שאלון 802 גידול ודעיכה בגרות קיץ תשע"ג שאלון 803 חקירת פונקציה בגרות מתמטיקה תשע"ג

Download Report

Transcript שאלון 802 גידול ודעיכה בגרות קיץ תשע"ג שאלון 803 חקירת פונקציה בגרות מתמטיקה תשע"ג

‫שאלון ‪802‬‬
‫גידול ודעיכה‬
‫בגרות קיץ תשע"ג‬
‫שאלון ‪803‬‬
‫חקירת פונקציה‬
‫בגרות מתמטיקה תשע"ג‬
‫שאלון שלישי ‪40% – 35803‬‬
‫משך השאלון‪ :‬שעתיים‬
‫פתרון של ‪ 4‬שאלות מתוך ‪6‬‬
‫שאלות מילוליות‬
‫‪ 2-1‬שאלות בחלוקה הבאה‪:‬‬
‫שאלה אחת בתחום קנייה‪ ,‬מכירה ותשלומים כולל התייקרויות והוזלות‬
‫עוקבות באחוזים‪.‬‬
‫תיתכן שאלה שנייה בתחום שאלות תנועה‪ ,‬או בתחום שאלות גיאומטריות‪.‬‬
‫גיאומטריה אנליטית‬
‫‪ 2-1‬שאלות‬
‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫‪ 3‬שאלות‬
‫מבנה השיעור‬
‫• כללי נגזרות‬
‫• חקירת פונקציה פולינום‬
‫• חקירת פונקציה רציונלית‬
‫• חקירת פונקציה שורש‬
‫מתוך דף הנוסחאות‬
‫מתוך דף הנוסחאות‬
f ( x)  c
:‫כללי נגזרות בסיסיים‬
f ( x)  0
'
( f ( x)  5
f ( x)  x
f ( x)  0 )
'
f ( x)  1
'
f ( x)  x
2
f ( x)  2 x
f ( x)  x
3
f ( x)  3x
f ( x)  x
n
f ( x)  n  x
n 1
f ( x)  x
6
f ( x)  6  x
5
'
'
2
'
'
(x )  n  x
n
'
n 1
:‫בדף הנוסחאות מופיעה הנוסחה‬
:‫כללי נגזרות בסיסיים‬
h( x)  a  f ( x)
h( x)  3x
h ( x)  a  f ( x)
'
h ( x )  3  ( 5 x )  15 x
5
'
h( x)  f ( x)  g ( x)
h( x)  2 x  5 x
3
'
4
4
4
h ( x)  f ( x)  g ( x)
'
'
'
h ( x )  2  3 x  5  4 x  6 x  20 x
'
2
(x )  n  x
n
'
n 1
3
2
3
:‫בדף הנוסחאות מופיעה הנוסחה‬
‫‪n 1‬‬
‫נתרגל נגזרות פולינום‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪f ( x)  4 x  5 x  6 x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(x )  n  x‬‬
‫'‬
‫‪n‬‬
(x )  n  x
n
'
n 1
‫נתרגל נגזרות פולינום‬
f ( x)  4 x  5 x  6 x 
3
2
1
7

f ( x )  12 x  10 x  6
'
2
‫‪n 1‬‬
‫נתרגל נגזרות פולינום‬
‫‪2‬‬
‫‪ 5x 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪(x )  n  x‬‬
‫'‬
‫‪n‬‬
(x )  n  x
n
'
n 1
‫נתרגל נגזרות פולינום‬
f ( x) 
x
2
3
 5x 1

f ( x) 
'
2x
3
5
‫חקירת פונקציה‬
‫)‪f ( x‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪y  x  6x  9x‬‬
‫‪2‬‬
‫מצאו את נקודה ‪ /‬נקודות הקיצון‬
‫‪3‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫כיצד מוצאים נקודות קיצון?‬
‫‪ ‬גוזרים את הפונקציה‬
‫‪ ‬משווים את הנגזרת לאפס‬
‫וכך מוצאים ‪-X‬ים של נקודות חשודות לקיצון‪.‬‬
‫‪ ‬קביעת סוג נקודות הקיצון‬
‫(או שבכלל מדובר בנקודות פיתול)‪:‬‬
‫על ידי טבלה או נגזרת שנייה‪.‬‬
‫‪ ‬מוצאים לכל ‪ x‬את ערך ה ‪ y‬המתאים‪.‬‬
‫‪ ‬מסכמים מהן נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫כיצד מוצאים נקודות קיצון?‬
‫‪ ‬גוזרים את הפונקציה‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪y  x  6x  9x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬חשבו את נקודה ‪ /‬נקודות הקיצון‬
‫‪f ( x)  x  6 x  9 x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ' ( x )  3 x  12 x  9‬‬
‫‪2‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫כיצד מוצאים נקודות קיצון?‬
‫‪ ‬גוזרים את הפונקציה‬
‫‪ ‬משווים את הנגזרת לאפס‬
‫וכך מוצאים ‪-X‬ים של נקודות חשודות לקיצון‪.‬‬
1 ‫תרגיל‬
y  x  6x  9x
3
2
:‫נתונה הפונקציה‬
‫ נקודות הקיצון‬/ ‫ חשבו את נקודה‬.‫א‬
f ( x)  x  6 x  9 x
3
2
f ' ( x )  3 x  12 x  9
2
f '( x)  0
3 x  12 x  9  0
2
3( x  4 x  3)  0
2
3 ( x  3 )( x  1)  0
x 1
x3
f ' (1)  f ' ( 3 )  0
‫תרגיל ‪1‬‬
‫כיצד מוצאים נקודות קיצון?‬
‫‪ ‬גוזרים את הפונקציה‬
‫‪ ‬משווים את הנגזרת לאפס‬
‫וכך מוצאים ‪-X‬ים של נקודות חשודות לקיצון‪.‬‬
‫‪ ‬קביעת סוג נקודות הקיצון‬
‫(או שבכלל מדובר בנקודות פיתול)‪:‬‬
‫על ידי טבלה או נגזרת שנייה‪.‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪y  x  6x  9x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫אפיון הקיצון‬
‫בעזרת טבלה‬
‫א‪ .‬חשבו את נקודה ‪ /‬נקודות הקיצון‬
‫‪f ' ( x )  3 x  12 x  9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 x  12 x  9  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪f ' ( 0 )  3  0  12  0  9  9  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ' ( 2 )  3  2  12  2  9   3  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ' ( 4 )  3  4  12  4  9  9  0‬‬
‫‪2‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫כיצד מוצאים נקודות קיצון?‬
‫‪ ‬גוזרים את הפונקציה‬
‫‪ ‬משווים את הנגזרת לאפס‬
‫וכך מוצאים ‪-X‬ים של נקודות חשודות לקיצון‪.‬‬
‫‪ ‬קביעת סוג נקודות הקיצון‬
‫(או שבכלל מדובר בנקודות פיתול)‪:‬‬
‫על ידי טבלה או נגזרת שנייה‪.‬‬
‫‪ ‬מוצאים לכל ‪ x‬את ערך ה ‪ y‬המתאים‪.‬‬
‫‪ ‬מסכמים מהן נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪y  x  6x  9x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ .‬חשבו את נקודה ‪ /‬נקודות הקיצון‬
‫(‪ - A ) 1 , 4‬נק' מקסימום‬
‫‪y (1)  1  6  1  9  1  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y (3)  3  6  3  9  3  0‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪ - B ) 3 , 0‬נק' מינימום‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫אפיון הקיצון בעזרת‬
‫הנגזרת השנייה‬
‫‪y  x  6x  9x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ .‬חשבו את נקודה ‪ /‬נקודות הקיצון‬
‫‪f (x)  x  6x  9x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ' ( x )  3 x  12 x  9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3( x  4 x  3 )  0  3( x  3 )( x  1)  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3 x  12 x  9  0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f '(x )  0‬‬
‫‪f ' (1)  f ' ( 3 )  0‬‬
‫‪f ' ' ( x )  6 x  12‬‬
‫‪  4‬מקסימום ‪  y‬מקסימום ‪ x  1  x‬‬
‫‪ f ' ' (1)  6  1  12   6  0‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪  0‬מינימום ‪  y‬מינימום ‪ x  3  x‬‬
‫‪ f ' ' (1)  6  3  12  6  0‬‬
‫‪x 3‬‬
‫(‪ - A ) 1 , 4‬נק' מקסימום‬
‫(‪ - B ) 3 , 0‬נק' מינימום‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫חקרו את הפונקציה ‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬תחומי עליה וירידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬סקיצה של הגרף‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y  2x  6x‬‬
‫‪3‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫כיצד מוצאים נקודות קיצון?‬
‫‪ ‬גוזרים את הפונקציה‬
‫‪ ‬משווים את הנגזרת לאפס‬
‫וכך מוצאים ‪-X‬ים של נקודות חשודות לקיצון‪.‬‬
‫‪ ‬קביעת סוג נקודות הקיצון‬
‫(או שבכלל מדובר בנקודות פיתול)‪:‬‬
‫על ידי טבלה או נגזרת שנייה‪.‬‬
‫‪ ‬מוצאים לכל ‪ x‬את ערך ה ‪ y‬המתאים‪.‬‬
‫‪ ‬מסכמים מהן נקודות הקיצון ואת סוגן‪.‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫מציאת נקודות קיצון‬
‫‪ ‬גוזרים את הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫‪y  2x  6x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y '  6 x  12 x‬‬
‫‪2‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫מציאת נקודות קיצון‬
‫‪ ‬משווים את הנגזרת לאפס‬
‫וכך מוצאים ‪-X‬ים של נקודות חשודות לקיצון‪.‬‬
‫‪y '  6 x  12 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y' 0‬‬
‫‪6 x  12 x  0  6 x ( x  2 )  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x1  0‬‬
‫‪x2  2‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫‪y '  6 x  12 x‬‬
‫‪2‬‬
‫מציאת נקודות קיצון‬
‫‪ ‬קביעת סוג נקודות הקיצון‬
‫על ידי טבלה או נגזרת שנייה‪.‬‬
‫‪x1  0‬‬
‫‪x2  2‬‬
‫‪2<x‬‬
‫‪X=2‬‬
‫‪0<x<2‬‬
‫‪X=0‬‬
‫‪X<0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪f’(x‬‬
‫‪min‬‬
‫‪max‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫מציאת נקודות קיצון‬
‫‪2‬‬
‫‪y  2x  6x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2<x‬‬
‫‪X=2‬‬
‫‪0<x<2‬‬
‫‪X=0‬‬
‫‪X<0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪f’(x‬‬
‫‪min‬‬
‫(‪ )0,0‬מקסימום‬
‫(‪ )2,-8‬מינימום‬
‫‪max‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫חקרו את הפונקציה ‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬תחומי עליה וירידה‪.‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫חקרו את הפונקציה ‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬תחומי עליה וירידה‪.‬‬
‫‪2<x‬‬
‫‪X=2‬‬
‫‪0<x<2‬‬
‫‪X=0‬‬
‫‪X<0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪f’(x‬‬
‫עליה‬
‫‪Min‬‬
‫ירידה‬
‫‪max‬‬
‫עליה‬
‫)‪f(x‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪0<x<2‬‬
‫הפונקציה יורדת בתחום‪:‬‬
‫הפונקציה עולה בתחום‪ X<0 :‬או ‪x>2‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫חקרו את הפונקציה ‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬תחומי עליה וירידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫חקרו את הפונקציה ‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬תחומי עליה וירידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫למציאת חיתוך עם ציר ה‪ x -‬נציב‬
‫נקודת חיתוך ציר ‪:X‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫חקרו את הפונקציה ‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬תחומי עליה וירידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫נקודת חיתוך ציר ‪:X‬‬
‫למציאת חיתוך עם ציר ה‪ y -‬נציב‬
‫נקודת חיתוך ציר ‪:Y‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫חקרו את הפונקציה ‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬תחומי עליה וירידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬סקיצה של הגרף‪.‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫חקרו את הפונקציה ‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫ב‪ .‬תחומי עליה וירידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬סקיצה של הגרף‪.‬‬
‫השרטוט המדויק נראה כך‪:‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪ bx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ( x )  x  ax‬‬
‫‪3‬‬
‫ידוע כי הנקודה ( ‪ A ) 5 , - 100‬היא נקודת קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את‬
‫‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪ bx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ( x )  x  ax‬‬
‫‪3‬‬
‫ידוע כי הנקודה ( ‪ A ) 5 , - 100‬היא נקודת קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את‬
‫‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫יש לנו שני נעלמים‬
‫משוואה אחת ‪:‬‬
‫משוואה שניה ‪:‬‬
‫‪ a‬ו‪b -‬‬
‫נבנה שתי משוואות עם שני נעלמים‬
‫‪f ( 5 )   100‬‬
‫‪f ' (5)  0‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫‪ bx‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ( x )  x  ax‬‬
‫‪3‬‬
‫ידוע כי הנקודה ( ‪ A ) 5 , - 100‬היא נקודת קיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את‬
‫‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫‪ a‬ו‪b -‬‬
‫יש לנו שני נעלמים‬
‫משוואה אחת ‪:‬‬
‫נבנה שתי משוואות עם שני נעלמים‬
‫‪f ( 5 )   100‬‬
‫משוואה שניה ‪:‬‬
‫‪f ' (5)  0‬‬
‫‪f ( 5 )   100‬‬
‫‪5  a  5  b  5   100‬‬
‫‪ 25 a  5 b   225 / 5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪ 5 a  b   45‬‬
‫‪f ' (5)  0‬‬
‫‪ 2 ax  b‬‬
‫‪ 10 a  b   75‬‬
‫‪a   6  b   15‬‬
‫‪ 15 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (x)  x  6x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f '( x )  3x‬‬
‫‪( 2 ) 3  5  2a  5  b  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 5 a  b   45‬‬
‫‪ 5 a   30‬‬
‫‪‬‬
‫‪10 a  b   75‬‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫שאלון ‪ - 003‬בגרות קיץ תשס''ו ‪ -‬מועד א'‬
‫‪41‬‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫נקודות קיצון‪ -‬נקודות מקסימום‪ /‬מינימום‬
‫מקסימום‪ /‬מינימום מוחלט‬
‫נקודות קיצון‪ -‬נקודות מקסימום‪ /‬מינימום‬
‫מקסימום‪ /‬מינימום מוחלט‬
‫משמאל משורטט גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪y  x  8 x  4 x  10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪E‬‬
‫לפונקציה יש ‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫מקסימום מקומי בנקודה‪ /‬נקודות ‪____ :‬‬
‫מינימום מקומי בנקודה‪ /‬נקודות ‪____ :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪K‬‬
‫‪-3‬‬
‫מקסימום מוחלט בתחום ‪-3  X  3‬‬
‫בנקודה‪____ :‬‬
‫מינימום מוחלט בתחום ‪-3  X  3‬‬
‫בנקודה‪____ :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪46‬‬
‫נקודות קיצון‪ -‬נקודות מקסימום‪ /‬מינימום‬
‫מקסימום‪ /‬מינימום מוחלט‬
‫משמאל משורטט גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪y  x  8 x  4 x  10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪E‬‬
‫לפונקציה יש ‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫מקסימום מקומי בנקודה‪ /‬נקודות ‪___C_ :‬‬
‫מינימום מקומי בנקודה‪ /‬נקודות ‪___B , K_ :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪K‬‬
‫‪-3‬‬
‫מקסימום מוחלט בתחום ‪-3  X  3‬‬
‫בנקודה‪__E__ :‬‬
‫מינימום מוחלט בתחום ‪-3  X  3‬‬
‫בנקודה‪__B__ :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪47‬‬
‫מהם השלבים למציאת נקודות המינימום‪ /‬מקסימום מוחלטים של פונקציה‪:‬‬
‫א‪ .‬לחשב את נק' הקיצון המקומיות ‪‬‬
‫ב‪ .‬לחשב את ערכי הפונקציה בקצות הקטע‬
‫ג‪ .‬מבין כל הנקודות שהתקבלו בסעיפים א' ו‪ -‬ב'‬
‫המינימום המוחלט יתקבל בנקודה בה ערך ה‪ Y-‬הוא קטן ביותר‬
‫המקסימום המוחלט יתקבל בנקודה בה ערך ה‪ Y-‬הוא הגדול ביותר‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪y  x  9 x  24 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫חשבו את נקודות המינימום‪ /‬מקסימום המוחלטים של הפונקציה הנ''ל בקטע [ ‪] 0 , 5‬‬
‫‪49‬‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫נתונה הפונקציה‪y  x  9 x  24 x :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫חשבו את נקודות המינימום‪ /‬מקסימום המוחלטים של הפונקציה הנ''ל בקטע [ ‪] 0 , 5‬‬
‫‪f ( x )  x  9 x  24 x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ' ( x )  3 x  18 x  24‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  6x  8  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3 x  18 x  24  0 / 3‬‬
‫‪, x4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x2‬‬
‫שני שיעור ה – ‪ X‬בתחום המבוקש‬
‫‪f '( x)  0‬‬
‫‪ ( x  4 )( x  2 )  0‬‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫‪y  x  9 x  24 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫חשבו את נקודות המינימום‪ /‬מקסימום המוחלטים של הפונקציה הנ''ל בקטע [ ‪] 0 , 5‬‬
‫‪f ( x )  x  9 x  24 x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ' ( x )  3 x  18 x  24‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  6x  8  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3 x  18 x  24  0 / 3‬‬
‫‪, x4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x2‬‬
‫‪f '( x)  0‬‬
‫‪ ( x  4 )( x  2 )  0‬‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪y  x  9 x  24 x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫חשבו את נקודות המינימום‪ /‬מקסימום המוחלטים של הפונקציה הנ''ל בקטע [ ‪] 0 , 5‬‬
‫הנקודה ( ‪ - A ) 2 , 20‬נק' מקסימום מקומי ‪ ,‬הנקודה ( ‪ - B ) 4 , 16‬נק' מינימום מקומי‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪y  x  9 x  24 x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫חשבו את נקודות המינימום‪ /‬מקסימום המוחלטים של הפונקציה הנ''ל בקטע [ ‪] 0 , 5‬‬
‫הנקודה ( ‪ - A ) 2 , 20‬נק' מקסימום מקומי ‪ ,‬הנקודה ( ‪ - B ) 4 , 16‬נק' מינימום מקומי‬
‫חישוב ערכי נקודות בקצות הקטע‪:‬‬
‫‪ f ( 5 )  20‬‬
‫‪x 5‬‬
‫( ‪ - A ) 2 , 20‬נק' מקסימום מקומי‬
‫( ‪ - B ) 4 , 16‬נק' מינימום מקומי‬
‫)‪(0,0‬‬
‫)‪(5,20‬‬
‫מינימום מוחלט מתקבל בנקודה (‪) 0 , 0‬‬
‫מקסימום מוחלט מתקבל בנקודות (‪) 5 , 20‬‬
‫‪) 2 , 20( ,‬‬
‫‪x  0  f (0)  0‬‬
‫חקירת פונקציה עם שורשים‬
‫‪54‬‬
‫כללי נגזרות של שורשים‬
‫‪1‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫'‬
‫‪x‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫תרגיל ‪ – 4‬שאלון ‪ – 803‬תשע"ב מועד ב‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪f ( x)  x  2 x  3‬‬
‫נתון כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה – ‪ X‬בנקודה )‪. (9,0‬‬
‫א‪ .1 .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫‪ .2‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה – ‪.y‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬קבע עבור אילו ערכי ‪ X‬הפונקציה חיובית‪.‬‬
‫‪56‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫תרגיל ‪ – 4‬שאלון ‪ – 803‬תשע"ב מועד ב‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪f ( x)  x  2 x  3‬‬
‫נתון כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה – ‪ X‬בנקודה )‪. (9,0‬‬
‫א‪ .1 .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫הביטוי בתוך השורש חייב להיות אי שלילי‪.‬‬
‫לכן‪,‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪57‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫תרגיל ‪ – 4‬שאלון ‪ – 803‬תשע"ב מועד ב‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪f ( x)  x  2 x  3‬‬
‫נתון כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה – ‪ X‬בנקודה )‪. (9,0‬‬
‫א‪ .1 .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫‪ .2‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה – ‪.y‬‬
‫בנקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה – ‪:y‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪ f (0)  0  2 0  3   3‬‬
‫)‪( 0 , 3‬‬
‫‪58‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫תרגיל ‪ – 4‬שאלון ‪ – 803‬תשע"ב מועד ב‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪f ( x)  x  2 x  3‬‬
‫נתון כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה – ‪ X‬בנקודה )‪. (9,0‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגה‪.‬‬
‫‪59‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫תרגיל ‪ – 4‬שאלון ‪ – 803‬תשע"ב מועד ב‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪f ( x)  x  2 x  3‬‬
‫נתון כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה – ‪ X‬בנקודה )‪. (9,0‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגה‪.‬‬
‫‪f ( x)  x  2 x  3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f '( x)  1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f '( x)  1  2‬‬
‫‪2 x‬‬
‫‪60‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫תרגיל ‪ – 4‬שאלון ‪ – 803‬תשע"ב מועד ב‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪f ( x)  x  2 x  3‬‬
‫נתון כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה – ‪ X‬בנקודה )‪. (9,0‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f '( x)  1 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f '( x)  0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 0/‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 1  0‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪61‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫תרגיל ‪ – 4‬שאלון ‪ – 803‬תשע"ב מועד ב‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪f ( x)  x  2 x  3‬‬
‫נתון כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה – ‪ X‬בנקודה )‪. (9,0‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f '( x)  1 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪X>1‬‬
‫‪X=1‬‬
‫‪0<x<1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-‬‬
‫)‪f’(x‬‬
‫עליה‬
‫‪Min‬‬
‫ירידה‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪  0 . 41  0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪f ' ( 0 .5 )  1 ‬‬
‫‪0 .5‬‬
‫‪ 0 . 29  0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f ' (2)  1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪62‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫תרגיל ‪ – 4‬שאלון ‪ – 803‬תשע"ב מועד ב‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪f ( x)  x  2 x  3‬‬
‫נתון כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה – ‪ X‬בנקודה )‪. (9,0‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגה‪.‬‬
‫‪X>1‬‬
‫‪X=1‬‬
‫‪0<x<1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-‬‬
‫)‪f’(x‬‬
‫עליה‬
‫‪min‬‬
‫ירידה‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪f ( x)  x  2 x  3‬‬
‫‪f (1)  1  2 1  3   4‬‬
‫) ‪min( 1,  4‬‬
‫‪63‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫תרגיל ‪ – 4‬שאלון ‪ – 803‬תשע"ב מועד ב‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪f ( x)  x  2 x  3‬‬
‫נתון כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה – ‪ X‬בנקודה )‪. (9,0‬‬
‫א‪ .1 .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫‪x  0‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה – ‪y‬‬
‫)‪(0 , 3‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגה‪min( 1,  4 ) .‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪64‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫תרגיל ‪ – 4‬שאלון ‪ – 803‬תשע"ב מועד ב‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪f ( x)  x  2 x  3‬‬
‫נתון כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה – ‪ X‬בנקודה )‪. (9,0‬‬
‫א‪ .1 .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫‪x  0‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה – ‪y‬‬
‫)‪(0 , 3‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגה‪min( 1,  4 ) .‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪65‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫תרגיל ‪ – 4‬שאלון ‪ – 803‬תשע"ב מועד ב‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪f ( x)  x  2 x  3‬‬
‫נתון כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה – ‪ X‬בנקודה )‪. (9,0‬‬
‫א‪ .1 .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫‪x  0‬‬
‫‪ .2‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה – ‪y‬‬
‫)‪(0 , 3‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגה‪min( 1,  4 ) .‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪66‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫תרגיל ‪ – 4‬שאלון ‪ – 803‬תשע"ב מועד ב‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪f ( x)  x  2 x  3‬‬
‫נתון כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה – ‪ X‬בנקודה )‪. (9,0‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪67‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫תרגיל ‪ – 4‬שאלון ‪ – 803‬תשע"ב מועד ב‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪f ( x)  x  2 x  3‬‬
‫נתון כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה – ‪ X‬בנקודה )‪. (9,0‬‬
‫ד‪ .‬קבע עבור אילו ערכי ‪ X‬הפונקציה חיובית‪.‬‬
‫הפונקציה חיובית כאשר הגרף נמצא מעל ציר ה – ‪X‬‬
‫לפי השרטוט ניתן לראות כי גרף הפונקציה נמצא מעל ציר ה – ‪ X‬עבור ה – ‪ X‬ים הגדולים מ – ‪. 9‬‬
‫כלומר‪X>9 :‬‬
‫‪68‬‬
‫חקירת פונקציה רציונלית‬
‫חקירת פונקציה פונקציה רציונלית מהצורה‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪h( x‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫פונקציה רציונלית‬
f ( x) 
g ( x) 
1
1
f '( x)  
x
x
a
a
f '( x)  
x
f ( x) 
x
1
x
2
 f '( x)  
2
2
2
x
3
: ‫כללי נגזרות‬
‫פונקציה רציונלית‬
f ( x) 
1
x
f ( x) 
x
1
x
1
 f '( x)  
2
 f '( x)  
f ( x) 
2
2
x
1
3
:‫נגזור יחד את הפונקציות הבאות‬
 6x
3
x
f ( x) 
2

x
f ( x)  4 
x
2
3
x
2

5
x
f ( x) 
1
x
f ( x) 
x
1
x
1
 f '( x)  
2
 f '( x)  
2
2
x
3
:‫נגזור יחד את הפונקציות הבאות‬
f ( x) 
1
 6x
3
x
f '( x)  
1
x
2
 18 x
2
f ( x) 
1
x
f ( x) 
x
1
x
1
 f '( x)  
2
 f '( x)  
2
2
x
:‫נגזור יחד את הפונקציות הבאות‬
3
f ( x) 
2

x
f '( x)  
x
2
2
x
2

1
2
f ( x) 
1
x
f ( x) 
x
1
x
1
 f '( x)  
2
 f '( x)  
2
:‫נגזור יחד את הפונקציות הבאות‬
2
x
3
3
f ( x)  4 
x
f '( x)  
6
x
3
2

5

x
5
x
2
‫דוגמה חשובה ‪:‬‬
‫‪3x  x  5‬‬
‫‪2‬‬
‫גזרו את הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪g ( x) ‬‬
‫דוגמה חשובה ‪:‬‬
‫‪3x  x  5‬‬
‫‪2‬‬
‫גזרו את הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪g ( x) ‬‬
‫‪x‬‬
‫לפני הגזירה נחלק כל גורם ב‪ X -‬ונקבל‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪g ( x)  3x  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3x  x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪g ( x) ‬‬
‫דוגמה חשובה ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3x  x  5‬‬
‫‪2‬‬
‫גזרו את הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪g ( x) ‬‬
‫‪ f '( x)  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫לפני הגזירה נחלק כל גורם ב‪ X -‬ונקבל‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪g ( x)  3x  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪3x  x  5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪g ( x) ‬‬
‫‪x‬‬
‫נגזור את )‪ g(x‬במבנהו החדש‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪g '( x)  3  0 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪g '( x)  3 ‬‬
‫‪g ( x)  3x  1 ‬‬
‫פונקציה רציונלית‬
‫תחום הגדרה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫השוני מחקירת פולינום – שמוגדר לכל ‪X‬‬
‫שבפונקציות כאלה יש בעיה של תחום ההגדרה –‬
‫שמפצלת את גרף הפונקציה ( אינו רצף אחד ) ‪.‬‬
‫במקרה זה היות והמאפס היחידי של המכנה הוא ‪0‬‬
‫תחום ההגדרה יהיה ‪:‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫פונקציה רציונלית‬
‫תחום הגדרה‪:‬‬
‫השוני מחקירת פולינום – שמוגדר לכל ‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫שבפונקציות כאלה יש בעיה של תחום ההגדרה –‬
‫‪x‬‬
‫שמפצלת את גרף הפונקציה ( אינו רצף אחד ) ‪.‬‬
‫במקרה זה היות והמאפס היחידי של המכנה הוא ‪0‬‬
‫תחום ההגדרה יהיה ‪:‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫חקרו את הפונקציה‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עליה וירידה‬
‫ד‪ .‬חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬סקיצה של הגרף‪:‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫חקרו את הפונקציה‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‬
‫תחום ההגדרה של הפונקציה הוא כך שהמכנה‬
‫צריך להיות שונה מאפס‪:‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫חקרו את הפונקציה‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫חקרו את הפונקציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫נמצא את נגזרת הפונקציה‪:‬‬
‫נבדוק מתי הנגזרת מתאפסת‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f '( x)  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f '( x)  ‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫חקרו את הפונקציה‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫נמצא את נגזרת הפונקציה‪:‬‬
‫נבדוק מתי הנגזרת מתאפסת‪:‬‬
‫נבנה טבלה לאפיון נקודות הקיצון‪:‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫חקרו את הפונקציה‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫נמצא את ערכי ‪ y‬המתאימים ע"י הצבה בפונקציה‪:‬‬
‫לכן נקודות הקיצון הן‪:‬‬
‫‪ ,‬מקס'‪:‬‬
‫מינ'‪:‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫חקרו את הפונקציה‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫מינ'‪:‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עליה וירידה‬
‫‪ ,‬מקס'‪:‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫חקרו את הפונקציה‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫מינ'‪:‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עליה וירידה‬
‫תשובה‪:‬‬
‫הפונקציה יורדת בתחום‪:‬‬
‫הפונקציה עולה בתחום‪:‬‬
‫‪ ,‬מקס'‪:‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫חקרו את הפונקציה‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫מינ'‪:‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עליה וירידה‬
‫ד‪ .‬חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪ ,‬מקס'‪:‬‬
‫למציאת חיתוך עם ציר ה‪ , x -‬נציב‬
‫‪:‬‬
‫למשוואה זו אין פתרון (בתחום המספרים הממשיים) ולכן‬
‫אין חיתוך עם ציר ה‪x.-‬‬
‫‪ ,‬אין חיתוך עם ציר ה‪y.-‬‬
‫כיוון שתחום הגדרה הוא‬
‫לפיכך אין נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫חקרו את הפונקציה‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫מינ'‪:‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עליה וירידה‬
‫ד‪ .‬חיתוך עם הצירים‪ .‬אין‬
‫ה‪ .‬סקיצה של הגרף‪:‬‬
‫‪ ,‬מקס'‪:‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫חקרו את הפונקציה‪:‬‬
‫לפי הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תחום הגדרה‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‪.‬‬
‫מינ'‪:‬‬
‫ג‪ .‬תחומי עליה וירידה‬
‫ד‪ .‬חיתוך עם הצירים‪ .‬אין‬
‫ה‪ .‬סקיצה של הגרף‪:‬‬
‫הפונקציה יורדת בתחום‪:‬‬
‫הפונקציה עולה בתחום‪:‬‬
‫הסקיצה נראית כך‪:‬‬
‫‪ ,‬מקס'‪:‬‬
‫תרגיל ‪8‬‬
‫תרגיל ‪ – 3‬שאלון ‪ - 003‬בגרות חורף תשס''ט‬
8 ‫תרגיל‬
f ( x) 
x4
a

4
f '( x) 
x
1 0
4

a
x
2

1

4
a
x
2
f '( x) 
1
a

4
x
2
: ‫מתקיים‬
f ' (2)  
3
4

1
4

a
(2)
2

3
4
a4 

1
4
f ( x) 

3

4
x4
4
a
4

4
x
X  0 : ‫תחום הגדרה‬
1
a
4

a4
‫משוואת משיק – פונקציה רציונלית‬
‫‪95‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫תרגיל ‪9‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪:‬‬
‫מהי משוואת המשיק לפונקציה בנקודה שבה ‪? X = 1‬‬
‫'‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪96‬‬
‫) ‪m  f ' ( x1‬‬
‫משוואת משיק לפונקציה (‪ f ) X‬בנקודה ‪X1‬‬
‫) ‪y  y 1  m ( x  x1‬‬
‫הנמצאת על הפונקציה‬
‫) ‪A ( x1 , y 1‬‬
‫המשיק‬
‫‪Y1‬‬
‫)‪ - f(x‬הפונקציה‬
‫‪X1‬‬
‫שלבי מציאת משוואת המשיק‪:‬‬
‫א‪ .‬לגזור את הפונקציה ( ‪ - f ) X‬למצא את (‪f ' )X‬‬
‫ב‪ .‬להציב בנגזרת את הערך של ‪X1‬‬
‫ג‪ .‬לחשב את ‪( Y1‬אם לא נתון)‬
‫‪ -‬לחשב את‬
‫( ‪m = f ' ) X1‬‬
‫‪ -‬לחשב את ( ‪- f ) X1‬להציב את ‪ X1‬בפונקציה המקורית‬
‫ד‪ .‬להציב את ‪ Y 1 , X1 , m‬בנוסחה‪:‬‬
‫) ‪y  y 1  m ( x  x1‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫תרגיל ‪9‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪:‬‬
‫מהי משוואת המשיק לפונקציה בנקודה שבה ‪? X = 1‬‬
‫'‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪98‬‬
‫תרגיל ‪9‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪:‬‬
‫א‪ .‬מהי משוואת המשיק לפונקציה בנקודה שבה ‪? X = 1‬‬
‫נמצא את נגזרת הפונקציה‪:‬‬
‫שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה שווה לערך הנגזרת באותה נקודה‬
‫נמצא את ערך הפונקציה בנקודת ההשקה‬
‫לפיכך‪ ,‬נקודת ההשקה היא (‪.)1,5‬‬
‫נמצא את משוואת המשיק לפי הנוסחה למשוואת ישר ע"פ נקודה ושיפוע‪:‬‬
‫מאחל לכולכם ברכת הצלחה במתמטיקה‬
‫בכלל ובגידול ודעיכה בפרט‪...‬‬
‫ד"ר יניב ביטון‬
‫צוות מתמטיקה‪ ,‬מטח‬
‫‪http://23tv-bagrut.cet.ac.il/‬‬