Transcript התמרת לפלס פרופ' נח דנא - פיקארד אייר תשס"ח מוטיבציה    2 התמרת לפלס נותנת שיטה לפתרן משוואות דיפרנציאליות ע"י הפיכתן למשוואות אלגבריות . השיטה נקראת על שמו של המתמטיקאי.

‫התמרת לפלס‬
‫פרופ' נח דנא‪-‬פיקארד‬
‫אייר תשס"ח‬
‫מוטיבציה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫התמרת לפלס נותנת שיטה לפתרן משוואות‬
‫דיפרנציאליות ע"י הפיכתן למשוואות אלגבריות‪.‬‬
‫השיטה נקראת על שמו של המתמטיקאי הצרפתי‬
‫)‪.Pierre Simon de Laplace (1749-1827‬‬
‫יש לה שימושים אחרים‪ ,‬לא רק אלה שנלמד בפרק‬
‫הזה‪ .‬תגלו אותם (לפחות חלקם) בקורסים אחרים‬
‫(פיזיקה וכו')‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
Pierre-Simon de Laplace

Born 23 :March 1749 in
Beaumont-en-Auge,
Normandy, France
Died 5 :March 1827 in Paris,
France
(c) ‫ התמרת לפלס‬- ‫פ‬-‫פרופ' נח ד‬
3
‫הגדרה‬
‫‪‬‬
‫תהי ‪ f‬פונקציה ממשית של המשתנה הממשי ‪ .‬נגדיר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫אם האינטגרל הלא אמיתי הזה מתכנס‪ ,‬התוצאה היא‬
‫פונקציה של המשתנה הממשי ‪ s‬כך ש‪.s>0 -‬‬
‫הפונקציה הזאת נקראת התמרת לפלס של הפונקציה‬
‫‪.‬‬
‫הסימון הסטנדרטי הוא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫שימו לב‪ :‬הפונקציה ‪ f‬היא פונקציה של המשתנה ‪( t‬בפיזיקה‪,‬‬
‫הוא הזמן)‪ ,‬אבל הפונקציה ‪ F‬היא פונקציה של המשתנה ‪s‬‬
‫(בפיזיקה‪ ,‬הפזה)‪.‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫‪.f‬‬
1 ‫דוגמא‬
f (t )  t
F (s) 


e
 st
0
 lim
  

f ( t ) dt  

te
 st

te
 st
dt
‫נתון‬
:‫אזי‬


0
dt
0
  1  st  e
 lim 
2
  
s

 st



0
  1  s   e  s 
1 

 lim 
 2 
2
  
s
s 


1
s
2
.
(c) ‫ התמרת לפלס‬- ‫פ‬-‫פרופ' נח ד‬
5
2 ‫דוגמא‬
‫נתון‬
:s>a ‫ אם‬,‫אזי‬
f (t )  e , a  R
at
F (s) 


e
 st
0
 lim
  

f ( t ) dt  

e
(a  s )t

e
0
at
e
 st
dt 


e
(a  s )t
dt


0
dt
0
(as)t

 e

 lim 

  
a

s

0
 e (as)
1 


 lim 

  
a  s 
 as

1
sa
.
(c) ‫ התמרת לפלס‬- ‫פ‬-‫פרופ' נח ד‬
6
1 - Maple ‫פקודות‬


with(inttrans):
laplace(expression,t,s,[options]);
(c) ‫ התמרת לפלס‬- ‫פ‬-‫פרופ' נח ד‬
7
‫פונקציה רציפה בחלקים‬
‫אומרים שהפונקציה ‪ f‬רציפה בחלקים בקטע ‪ I‬נתון אם‬
‫היא מקיימת את התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪8‬‬
‫יש לה מספר סופי של נקודות אי‪-‬רציפות‬
‫כל נקודת אי‪-‬רציפות היא נקודת קפיצה‪ ,‬ז"א שיש לפונקציה ‪f‬‬
‫בנקודת אי‪-‬רציפות שני גבולות חד‪-‬צדדיים סופיים‪.‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫משפט קיום‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫עוד דוגמא‬
‫‪10‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫הלינאריות של התמרת לפלס‬
‫‪‬‬
‫‪11‬‬
‫דוגמא‪ :‬בשקף הבא‪ ,‬בעזרת ‪Maple‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫‪12‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫התמרת לפלס הפוכה‬
‫‪13‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫פקודות ‪2 - Maple‬‬
‫שימו לב‪ :‬את הפונקציה המעריכית יש לסמן ב‪exp -‬‬
‫‪14‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫הלינאריות של התמרת לפלס הפוכה‬
‫‪‬‬
‫‪15‬‬
‫דוגמא ‪:‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫עוד דוגמא של התמרת לפלס הפוכה‬
‫‪16‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫דוגמאות נוספות‬
‫‪‬‬
‫דוגמא ‪:1‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמא ‪:2‬‬
‫‪4s  1‬‬
‫‪s  5x  6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 s  16‬‬
‫‪s  4 s  13‬‬
‫‪2‬‬
‫‪17‬‬
‫‪F (s) ‬‬
‫‪F (s) ‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫משפט הזזה ראשון‬
‫‪‬‬
‫‪18‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫התמרת לפלס של הנגזרת ראשונה של‬
‫פונקציה‬
‫‪‬‬
‫‪19‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫יישום‬
‫‪‬‬
‫חשב את התמרת לפלס הפוכה של הפונקציה הנתונה‬
‫להלן‪:‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪s5‬‬
‫‪F ( s )  ln‬‬
‫רמז‪ :‬אפשר לגזור משהו?‬
‫‪20‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫התמרת לפלס של הנגזרת מסדר ‪ n‬של‬
‫פונקציה נתונה‬
‫‪‬‬
‫‪21‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫פתרון משוואה דיפרנציאלית עם תנאי‬
‫התחלתי בעזרת התמרת לפלס‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪22‬‬
‫נתונה משוואה דיפרנציאלית שבה הנעלם הוא )‪.y(t‬‬
‫ע"י המרת לפלס של שני האגפים של המשוואה‬
‫מקבלים משוואה אלגברית בעלת נעלם )‪Y(s‬‬
‫מבצעים שינויים בעזרת כללים אלגבריים (פירוק לשברים‬
‫פשוטים וכו')‪ ,‬על מנת לכתוב את )‪ Y(s‬כצירוף לינארי של‬
‫"שברים ידועים"‪.‬‬
‫ע"י התמרת לפלס הפוכה‪ ,‬מוצאים את )‪.y(t‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫דוגמא‬
‫‪23‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫דוגמאות נוספות‬
 y " y  t  2

 y ( 2 )  3, y ' ( 2 )  0
 dy
t
 5y  e

 dt
 y(0)  2

 y " ' y "  y ' y  0

 y ( 0 )  y ' ( 0 )  1, y " ( 0 )  3
(c) ‫ התמרת לפלס‬- ‫פ‬-‫פרופ' נח ד‬
24
‫פונקצית היביסייד )‪(Heaviside‬‬
‫‪unit-step function‬‬
‫‪‬‬
‫פוקצית היביסייד )‪:(Heaviside‬‬
‫‪‬‬
‫פונקצית ‪ Heaviside‬מוזזת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫גרפים‪:‬‬
‫‪25‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫‪Oliver Heaviside‬‬
‫‪1925 - 1850‬‬
‫‪26‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫פונקציה במדרגות‬
‫היא פונקציה ‪ f‬המקיימת את התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ ‬היא רציפה בכל התחום שלה‪ ,‬פרט לקבוצה דיסקרטית של‬
‫נקודות אי‪-‬רציפות (בעצם קפיצות)‪.‬‬
‫‪ ‬בין שתי נקודות אי‪-‬רציפות‪ ,‬הפונקציה קבועה‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫התמרת לפלס של פונקצית ‪Heaviside‬‬
‫(מוזזת או לא)‬
‫‪28‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫דוגמאות של שאלות שונות‪:‬‬
‫‪29‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫יישום – פתרון משוואה דיפרנציאלית‬
‫‪‬‬
‫דוגמא ‪:1‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמא ‪:2‬‬
‫) ‪ w " w  u ( t )  u ( t  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ w ( 0 )  1, w ' ( 0 )  2‬‬
‫) ‪ y " y  g ( t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y ( 0 )   1, y ' ( 0 )  0‬‬
‫‪30‬‬
‫כאשר‬
‫‪t , t  2‬‬
‫‪g (t )  ‬‬
‫‪5, t  2‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫משפט הזזה שני‬
‫‪‬‬
‫‪31‬‬
‫דוגמא‪:‬התמרת לפלס של פונקציה עם קפיצה אחת‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫פונקציות מחזוריות‬
‫‪32‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫טבלה קצרה של התמרות לפלס‬
‫‪33‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫פתרון משוואה דיפרנציאלית בעזרת התמרת‬
‫לפלס (כאילו ידנית)‬
‫‪34‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫פתרון אותה משוואה דיפרנציאלית בעזרת‬
‫הפקודה ‪dsolve‬‬
‫שימו לב‪ :‬בשקף הקודם‪ ,‬לא היה תנאי התחלתי‪ .‬כאן פעם אין‪ ,‬פעם יש תנאי‬
‫התחלתי‪.‬‬
‫התנאי ההתחלתי קובע מקדם מסוים‪ .‬מי הוא?‬
‫‪35‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫פתרון ושרטוט עקומה אינטגרלית‬
restart: with(inttrans):
>
ode:=diff(y(t),t)+y(t)=Heavi
side(t-2);ini:=y(0)=3;
> dsolve(ode);
> dsolve({ode,ini},y(t));
> sol:=unapply(rhs(%),t);
 plot(sol,0..6,y=1..3,numpoints=800);
‫שימו לב לנקודת החוד‬
(c) ‫ התמרת לפלס‬- ‫פ‬-‫פרופ' נח ד‬
36
‫לפעמים צריך לנתח יותר את מה שכותבים‪:‬‬
‫מה קרה כאן?‬
‫‪37‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫התמרת לפלס של פונקצית ‪Dirac‬‬
‫‪38‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬
‫חומרים נוספים‬
‫‪‬‬
‫באתר ‪ e-learn‬של הקורס‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תקציר התאוריה‬
‫דוגמאות נוספות (מדרגות עולות אינסופיות‪ ,‬גלים בעלי‬
‫צורות שונות כגון גל מרובע אינסופי וכו')‬
‫קישור לפרק בקורס ממוחשב המבוסס על ‪Maple‬‬
‫ב‪ help-‬של ‪ ,Maple‬ראו ‪advisor‬‬
‫טבלאות מענינות‪:‬‬
‫‪http://www.vibrationdata.com/Laplace.htm‬‬
‫‪http://www.math.udel.edu/~rluke/teach/352/notes/LaplaceTable.pdf‬‬
‫‪39‬‬
‫פרופ' נח ד‪-‬פ ‪ -‬התמרת לפלס )‪(c‬‬