Transcript קבוצה סגורה
1
מתמטיקה ב' לכלכלנים
שיעור – 2הגדרות ,קבוצות ,גבולות ורציפות
תיאוריה
2
פונקציה ב Kמשתנים
• הגדרה :תהי Dקבוצת -Kיות של מספרים .פונקציה fב K-משתנים
מתאימה לכל -Kיה ב D-מספר יחיד.
Dנקרא התחום של .f
• נסמן ב W-את אוסף כל הערכים ש f-מקבלת על W ,Dנקרא
הטווח של fומסמנים:
F ( x1 ... x k ) : D W
:
דוגמאות
•
) D R , W R [0,
2
) D R , W [1,
2
D { x , y | x y }, W R
• לעיתים מכונה התחום – תחום הגדרה
2
F ( x, y )
x y
2
2
x
F ( x, y ) x e
x y
2
F ( x, y )
3
הצגה גרפית של פונקציה ב 2משתנים
• נסתכל על הפונקציה
• הצגה כגרף -3ממדי:
2
F ( x, y ) 2 x y
2
4
הצגה גרפית של פונקציה ב 2משתנים
• נסתכל על הפונקציה
• הצגה כמספרים על ריבוע דו ממדי:
2
Y
16
X
-8
F ( x, y ) 2 x y
2
5
הצגה גרפית של פונקציה ב 2משתנים
• נסתכל על הפונקציה
• הצגה כקווי גובה:
2
Y
X
F ( x, y ) 2 x y
2
6
מושגי יסוד במרחב ובמישור
הגדרה :נקודה בk-
של מספרים ממשים.
יה
K
:
R
מסומנת (x1, x2,…, xk( :או (, xלפעמים נשמיט את החץ)
מרחק :המרחק בין שתי נקודות
2
) x1 ( x1 , y 1 ), x 2 ( x 2 , y 2
) ( x 2 x1 ) ( y 2 y 1
2
|| x1 x 2 ||
()3,4
Y
X
()3,4
Y
()-1,1
X
סביבת :אוסף כל הנקודות שמרחקן מנקודה ) (x,yקטן
מאפסילון נקרא סביבת של ) .(x,yאם נרצה שלא
()3,2
לכלול את ) (x,yבסביבה – נאמר כי הסביבה מנוקבת.
X
Y
2=
7
הכללת המרחק לממדים גבוהים
המרחק בין שתי נקודות:)מרחק (רב ממדי
x ( x1 , x 2 ,..., x k ), x ' ( x '1 , x ' 2 ,..., x ' k )
|| x1 x 2 ||
( x1 x '1 ) ( x 2 x ' 2 ) ... ( x k x ' k )
2
2
2
:הוא
.• לא תמיד טבעי בממדים גבוהים
|| x1 x 2 ||1 | x1 x '1 | | x 2 x ' 2 | ... | x k x ' k |
|| x1 x 2 || max(| x1 x '1 |, | x 2 x ' 2 |,..., | x k x ' k |)
8
קבוצות פתוחות ,סגורות וחסומות (אינטואיציה)
• כשחיפשנו נקודות קיצון בקורס הקודם – חילקנו את
פעולתנו לשני שלבים:
– מציאת קיצון בפנים.
– מציאת קיצון בשוליים.
• למשל בקבוצה:
חיפשנו בנקודות הקצה:
] [ 0 ,1) ( 2 ,3 ) [ 4 ,5 ) ( 5 , 6
0 , 4 ,5
9
קבוצות פתוחות ,סגורות וחסומות (אינטואיציה)
• מהי שפה רב ממדית?
– נקודה נמצאת בשפה אם קרוב אליה יש גם נקודות בקבוצה
וגם נקודות מחוף לה.
נקודת שפה :נקודה xנקראת שפה בקבוצה Aאם לכל ,יש
נקודה בסביבת של xמחוץ ל Aונקודה בסביבה זו בתוך .A
10
קבוצות פתוחות ,סגורות וחסומות (אינטואיציה)
• נסתכל על שתי קבוצות:
= Aאוסף הנקודות במישור שמרחקן מראשית הצירים קטן מ2-
• = Bאוסף הנקודות במישור שמרחקן מראשית הצירים קטן או שווה .2
}A {( x , y ) || ( x , y ) ( 0 , 0 ) || 2
}B {( x , y ) || ( x , y ) ( 0 , 0 ) || 2
A
Y
X
• Aנקראת כדור פתוח ברדיוס 2
(או סביבת 2של )x,y
• Bנקראת כדור סגור ברדיוס 2
B
Y
X
11
קבוצות פתוחות ,סגורות וחסומות (אינטואיציה)
לא מכילה שום חלק משפתה.
A
קבוצה פתוחה
Y
X
קבוצה זו מכילה את שפתה.
קבוצה סגורה
B
X
Y
12
יש קבוצות שאינן פתוחות ואינן סגורות.
}A {( x , y ) 5 x 5 , 5 y 5
פתוחה
סגורה
A
לכול נקודה בקבוצה זו
יש סביבה שנמצאת
בתוך הקבוצה.
מקיימת כי:
אם בכל סביבת של
נקודה Xיש נקודה
בקבוצה אז Xבקבוצה
Y
)(-5,1
X
)(1,-5
13
ויש קבוצות שהן גם פתוחות וגם סגורות
קבוצות ללא שפה:
A
B R
14
קבוצות פתוחות וסגורות (פורמלי)
נקודה פנימית :נקודה xנקראת פנימית בקבוצה Aאם קיים כך
שסביבת של xכולה מוכלת ב.A
קבוצה משלימה :הקבוצה Acהנקראת משלימה של ( Aאו A
משלים) היא קבוצת כל הנקודות במרחב שאינן ב.A
Y
קבוצה פתוחה :קבוצה שכל נקודותיה פנימיות.
X
קבוצה סגורה A :נקראת סגורה אם Acפתוחה ,כלומר כל
נקודותיה פנימיות.
Y
X
15
קבוצות פתוחות וסגורות (פורמלי)
משפט :התכונות הבאות שקולות:
A .1פתוחה
A .2לא מכילה את שפתה.
תזכורת:
קבוצה פתוחה :קבוצה
שכל נקודותיה פנימיות.
קבוצה סגורה A :נקראת סגורה
אם Acפתוחה ,כלומר כל
נקודותיה פנימיות.
16
קבוצות פתוחות וסגורות (פורמלי)
משפט :התכונות הבאות שקולות:
A .1קבוצה פתוחה.
A .2אינה מכילה שום חלק משפתה.
הוכחה21 :
נקודה xנקראת פנימית אם יש קיים כך שבסביבת שלה
כל הנקודות שייכות לקבוצה .בסביבה זו אין אף נקודה מחוץ
לקבוצה – ולכן זו אינה נקודת שפה .הוכחנו זאת עבור נקודה
כללית ולכן אין ב Aאף נקודת שפה.
לא 1לא 2
אם Aאינה פתוחה – אז היא מכילה נקודה xשבכל סביבה
שלה יש נקודה מחוץ לקבוצה .מצד שני בכל סביבה של xיש
נקודה בקבוצה – xעצמה .מכאן שנקודה זו היא
נקודת שפה ש Aמכילה.
17
קבוצות פתוחות וסגורות (פורמלי)
המשפט הבא יתרגל אותנו בכתיבת הוכחה.
משפט :התכונות הבאות שקולות:
A .1קבוצה סגורה
.2כל נקודה שלכל סביבותיה חיתוך לא ריק עם Aנמצאת
בA
תזכורת:
קבוצה פתוחה :קבוצה
שכל נקודותיה פנימיות.
קבוצה סגורה A :נקראת סגורה
אם Acפתוחה ,כלומר כל
נקודותיה פנימיות.
18
קבוצות פתוחות וסגורות (פורמלי)
משפט :התכונות הבאות שקולות:
A .1קבוצה סגורה
.2כל נקודה שלכל סביבותיה חיתוך לא ריק עם Aנמצאת
בA-
הוכחה12 :
לפי ההגדרה לכל נקודה שאינה ב A-קיימת סביבת כלשהי
מחוץ ל( A-אחרת היא היתה ב Aלפי תנאי .)2לכן כל נקודה
בקבוצה המשלימה של Aפנימית בה ,ולפי הגדרה Aסגורה.
לא 2לא 1
נניח כי טענה 2שגויה קיימת נקודה xכך שהיא שייכת ל-
Acאך אין לה אף סביבה שכולה ב .Ac-מכאן שזו לא נקודה
פנימית ב ;Ac-אנו מסיקים כי לא כל הנקודות ב Ac-פנימיות
ולכן Aאינה סגורה.
19
קבוצות פתוחות וסגורות (פורמלי)
שפה :אוסף כל נקודות השפה.
מסקנה :קבוצה היא פתוחה אם ורק אם כל השפה שלה אינה
שייכת לה .באופן דומה קבוצה היא סגורה אם שפתה שייכת לה.
Y
X
אותה שפה!
Y
X
20
קבוצה חסומה
נקודות בה חסום.
הפורמלית?
כל שתי
להגדרה
שהמרחק בין
האינטואיציה
ביןקבוצה
חסומה:
קבוצה הקשר
אז מה
הגדרה חלופית :קבוצה המוכלת בתוך סביבת כלשהי של כל
נקודה בה.
דוגמאות:
}A {( x , y ) 5 x 5 , 5 y 5
}B {( x , y ) 5 x , 5 y 5
Y
X
Y
X
21
גבולות (אינטואיציה)
אנחנו מעוניינים להגדיר שיפועים רגעיים ושינויים רגעיים.
בכדי לעשות זאת אנחנו רוצים לדבר על התנהגות של ערכי
פונקציה כשהם הולכים ומתקרבים לערך מטרה.
הצעה לניסוח מילולי של גבול :ככל שנתקרב לנקודה x0כך
הפונקציה תתקרב לערך מטרה lim f ( x ) l
x x
0
בעיה:
Y
X
צריך לוודא שמגיעים
בסוף.
22
גבולות (אינטואיציה)
ננסה לנסח מחדש אבל הפעם נדרוש להגיע.
אבל אי אפשר להגיע ממש (כי אנחנו רק רוצים לדבר על מה
שקורה כשמתקרבים).
אז נבקש להגיע הכי קרוב שאפשר.
הצעה לניסוח מילולי של גבול :לכל מידת קרבה ל l-שנבקש,
אם נתקרב מספיק בציר ה xלנקודה x0כל ערכי הפונקציה
יהיו קרובים ל l-במידה זו.
23
גבולות
כעת ניזכר בהגדרת הגבול מהקורס הקודם ,תהי
המוגדרת בתחום B
הגדרה:
f ( x) l
f
פונקציה
xlimאם לכל <0קיימת <0כך שאם
x
מתקיים . || f ( x ) f ( x 0 ) ||
x B
0
|| x x 0 ||
בזכות מושג הסביבה נוכל לתרגם הגדרה זו לכל מימד.
lim
f
(
x
)l
x xאם לכל <0קיימת סביבת <0נקובה
הגדרה:
של x0שנסמנה Aכך שלכל x A Bמתקיים
|| f ( x ) l ||
0
( x , y )limאם לכל <0קיימת <0
(x ,y
ניסוח ל 2משתנים:
כך שלכל ) ( x , y ) ( x 0 , y 0בB -
עבורם מתקיים ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 מתקיים גם f ( x , y ) l ||
f ( x, y ) l
)0
0
||
24
גבולות
ציור ממחיש:
25
גבולות – תכונות הגבול
:)תכונות הגבול (כפי שראינו בסמסטר שעבר
lim
( x , y ) ( x0 , y 0 )
( x ) x0
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
( y ) y0
(C ) C
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
( f ( x , y ) g ( x , y ))
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
( f ( x , y ) g ( x , y ))
( x , y ) ( x0 , y0 )
( x , y ) ( x
g ( x, y )
lim
0
0
0
0
,y
0
,y
0
)
lim
( x , y ) ( x
g ( x, y )
0
,y
0
)
g ( x, y )
0
,y
0
)
)
g ( x, y )
0
0
lim
( x , y ) ( x
)
f ( x, y )
0
)
lim
( x , y ) ( x
,y
f ( x, y )
,y
,y
f ( x, y )
( a f ( x , y )) a lim
( x , y ) ( x
0
lim
( x , y ) ( x
f ( x, y )
f ( x, y )
lim
( x , y ) ( x
lim
( x , y ) ( x
0
,y
0
)
g ( x , y ) 0
)
!בתנאי שכל הגבולות קיימים
26
גבולות – תכונות הגבול
תכונות הגבול בשני ממדים בלבד:
אם הגבול קיים – ניתן להגיע אליו בכל מסילה.
y 4t , x t
y 1 t, x t
צריך רק להקפיד לבחור מסילה שאכן
מגיעה אל נקודת הגבול.
27
גבולות – רציפות
הגדרה :פונקציה נקראת רציפה בנקודה ) (x0,y0אם מתקיים:
) f ( x, y ) f ( x0 , y 0
lim
) ( x , y ) ( x0 , y0
28
גבולות – תכונות הפונקציות הרציפות
פונקציה במשתנה 1נשארת רציפה כשמתייחסים אליה כפונקציה של 2משתנים.
אם fו gרציפות בנקודה aאז גם:
) ( x, y
f
) c f ( x, y
) f g ( x, y
g
אם ) g(aשונה מ.0-
רציפות ב .aכמו כן הרכבה של פונקציות רציפות היא רציפה.
מסקנה :כל הפולינומים הם פונקציות רציפות.
) f g ( x, y
29
וכעת נוכל לבנות על יסודות אלו
את החשבון האינפיניטיסימלי!
"לכל דבר יש גבול – לא ניתן ללמד עפרת ברזל להיות זהב"
--מארק טווין