Transcript דרך ב: ע"י כלל השרשרת
םינלכלכל ' ב הקיטמתמ
, תומותס תויצקנופ .
, תרשרשה ל רולייט םונילופו לכ
–
רליוא טפשמ 4 רועיש הירואית
1
תרשרשה ללכ
.
יחכונה קרפה לש רתויב השקה קלחל ונעגה .
ריכהל ונילע ש הבושח החכוה ונינפל : היצביטומב אופא חתפנ היהנו בוריקה תויעב לכ תא רותפל לכונ החכוהה רחאל , תוישעמ תואמגוד הנושארל הארנ , תוידממ ברה יאשונ תעבראמ דחא םויסמ דחא אשונ תת קר םיקוחר !
סרוקה 2
תרוכזת תרשרשה ללכ
שמיש ) הבכרה לש תרז גנ – וא ( ידממ דחה תרשרשה ללכ .
םדוקה סרוקב תובר ונתוא 3 f יהתו x 0 הדוקנב הריזג היצקנופ : יזא g יהת g(x 0 ) :) ' א הקיטמתמ ( הרדגה הדוקנב הריזג היצקנופ
f
(
g
(
x
))'
f
' (
g
(
x
))
g
' (
x
)
d
( 1
x
2
x
3 ) 100
dx
: בושיחל ונשמתשה הז ללכבו
תרשרשה ללכ
הבצה אלל הזכ בושיח עצבל איה ונתפיאש : אבה טפשמה ונתושרל דמוע ךכ םשל (
x
(
t
0 ), :
y
(
t
))
f t
(
x
(
t
.
), t 0
f
(
x
,
y
) הדוקנב תופיצר
y
(
t
))
x
(
t
), : טפשמ
y
(
t
)
dF dt
(
t
)
f t
(
x
(
t
),
y
(
t
))
f
x dx dt
f
y dy dt
.
t 0 הדוקנב 4
תרשרשה ללכ
f
(
x
,
y
)
x
3
y
2
x
t
2
y
e t f x
(
x
,
f y
(
x
,
y
)
y
) 3
x
2
y
2 2
x
3
y
:
x t
2
t y t
e t
: תיבושיח השחמהב ליחתנ
df
(
x dt
,
y
)
dF
(
t
)
dt f t
(
x
(
t
),
y
(
t
))
f
x dx
dt
f
y dy dt df
(
x
,
y
)
dt f x x t
f y y t
3
x
2
y
2 2
t
2
x
3
y
2
e t
3
t
4
e
2
t
2
t
2
t
6
e
2
t
e t
( 6
t
5 2
t
6 )
e
3
t
5
תרשרשה ללכ
בר היצקנופ לש עופיש בושיחל קזח ילכ אוה ידממ .
המוד היעב לע תונעל אב אוהו .
ברה תרשרשה ללכ הליסמ ךרואל תידממ שפנל ג " לת לופכ h(g,f) ג " לת , g(t) שפנל ג " לת , f(t) : תירופיס השחמה היסולכואה לדוג = ג " לת היסולכואה לד וג – ןמסנ
h
(
x
,
y
)
xy g
(
t
) 25000 1 .
05
t f
(
t
) 7000000 1 .
02
t
.
ביצהל ונילע t יפל h לש תרזגנה תא בשחל יד כ – םויה
h
(
x
(
t
),
y
(
t
)) 175 10 9 1 .
02
t
1 .
05
t
175 10 9
t
0 .
1 1 .
071
t h t
( 0 ) 175 10 9 ln( 1 .
071 ) 12 10 9 6
dF
(
t
)
dt f t
(
x
(
t
),
y
(
t
))
f x dx
f
y dy dt
שפנל ג " לת לופכ h(g,f) ג " לת , g(t) שפנל ג " לת , f(t) היסולכואה לדוג = ג " לת היסולכואה לד וג – ןמסנ 7
h
(
x
,
y
)
xy g
(
t
) 25000 1 .
05
t f
(
t
) 7000000 1 .
02
t dg
(
t
) 25000 ln( 1 .
05 ) 1 .
05
t dt h x
(
x
,
y
)
y h y
(
x
,
y
)
x
: תרשרשה ללכ תועצמאב בוש בשחנ
df
(
t
) 7000000 ln( 1 .
02 ) 1 .
02
t dt dh t
(
g
(
t
),
f
(
t
))
f
( 0 ) 25000 ln( 1 .
05 )
dt
175 10 9 ln( 1 .
05 ) 175 10 9 ln( 1 .
02 ) 12
g
( 0 ) 10 9 7000000 ln( 1 .
02 )
) הניחבל ( החכוה תרשרשה ללכ
.
ידכ תויליבאיצנרפידב .
שמתשנ תעכ תורזגנל F תא קרפל .
.
תויקלח
t
t
0
t F
(
t
)
x
(
t
)
x
0
x
,
y
(
t
)
y
0
y f
(
x
(
t
),
y
(
t
)) : החכוה
x
(
t
0 )
x
0 ,
y
(
t
0 )
y
0
dF
(
t
)
d
(
t
)
t
lim
t
0
F
(
t
)
t F
(
t
0 )
t
lim
t
0
f
(
x
(
t
),
y
(
t
))
t
f
(
x
0 ,
y
0 ) lim
t
t
0 (
f
(
x
0 ,
y
0 )
x
(
t
)
f x
(
x
0 ,
y
0 )
y
(
t
)
f y
t
(
x
0 ,
y
0 )
x
x
y
y
)
f
(
x
0 ,
y
0 ) lim
t
t
0
x
(
t
)
f x
(
x
0 ,
y
0 )
y
(
t
)
f y
(
x
0 ,
t y
0 )
x
x
y
y
8 lim
t
t
0
x
(
t
)
f x
t
(
x
0 ,
y
0 ) lim
t
t
0
y
(
t
)
f y
(
x
0 ,
t y
0 ) lim
t
t
0
x
t
x
lim
t
t
0
y
y
t
) הניחבל ( החכוה תרשרשה ללכ
.
.
.
.
הריזג .
המוד ןפואב y(t) ש םושמו
dx dt
(
t
0 ) lim
t
0
x
0
dy dt
(
t
0 ) lim
t
0
y
0
dx
(
t
0 )
f x
(
x
0 ,
y
0 )
dt
dy
(
t
0 )
f y
(
x
0 ,
y
0 )
dt
: החכוה
x
t t
t t
Q.E.D
) )
f f
t t
( ( , , ) ) (
t
)
t t dt
t t
y
( (
t t f
) )
x
f f dx
( (
dt t t
, ,
f
y
) )
dt
t t
t t
x
t t
:
x
t
t t
y
t t
y
9
) הניחבל ( תוינוויכ תורזגנל אחסונה תחכוה
: רבעה ןמ בוח ונל שי :) תרשרשה ללכ תועצמאב ( החכוה
df
(
at
,
bt
)
dt d
(
at
)
dt df dx
d
(
bt
)
dt df dx
af x
bf y
10
) הניחבל ( דחא ןוויכב רליוא טפשמ תחכוה
: רבעה ןמ בוח דועו :) תרשרשה ללכ תועצמאב ( החכוה
df df
(
tx
,
ty
)
dt
(
tx dt
,
ty
)
f dt xf x
(
tx
,
ty
) (
k x x
,
f dt y
( )
x
,
y dtx dt
)
yf y
(
tx
,
ty
)
kt
f k
(
x
y
1 ,
f y
) (
x
,
y
)
dty dt kf
(
x
,
y
)
xf x
yf y
: לבקנו t=1 ביצנ 11
אל י תמ – תרשרשה ללכ
x
יזא תיליבאיצנרפיד
z
f
(
x
,
y
) י " ע וז הרעה ריהבנ .
תרשרשה ללכב שמתשהל ןתינ אל .
האבה אמגודה : אמגוד 2
t
,
y
t
רשאכ
t
0
dt f
(
x
,
y
)
x
2
x
2 0
y y
2 12 12
13
אל יתמ – תרשרשה ללכ
x
0 ,
y
0 .
x
0 הנותנה
f
( 2
t
,
t
) : הבצה י " ע ' א ךרד
f x
(
x
,
y
) 2 0 0 ,
x t
0 0
y
0 2
t
,
y
y
t
0 יכ לע
t
2 2
t t
2 4
t
3 5
t
2 4 5
t
,
t
R
לבקנו
f
(
x
,
y
)
x
2
x
2 0
y y
2 : תרוכזת
אל יתמ – תרשרשה ללכ
t
R
( 2 , ) 4 5 .
t
0 הנתשמב ' קנופ לש םיליגר הריזג יללכ יפל רוזגנ תעכ
df dt
t
0 0 4 5
df dt
4 5 , 14 14
x
0 ,
y
0 0 , 0
אל יתמ – תרשרשה ללכ
dz dt
f x f x
( 0 , 0 ),
f y
: תרשרשה ללכ י " ע : ב ךרד
t
0 םייקתמ תרשרשה ללכ יפל , ןכל
dx dt
f y
dt
תויקלחה תורזגנה תא בשחנ
dx dt
,
dy dt
תורזגנה ןכו 15 15
16
אל יתמ – תרשרשה ללכ
f x
f y
.
רוסא
0 םייקתמ תיקלחה תרזגנה תרדגה יפל
df dt dt
0 4 5 2 ,
dt
תועטה .
הבצה י " ע הלבקתהש וז איה הנוכנה הבושתה הנותנה היצקנופהש הדבועהמ תעבונ היינשה האצותב תיליבאיצנרפיד הנניא
f
(
x
,
y
)
x
2
x
2 0
y y
2 : תרוכזת
טנאידרגל בצינה
ובש ןוויכה תא ראתמ היצקנופ לש .
טנאידרגהש וניאר הכ דע יעגרה חווטב רתויב הבר היצקנופה תונתשה 17 ?
טנאידרגל בצינה ןוויכה תועמשמ המ ךא ...
אבה ףקשב רתוי הפיקמ הבושת
תומותס תויצקנופ
תחכוהב תרשרשה ללכ לש ותוישומישב ונענכתשה רבכ .
בושח תוחפ אל שומיש תעכ הארנ .
תינוויכ תרזגנל אחסונה 18 תצובק .
x
f
(
x
,
y
) תיליבאיצנרפידו
f
( הפיצר היצקנופ רובע
x
,
y
)
c
: הרדגה
f
(
x
,
y
)
x
2 4
y
2 3
c
x
2 4
y
2 3
תומותס תויצקנופ
?
םייחב תומותס תויצקנופ םישגופ יתמ .
לקשמ יווישב תאצמנ תבכרומ תכרעמ רשאכ וא הירטמואיגב 19 היצקנופ לש התרזגנ איה המ תעדל םיצור ונחנא תובורק םיתיעל .) 3,4 ( דיל 5 : לשמל .
המותס סוידרב לגעמל קישמ אצמ
f
(
x
,
y
)
x
2
y
2 : איה היצקנופה
f
(
x
,
y
)
x
2
y
2 25
dy dx
: ש ןוויכ המותס איה : בושיחב םיניינעתמ ונאו
תומותס תויצקנופ
(
f x
(
x
, 0 ,
y
)
y
0 )
x
2 ( 3 , 4 )
y
2
y y
2 25
f
' ( 3 ) 25
x x
2 2 3 25 3 2 5
dy dx
3 16 x 2 ב תולתכ 2
x
25
x
2 y : יביאנה ןורתפה ל היצקנופה תא ךופהנ 25
x
x
2 : רוזגנו 3 4 הדוקנה תא תרזגנב ביצנ .
לבקנו המותסה היצקנופה תא ךופהל ונחלצה יכ רדתסה הז לבא
.
תשרופמל
20
תומותס תויצקנופ
יללכ ןורתפ רחא שופיחב תרשרשה ללכ .
תאחסונב טיבנ הבה המותסה היצקנופה תייעבל
df
(
t
)
dt f t
(
x
(
t
),
y
(
t
))
f
x dx dt
f
y dy dt
21 שפוח תגרד ונל שיו .
בושיחל ךרד םישפחמ ונחנא
dx
.
t הליסמה תריחבב ךרואל תכלוהה הליסמ רמולכ t=(x,f imp .
(x)) – אופא רחבנ המותסה היצקנופה t=(x,y) : רחא חוסינב
תומותס תויצקנופ
: הבצהב טיבנ
df
(
x
)
dx f t
(
x
,
y
(
x
))
f
x dx dx
f
y dy dx
0
f
x
.
העובק
dx dx
f היצקנופ ה
df
( – וז הליסמ ךרואלש םיעדוי ונא ךא
x
,
dx y
(
x
)) 0 : ןכל
f
y dy dx f x
f y dy dx
f f y x
dy dx
: ונלביקו 22
תומותס תויצקנופ
f y
(
f x
0 ( ,
x
,
y
0
y
) ) (
x
f
0 , (
x y
0 , )
y
0 ) :
f
(
x
,
y
) המותסה היצקנופה לש : טפשמ התרזגנ זא : איה
dy dx
f f x y
( (
x x
0 0 , ,
y y
0 0 ) ) .
טנאידרגה .
הדוקנב ןוויכל בצינה אוה הז ןוויכ 23
תומותס תויצקנופ
dy dx
f x
(
x
0 ,
y
0 )
f y
(
x
0 ,
y
0 )
f x
(
x
,
y
) 2
x
9
f y
(
x
,
y
) 2
y
4
y
2 : המותס היצקנופל תירטמואיג השחמה
f
(
x
,
y
)
x
2 9
y
2 4 2 : הספילאב טיבנ .) 3,2 ( הדוקנב קישמ רשי בשחנ הבה אוהש לכב שמתשנ )
f
רשיה בושיחל 3,2
x
( ( 3 , 2 ) 6 9 2 3
dy dx
2 2 / 3 1 3
f y
( 3 , 2 ) 2 2 1
l
(
x
) 1 3
x
3 24
רולייט םונילופ
הנתשמ
לש תויצקנופב קסועה אשונ תת אוה רולייט םונילופ
.
דחא
25 בוריקה תוכיא תא םוחתל לכונ רבד לש ופוסב ותועצמאב .
םינתשמ
ינש
ב תויצקנופ רובע ונלש תרזגנה העיצמש יראינילה בוריקה תא רפשל אוה ןויערה .
תופסונ תורזגנ תניחב תועצמאב
רולייט םונילופ
.
ןיינב לש תישילש המוקמ ךלשומה רודכ לש ותוגהנתהב טיבנ 26 h = הבוג t = ןמז
רולייט םונילופ
: קישמ תועצמאב רודכה תעונת לש בוריק לע תעכ לכתסנ 27 h = הבוג t = ןמז
רולייט םונילופ
רשק דביא הרהמ דע לבא , בוט ליחתה םנמוא בוריקה ...
תואיצמל 28 בוריקב ונבשחתה אל הדבוע וזיאב .
בוריקה תא רפשל הצרנ ?
םדוקה .
רודכה תוריהמ רמולכ .
הנתשמ איה םג תרזגנהש ךכב
רולייט םונילופ
.
ותועצמאב התוא ברקלו .
תרזגנה יוניש בצק תא דודמל הצרנ
f
~ ' (
x
) : תברוקמה תרזגנה תא ןמסנ
f
~ ' (
x
) .
(
x
x
0 )
f
" (
x
0 )
f
' (
x
0 ) : אוה תרזגנה לש בוריק ונדמלש תיראינילה בוריקה תטישב םישמתשמ רשאכ תא םייקת התרזגנש
f
~ (
x
)
f
~ (
x
)
f
(
x
0 ) (
x
x
0 )
f
' (
x
0 ) (
x
x
0 ) 2 2
f
.
האוושמה " (
x
0 ) : ונלביק .
x 0 ב f לש 2 רדסמ רולייט רוט םג הנוכמה 29
רולייט םונילופ
.
2 רדסמ רולייט רוט תועצמאב בוריקה לע תעכ לכתסנ 30 h = הבוג t = ןמז ...
ריווא תודגנתה ונחנזה יכ קר הז לבא !
םלשומ
רולייט םונילופ
.
ריווא תודגנתה םע םעפה יוסינ ותוא לע רוזחנ 31 h = הבוג t = ןמז .
ףייזמ בוריקה בוש
רולייט םונילופ
?
ספספל ונלוכי המ .
קייודמ וניא בוריקה םעפ בוש 32 הנתשמ תרזגנה לש יונישה בצק םגש ךכב ונבשחתה אל .
ריוואה תודגנתה ללגב תועצמאב ברקל הסננ .
ןובשחב ותוא םג איבהל יאדכ ילוא .
הינשה תרזגנה תא תישילשה תרזגנה
רולייט םונילופ
.
תישילש תרזגנל ןומיס התוא ברקלו .
ללכב .
הינשה
f
~ תרזגנה יוניש בצק תא דודמל הצרנ " (
x
) : תברוקמה תרזגנה תא ןמסנ 33
f
~ " (
x
) .
(
x
x
0 )
f
( 3 ) (
x
0 )
f
" (
x
0 ) : אוה תרזגנה לש בוריק ונדמלש תיראינילה בוריקה תטישב םישמתשמ רשאכ
f
~ (
x
) תא םייקת התרזגנש
f
~ (
x
) .
הינשה תרזגנה תאוושמ תאו וזה האוושמה
f
(
x
0 ) (
x
x
0 ) .
f
( 1 ) (
x
0 ) x 0 ב f (
x
לש
x
0 ) 2
f
( 2 ) (
x
0 ) (
x
x
0 ) 3
f
( : 3 ) ונלביק (
x
0 ) 2 6 3 רדסמ רולייט רוט םג הנוכמה
רולייט םונילופ
: לילכהל ןמזה עיגה : תויהל רדגומ x 0 הדוקנב f(x) היצקנופ לש n רדסמ רולייט רוט ~
f n
,
x
0 (
x
)
i n
0 (
x
x
0 )
i i
!
f
(
i
) (
x
0 )
f
~
n
( ,
i x
0 ) (
x
0 )
f
(
i
) (
x
0 )
i
n
: הנחבא 34
רולייט טפש מ – רולייט םונילופ
: רולייט טפשמ ונל ןותנ ךכ םשל ?
בוריקה בוט המכ לבא
R n
(
x
)
f
~
n
,
x
0
f
( ( (
x n
)
n
1 ) (
f
1
x
( )!
e x
) ) (
x x R e
n
(
x
[
x
0
x
) 0 ) .
,
n x
] 1 : טפשמ רולייט רוט לש 35 המכב היצקנופ רובע םג רולייט םונילופב שמתשהל ןתינ .
אבה קרפב תאז דמלנ .
םינתשמ
אמגו ד – רולייט םונילופ
.
3 : הלאש
f
(
x
)
x f f
' (
x
) ' ' ' (
x
) 1 2
x
8
x
2 3
x
0 25
x x
1 24
f
" (
x
) 4
x
1
x
: רולייט רוט םושרנ
f
~
n
,
x
0 (
x
) ~
f n
, 25 (
x
)
i n
0 (
x
x
0 )
i
25
i
!
x
2
f
25 (
i
) (
x
0 )
x
2 2 100 25 3
x
3 3 2 5000 25 36
.
3
אמגו ד – רולייט םונילופ
: הלאש 37
f
~
n
, 25 ( 24 ) 5 1 10 1 1000 1 50000 4 .
89898 : ש ךכ ] 24,25 [ עטקב .
בוריקב האיגשה תא םוסח : הלאש c םייק רולייט טפשמ יפל : הבושת ~
f n
, 25 (
f x
( ) ) ~
f n
25 , ( 2
x
) 25
f
" " 2 ( )
x
4 !
100 25 25 24 ) 3 2 3
f
"
x
( 3
c
4 !
5000 ) 25
.
3
אמגו ד – רולייט םונילופ
: הלאש 38
f
~
n
, 25 ( 24 ) 5 1 10 1 1000 1 50000 4 .
89898 : ש ךכ ] 24,25 [ עטקב .
בוריקב האיגשה תא םוסח : הלאש c םייק רולייט טפשמ יפל : הבושת ~
f n
, 25 (
f x
( ) ) ~
f n
25 , ( 2
x
) 25
f
" " 2 ( )
x
4 !
100 25 25 24 ) 3 2 3
f
"
x
( 3
c
4 !
5000 ) 25
39
אמגו ד – רולייט םונילופ
f
" " (
x
) 3 16
x
3 4
x f
" " (
x
) 4 !
1 32
x
3
x
24 32 ( הדוקנב אוה עטקב תלבקמ וז היצקנופש ילמיסכמה ךרעה ~
f
: ש ךכ 3 , 25 ] 24,25 [ עטקב 32 ( 24 3 ) .
בוריקב האיגשה תא םוסח : הלאש c 24 : : הבושת
f
( 25 ) 20 3 ) 16 ~
f n
, 25 ( 24 1
f
1 , 024 , 000 " " 4 !
(
c
) ( 25 םיכרע תועצמאב ברקנ 24 ) :
f
(
c
בשחל לקש
םינתשמ ינשב רולייט םונילופ
רתוי בוט דחא הנתשמב תויצקנופ ברקל וניצרש םשכ וננוצרב ךכ , ) קישמ רשי ( לאיצנרפידה תועצמאב רשאמ תועצמאב רשאמ רתוי בוט םינתשמ ינשב תויצקנופ ברקל .
קישמ רושימ : רולייט רוט ידי לע וז היעב ונרת פ – דחא הנתשמב
לש ולא םע תודכלתמ תונושארה ויתורזגנ .
n ש םונילופ הדוקנב היצקנופה
.
םינתשמ ינשב 2 רדסמ רולייט םונילופ תעכ רידגנ .
ךכמ רתויל שרדינ אל 40
םינתשמ ינשב רולייט םונילופ
רדגומ x 0 ,y 0 הדוקנב f(x,y) היצקנופ לש (
f
~ 2 , (
x
0 ,
y
0 ) (
x
,
x
x
0 )
f x y
) (
x
0 ,
f y
0 ) (
x
0 , (
y y
0 )
y
0 )
f y
(
x
0 , 2 רדסמ רולייט רוט
y
0 ) : תויהל (
x
x
0 ) 2
f xx
(
x
0 ,
y
0 ) / 2 (
y
(
x
x
0 )(
y
y
0 )
f xy
(
x
0 ,
y
0 )
y
0 ) 2
f yy
(
x
0 ,
y
0 ) / 2 ינשב היצקנופ לש רולייט בוריק לש .
2 : הנחבא רדסמ תויקלחה תורזגנה לכ תירוקמה היצקנופה לש ולאל תוהז םינתשמ 41
הקדצה םינתשמ ינשב רולייט םונילופ
הליסמ לכל t 0 תיליבאיצנרפיד : (
t
היצקנופ רובעש הארה הדוקנ ןכלו היצקנופ לכלו םייקתמ
f bt t
( :
at
ליגרת ,
bt
)
f
~ 2 , (
at
0 ,
bt
0 ) (
at
,
bt
) 2 , (
t
0 ) (
at
,
bt
) 42 .
: הנקסמ היצקנופה רובע רולייט רוטל ךפוה םינתשמ ינשב היצקנופל רולייט רוט המיאתמ הבצה רחאל רחבנש ןוויכ לכב תידממ דחה
I קרפ ףוס
םילוכי ונישוחש וזל ההז בוריק תדימב העפות אבנל ונתלוכיב םא .
התוא וניזחש רמול לכונו ךכב ונל ידש ירה דודמל הרקנופ ירנה - 43