Transcript האינטגרל המסוים כגבול של סכומי רימן

‫אינטגרל מסוים‬
‫סכומי רימן‬
‫ד"ר נח דנא‪-‬פיקארד וד"ר איבי קדרון‬
‫כסלו תשס"ח‬
Bernhard Riemann
•
•
Born: 17 Sept 1826 in Breselenz,
Hanover (now Germany)
Died: 20 July 1866 in Selasca,
Italy
He was a student of Steiner,
Jacobi, Dirichlet, Eisenstein,
Weber.
•
PhD Thesis 1851 (supervisor:
Gauss)
‫סכומי רימן‬- ‫אינטגרל מסוים‬
2
‫הגדרה‬
‫‪ f ( x ) x‬‬
‫‪k‬‬
‫‪3‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫‪k‬‬
‫‪k 1..n‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫נקודה רנדומאלית בכל קטע של החלוקה‬
‫‪4‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫נקודת אמצע בכל קטע של החלוקה‬
‫‪5‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫נקודת מינימום בכל קטע של החלוקה‬
‫‪6‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫נקודת מקסימום בכל קטע של החלוקה‬
‫‪7‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫סכומי רימן‬
‫‪ f ( x ) x‬‬
‫‪k‬‬
‫‪8‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 1..n‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫סכומי רימן – נקודה אמצעית דומגה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0 ( x  1) dx   3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫‪2‬‬
‫פונקציה אינטגרבילית על קטע סגור‬
‫תהי ‪ f‬פונקציה מוגדרת על הקטע הסגור ]‪.[a,b‬אומרים ש‪f-‬‬
‫אינטגרבילית על הקטע ]‪ [a,b‬אם לכל חלוקה של הקטע ולכל‬
‫בחירה של הנקודות ‪ xn‬בחלוקה ‪ ,‬הגבול ‪lim  f ( xk ) xk‬‬
‫‪x 0‬‬
‫קיים וסופי‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫במקרה זה‪,‬‬
‫‪f ( x) dx‬‬
‫‪10‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ f ( x ) x  ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪k‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫‪k‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪xk 0‬‬
‫האינטגרל המסוים כגבול של סכומי רימן‬
‫הנקודות ‪ xn‬בקצה הימני של קטעי החלוקה‬
‫‪11‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫האינטגרל המסוים כגבול של סכומי רימן‬
‫בקצה הימני של קטעי החלוקה‪ xn‬הנקודות‬
‫‪12‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫האינטגרל המסוים כגבול של סכומי רימן‬
‫הנקודות ‪ xn‬בקצה הימני של קטעי החלוקה‬
‫‪13‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫האינטגרל המסוים כגבול של סכומי רימן‬
‫הנקודות ‪ xn‬בקצה הימני של קטעי החלוקה‬
‫‪14‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫האינטגרל המסוים כגבול של סכומי רימן‬
‫הנקודות ‪ xn‬באמצע כל קטע של החלוקה‬
‫‪15‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫האינטגרל המסוים כגבול של סכומי רימן‬
‫הנקודות ‪ xn‬באמצע כל קטע של החלוקה‬
‫‪16‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫האינטגרל המסוים כגבול של סכומי רימן‬
‫‪f ( x) dx‬‬
‫‪17‬‬
‫‪b‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ f (c ) Δx  ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫‪k 1‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪xk 0‬‬
‫ממוצע של פונקציה על קטע סגור‬
‫אם הפונקציה ‪ f‬רציפה‬
‫בקטע הסגור ]‪, [a, b‬‬
‫אזי קיימת לפחות נקודה ‪c‬‬
‫אחת ב‪ [a, b] -‬כך‬
‫שמתקיים‪:‬‬
‫‪1 b‬‬
‫‪f (c ) ‬‬
‫‪f ( x) dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ba‬‬
‫המספר באגף ימין נקרא‬
‫הממוצע של ‪ f‬בקטע‬
‫הסגור ]‪[a, b‬‬
‫‪18‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫‪f ( x)  x 2  1, 0  x  2‬‬
‫הממוצע יכול להתקבל ביותר מנקודה אחת‬
‫‪19‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫אורך קשת‬
Pk Pk 1  xk  yk
2
L  lim
xk 0
P P
k
k 1
 lim
xk 0

2
yk2
 1  2  xk
xk
b
yk2
1  2 xk   1  f ' ( x) 2 dx
a
xk
‫סכומי רימן‬- ‫אינטגרל מסוים‬
20
‫אורך קשת‬
‫• נתון‬
‫‪3/ 2‬‬
‫‪f ( x)  x , 0  x  2‬‬
‫• אזי אורך הקשת נתון ע"י‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ 3 1/ 2 ‬‬
‫‪1   x  dx   1  x dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3/ 2 ‬‬
‫‪  4  9 x   ‬‬
‫‪ 8  22 22 .‬‬
‫‪ 27‬‬
‫‪ 0 27‬‬
‫‪21‬‬
‫אינטגרל מסוים ‪-‬סכומי רימן‬
‫נפח גוף סיבוב‬
Vk   f ( xk ) xk
2
V  lim
xk 0

b
f ( xk ) xk    f ( x) dx
2
2
a
‫סכומי רימן‬- ‫אינטגרל מסוים‬
22