
(c פ- ד.)פרופ' נ
34
Slide 35
דוגמא 1
חשב את האינטגרל
dx dy
2x y
x y / 2
2
x ( y / 2 ) 1
4
I
0
רמז :השתמש שהחלפת
קואורדינטות הבאה:
2x y
u
2
y
v
2
35
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 36
דוגמא 2
36
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 37
ועוד דוגמא
37
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 38
38
)פרופ' נ .ד-פ (c
Slide 39
39
)פרופ' נ .ד-פ (c