הוכח כי לפונקציה אין גבול
Download
Report
Transcript הוכח כי לפונקציה אין גבול
1
מתמטיקה ב' לכלכלנים
שיעור – 2הגדרות קבוצות ,גבולות ורציפות
פרקטיקה
2
חישוב תחום הגדרה
שאלה:
) ln( y 5
1
xy
1
2
)(x y
F ( x, y, z )
איך ניגשים?
מצא את תחום ההגדרה של Fוצייר אותו.
3
חישוב תחום הגדרה
x 2y
ln( y 5 )
1
xy
x y
x 0, y 0
{( x , y ) x 0 , y 0}
1
2
)(x y
(x y) 0
xy 0
2
xy 0
}{( x , y ) x 0 , y 0
x 2y
y5
2x y 0
y5 0
F ( x, y, z )
אברי מנה
צריכים להיות
שונים מ0-
שורשים צריכים
להיות גדולים או
שווים ל0
lnצריך להיות גדול
ממש מ0-
4
חישוב תחום הגדרה
Y
x y
x 0, y 0
X{( x , y ) x 0 , y 0}
{( x , y ) x 0 , y 0}
{( x , y ) x 2 y } {( x , y ) y 5} {( x , y 2
) x yy}
y5
5
קבוצות פתוחות וסגורות
זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות (או לא ולא)
מצא את השפה של כל קבוצה וציירו אותן .האם הקבוצה חסומה?
השפה
}{( x , y ) 2 x 3 , 1 y 4
Y
} {( x , y ) 0 4 y x 36
2
2
X
} {( x , y ) y x
3
חסומה
לא סגורה ולא
פתוחה
}{( x , y ) xy 4
6
קבוצות פתוחות וסגורות
זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות (או לא ולא)
מצא את השפה של כל קבוצה וציירו אותן .האם הקבוצה חסומה?
השפה
}{( x , y ) 2 x 3 , 1 y 4
Y
} {( x , y ) 0 4 y x 36
2
2
X
} {( x , y ) y x
3
חסומה
קבוצה פתוחה
}{( x , y ) xy 4
7
קבוצות פתוחות וסגורות
זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות (או לא ולא)
מצא את השפה של כל קבוצה וציירו אותן .האם הקבוצה חסומה?
השפה
}{( x , y ) 2 x 3 , 1 y 4
Y
} {( x , y ) 0 4 y x 36
2
2
X
} {( x , y ) y x
3
לא חסומה
קבוצה סגורה
}{( x , y ) xy 4
8
קבוצות פתוחות וסגורות
זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות (או לא ולא)
מצא את השפה של כל קבוצה וציירו אותן .האם הקבוצה חסומה?
השפה
השפה
Y
}{( x , y ) 2 x 3 , 1 y 4
} {( x , y ) 0 4 y x 36
2
2
X
} {( x , y ) y x
3
לא חסומה
פתוחה
}{( x , y ) xy 4
9
קבוצות פתוחות וסגורות
הוכח כי הקבוצה הבאה פתוחה:
} {( x , y ) x y 16
2
הרעיון:
עלינו לבחור נקודה
בקבוצה שאיננו יודעים
עליה דבר.
עלינו להראות שהיא
פנימית.
Y
X
2
10
קבוצות פתוחות וסגורות
הוכח כי הקבוצה הבאה פתוחה:
נחשב את המרחק של
הנקודה מקצה הקבוצה.
ונמצא סביבה של הנקודה
ברדיוס קטן יותר.
} {( x , y ) x y 16
2
Y
X
2
11
קבוצות פתוחות וסגורות
הוכח כי הקבוצה הבאה פתוחה:
איך נחשב את המרחק?
2
x y
2
4
2
Y
אם הנקודה נמצאת ב)(x,y
אז מרחקה מהשפה הוא:
} {( x , y ) x y 16
X
2
12
קבוצות פתוחות וסגורות
הוכח כי הקבוצה הבאה פתוחה:
} {( x , y ) x y 16
2
2
הוכחה:
תהי ( a=)x,yנקודה כלשהי בקבוצה .נסתכל על סביבה ברדיוס
2
y
2
x
4
מסביב לנקודה .מרחקה של aמ 0הוא
2
y
2
x
2
ואילו מרחקה של כל נקודה בסביבה מ aקטן מ-
2
y
2
x
4
2
ולכן מרחקה של כל נקודה בסביבה מ 0קטן מ:
4
44
2
2
y
2
x
2
4
ולכן סביבה זו כולה בקבוצה.
2
2
y
2
x
y
2
x
2
4
13
גבולות
בהינתן שהגבול קיים חשב אותו:
2
x y
1
כיוון שהגבול
קיים ,נציב מסילה
לבחירתנו
2
2
2
x y
e
lim
) ( x , y ) (0 ,0
) f (t ) (t ,0
נקבע ונציב:
1
1
2
t
e
lim
t 0
2t
2
t
2 te
לופיטל
2
lim
t 0
1
t
2
t
lim
e
t 0
14
גבולות
הוכח כי לפונקציה אין גבול:
2
x y
2
3 xy
lim
) ( x , y ) (0 ,0
הרעיון:
כדי להוכיח כי אין גבול ננסה להראות כי מסילות שונות
נותנות גבולות שונים.
לשם כך ננסה לגרום לכך שהאיבר בעל החזקה הנמוכה
ביותר במכנה יהיה זהה לאיבר בעל החזקה הנמוכה
ביותר במונה ,אך יחס המקדמים יהיה שונה בכל פעם.
15
גבולות
הוכח כי לפונקציה אין גבול:
2
x y
2
lim
) ( x , y ) (0 ,0
3 xy
נציב:
) (t , t
) (t ,2 t
5
6
2
t 4t
2
2
6t
lim
) ( x , y ) (0,0
2
3
2
t t
2
2
3t
lim
) ( x , y ) ( 0 ,0
שני גבולות שונים במסילות שונות אין גבול!
16
גבולות
אבל איך הפונקציה נראית?
2
x y
2
3 xy
lim
) ( x , y ) (0 ,0
17
גבולות
עוד על השיטה להוכחת היעדר קיומו של גבול:
ניזכר בשיטה לחישוב גבול של מנת פולינומים ב.0
ראשית נוציא גורם משותף מינימלי.
אחר כך נמחק את הגורמים הזניחים בסוגריים ,ונקבל:
)x ( x x 2
1
3
2
2
lim
x x 2x
3
5
lim
)x 0 x ( x 3 x 1
x 3x x
2
2x
lim
lim 2 x 0
x 0
x 0
x
2
2
3
x 0
18
גבולות
עוד על השיטה להוכחת היעדר קיומו של גבול:
נסמן ב mאת מעלת האיבר בעל המעלה הנמוכה ביותר
במכנה ,וב nאת מעלתו של האיבר בעל המעלה הנמוכה
ביותר במונה .נסמן xmו xnאת מקדמיהם בהתאמה.
f ( x)
0
m n lim
g ( x)
f ( x)
לא מוגדר , ,
m n lim
g ( x)
f ( x) xn
m n lim
g ( x) xm
19
גבולות
x x x
6
lim
x 3x
3
x 0
lim
x 0
lim
x 0
2
x
10
3
5x 2x
3
2
0
x 4x
3
152 x
40
7x
15 x
14
:אימון קצר
1
15
2x
4x
4
lim
x
10
x 0
4
2
4
9x 8x
3
124 x
15
2
?
1
2
xn = מקדם מונה,xm = מקדם מכנה, n = מעלת מונה, m = מעלת מכנה
f ( x)
0
m n lim
g
(
x
)
f ( x) xn
m n lim
g ( x) xm
f ( x)
, , מוגדר לא
m n lim
g ( x)
20
גבולות
שים לב :אסור להציב ( )t,0כיוון שמסילה זו
לחישוב היעדר גבול נרצה לבחור
כולה מחוץ לתחום ההגדרה!
כדי לבחור מסילות מתאימות
בעיר מסילות מסוג .נוכל להשתמש גם במסילה אחת מסוג.
המחשה:
2
2
2
2
1
3t t t
3t
3
2
0
t
3t
lim
) ( t ,t ) ( 0 , 0
3x x y
) t (t , t
lim
) ( t ,t ) ( 0 , 0
) t (0, t
) ( x , y ) (0 ,0
3y
2
lim
3x x y
2
3y
lim
) ( x , y ) (0 ,0
והוכחנו כי אין גבול.
מעלת מכנה = , mמעלת מונה = , nמקדם מכנה = ,xmמקדם מונה = xn
f ( x)
לא מוגדר , ,
m n lim
g ( x)
f ( x) xn
m n lim
g ( x) xm
f ( x)
0
m n lim
g
(
x
)
21
גבולות
כדי לבחור מסילות מתאימות לחישוב היעדר גבול נרצה לבחור
בעיר מסילות מסוג .נוכל להשתמש גם במסילה אחת מסוג.
המחשה:
3
3
3
6
3t t
1
1
3
3
3
3t
3t t
lim
) ( t ,t ) ( 0 , 0
) t (t , t
2
3 xy
3
6
3
3t
3x y
lim
) t (t , t
2
) ( t ,t ) ( 0 , 0
3x y
lim
) ( x , y ) ( 0 ,0
3
3 xy
lim
) ( x , y ) ( 0 ,0
והוכחנו כי אין גבול.
מעלת מכנה = , mמעלת מונה = , nמקדם מכנה = ,xmמקדם מונה = xn
f ( x)
לא מוגדר , ,
m n lim
g ( x)
f ( x) xn
m n lim
g ( x) xm
f ( x)
0
m n lim
g
(
x
)
22
גבולות
ומה עושים כשכל זה לא מסתדר?
בדרך כלל מוציאים .1/t
המחשה:
3x y
3
) t (t , t
3 xy
) 1 (1 3t
2
3
t
) t (1 3t
2
lim
) ( t ,t ) ( 0 , 0
2
3t
והוכחנו כי אין גבול כיוון ש 1/t -חסר גבול.
3t t
lim
) ( x , y ) ( 0 ,0
3
למעלת
לא
נוכל לגרום lim
לעולם
lim
2
) ( t ,t ) ( 0 , 0
) ( t ,t ) ( 0 , 0
המכנה להיות 3t
קטנה ממעלת
המונה...
23
גבולות
נתון כי קיימים:
הוכח:
) g ( x, y
lim
) ( x , y ) ( x0 , y0
) g ( x, y
f ( x, y )
lim
) ( x , y ) ( x0 , y0
lim
) ( x , y ) ( x0 , y0
f ( x , y ),
lim
) ( x , y ) ( x0 , y0
f ( x, y ) g ( x, y )
) ( x , y ) ( x0 , y0
הרעיון:
כדי להוכיח את המשפט ניזכר בהגדרת הגבול.
לאחר מכן נשתמש בגבולות הנתונים כדי לבנות את
הסביבה הנדרשת.
lim
f
(
x
)l
x xאם לכל <0קיימת סביבת <0נקובה
הגדרה:
של x0שנסמנה Aכך שלכל x Aמתקיים || f ( x ) l ||
0
lim
24
גבולות
נתון כי קיימיםg ( x , y ) l g :
) ( x , y ) ( x0 , y0
הוכח:
lim
) g ( x, y
lim
) ( x , y ) ( x0 , y0
f ( x, y )
lim
) ( x , y ) ( x0 , y0
f ( x, y ) l f ,
lim
f ( x, y ) g ( x, y )
lim
) ( x , y ) ( x0 , y0
) ( x , y ) ( x0 , y0
הוכחה:
יהי .<0נבחר לפי קיום שני הגבולות הנתונים קיימות f , gכך
|| f ( x ) l ||
שלכול xבסביבת fנקובה של ) ( x 0 , y 0מתקיים:
2
וכן לכל xבסביבת gנקובה של ) ( x 0 , y 0מתקיים:
|| g ( x ) l ||
2
בחרנו
בגלל שנצטרך
חצי
ולכן || f ( x ) g ( x ) ( l g l f ) || || f ( x ) l f || || g ( x ) l g ||
f
g
2
לחבר איבר נוסף...
2
lim f ( x ) l
x xאם לכל <0קיימת סביבת <0נקובה
הגדרה:
של x0שנסמנה Aכך שלכל x Aמתקיים || f ( x ) l ||
0
25
שליטה בנושאי הבסיס – תקל עלינו בהמשך.
"כשדלת אחת נסגרת ,אחרת נפתחת"
--בוב מארלי