Transcript נגזרת חלקית לפי x

‫‪1‬‬
‫מתמטיקה ב' לכלכלנים‬
‫שיעור ‪ – 3‬נגזרות‪ ,‬דיפרנציאבליות וקירובים‬
‫תיאוריה‬
‫‪2‬‬
‫נגזרת חלקית‬
‫הרעיון‪:‬‬
‫כאשר הגדרנו נגזרת ניסינו לתאר את מגמת השינוי‬
‫הרגעית של פונקציה כאשר‬
‫‪ X‬מתקדם‪.‬‬
‫במרחב אנחנו יכולים לדבר‬
‫על התקדמות במספר‬
‫כיוונים‪.‬‬
‫‪y x‬‬
‫‪3‬‬
‫נגזרת חלקית‬
‫לשיפועים האלו אנחנו קוראים "נגזרת כיוונית"‪.‬‬
‫כדי להגדיר נגזרת כיוונית נגדיר תנועה במסילה‪ .‬עלינו‬
‫לשים לב שהתנועה במסילה צריכה להיות בקצב ‪.1‬‬
‫כלומר המסילה היא‪)at,bt( :‬‬
‫כאשר‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a  b 1‬‬
‫‪4‬‬
‫נגזרת חלקית‬
‫נגזרות כיווניות חשובות במיוחד הן הנגזרות החלקיות‪:‬‬
‫נגזרת חלקית לפי ‪ :x‬הנגזרת החלקית לפי ‪ x‬המסומנת‪f ( x, y ) :‬‬
‫‪x‬‬
‫או‪ f x ( x, y) :‬מוגדרת להיות‪:‬‬
‫)‪f ( x, y) df ( x, y‬‬
‫‪ f ( x  x, y)  f ( x, y) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ lim ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫באופן דומה נגדיר נגזרת חלקית לפי ‪ y‬ולפי כל משתנה אחר‪.‬‬
5
‫ דוגמאות‬- ‫נגזרת חלקית‬
:‫חשב נגזרות חלקיות לפונקציות הבאות‬
F ( x, y)  y 2  3xy  x 1
Fx ( x, y)  3 y  1
Fy ( x, y)  2 y  3x
F ( x, y)  ye
xy
Fx ( x, y)  y 2e xy
Fy ( x, y)  e xy  yxexy
F ( x, y)  x  y
1
2 x y
1
Fy ( x, y ) 
2 x y
Fx ( x, y) 
‫‪6‬‬
‫התחלפות הנגזרות החלקיות‬
‫בשני כיוונים (למשל‬
‫משפט (שוורץ)‪ :‬אם הנגזרות‬
‫החלקיות ‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מתקיים‪F ( x, y)  2:‬‬
‫‪ x‬ו‪ )y‬קיימות בנקודה ‪ a‬ורציפות‪ ,‬אזי‪x  y‬‬
‫)‪f xy (a)  f yx (a‬‬
‫כלומר הנגזרת הכיוונית בכיוון ‪ x‬של הנגזרת הכיוונית‬
‫בכיוון ‪ y‬שווה בדיוק לנגזרת הכיוונית בכיוון ‪ y‬של‬
‫הנגזרת הכיוונית בכיוון ‪.x‬‬
‫הוכחה‪ :‬עוד שני שקפים‬
7
‫ דוגמאות‬- ‫נגזרת חלקית‬
:‫נראה כי הנגזרות מתחלפות‬
F ( x, y)  y 2  3xy  x 1
Fxy ( x, y)  3  Fyx ( x, y)
F ( x, y)  ye
xy
Fy ( x, y)  2 y  3x
Fx ( x, y)  y 2e xy
Fxy ( x, y)  2 yexy  xy2exy
F ( x, y)  x  y
Fxy ( x, y) 
Fx ( x, y)  3 y  1
1
4x  y 
3
2
Fy ( x, y)  e xy  yxexy
1
2 x y
1
Fy ( x, y ) 
2 x y
Fx ( x, y) 
8
‫התחלפות הנגזרות החלקיות‬
:‫ נסתכל על ארבע נקודות‬:‫הרעיון‬
f ( x0 , y0 ), f ( x0  x, y0 ),
f ( x0 , y0  y), f ( x0  x, y0  y)
f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 )
x
f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0  y )
f x ( x0 , y0  y ) 
x
f x ( x0 , y0 ) 
f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 ) f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0  y )

x
x
f xy ( x0 , y0 ) 
y
9
‫התחלפות הנגזרות החלקיות‬
:‫מצד שני‬
f ( x0 , y0 ), f ( x0  x, y0 ),
f ( x0 , y0  y), f ( x0  x, y0  y)
f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 )
y
f ( x0  x, y0  y )  f ( x0  x, y0 )
f y ( x0 , y0  y ) 
y
f y ( x0 , y0 ) 
f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 ) f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0  y )

y
y
f yx ( x0 , y0 ) 
x
10
‫התחלפות הנגזרות החלקיות‬
f xy ( x0 , y0 ) 
:a=(x0,y0) ‫ נוכיח בשני משתנים עבור‬:‫הוכחה‬

 f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0  y ) 
 f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 )  
 lim 
 lim 


x 0
x 0

x

x




lim 
y 0

y




‫ לכן שני הגבולות‬,‫ הנגזרת מוגדרת‬y0 ‫בסביבה קטנה של‬
:‫קיימים ולכן הביטוי שווה‬

 f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0  y)  f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 )  
  
lim  lim 
y 0 x 0
xy



‫נחליף סדר ונקבל‬
  f ( x0  x, y0  y)  f ( x0  x, y0 )    f ( x0 , y0  y)  f ( x0 , y0 )   



lim  lim 
y 0 x 0


xy
 


  f ( x0  x, y0  y)  f ( x0  x, y0 )    f ( x0 , y0  y)  f ( x0 , y0 )   

  
lim  lim 
y 0 x 0
xy




  f ( x0  x, y0  y )  f ( x0  x, y0 )   f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 )   





y

y
 
lim  lim 
y 0 x 0

x






:‫כעת משום שהגבולות קיימים ורציפים‬

  f ( x0  x, y0  y )  f ( x0  x, y0 )   f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 )   





y

y
 
lim  lim 
x 0 y 0

x







  f ( x0  x, y0  y )  f ( x0  x, y0 )  

f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 )  
 lim 

  lim

y

0

y

0
y
y




lim 


x 0
x






f yx ( x0 , y0 )
11
‫‪12‬‬
‫נגזרת כיוונית‬
‫כפי שהבטחנו ‪ -‬אפשר להגדיר נגזרת חלקית בכל כיוון‬
‫הגדרה‪ :‬יהי (‪ )a,b‬וקטור יחידה‪ ,‬כלומר ‪a 2  b2  1‬‬
‫‪.‬‬
‫נגדיר את הנגזרת הכיוונית בכיוון (‪ )a,b‬להיות‪:‬‬
‫) ‪df (at , bt‬‬
‫) ‪f ( x  at , y  bt )  f ( x, y‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪t 0‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪t‬‬
13
‫נגזרת כיוונית‬
f ( x, y)  x  y
3
2

a  (0.6,0.5)
f (0.6,0.5) x  3x 2
:‫המחשה‬
( 0.6 , 0.5 )
 1.08
f (0.6,0.5) y  2 y ( 0.6, 0.5)  1
8

100 2
t 
 t
,


2
2


‫וכעת נגזרת בכיוון‬
t 3
t 2
f (t )  (0.6 
)  (0.5 :‫)אבל‬
2
2
df (0)
1
t 2 1
t
8  3(0.61

) 
 21
(0.5 
) t 0
dt
2 
21.08 2
1 2
1
1
0.08
 100
1.082

 2  0.057 2
2
2
2
‫‪14‬‬
‫נגזרת כיוונית‬
‫נהפוך את צירוף המקרים למשפט‪.‬‬
‫משפט‪ :‬אם הנגזרות החלקיות בנקודה‬
‫הפונקציה )‪ f ( x, y‬קיימות ורציפות‪ .‬אזי מתקיים‬
‫שהנגזרת הכיוונית בכיוון )‪ ( a, b‬היא‪:‬‬
‫) ‪( x0 , y0‬‬
‫) ‪a  f x ( x0 , y0 )  b  f y ( x0 , y0‬‬
‫הוכחה בהמשך‪...‬‬
‫של‬
‫‪15‬‬
‫דיפרנציאביליות וליניאריזציה‬
‫למדנו לקרב פונקציה מרובת משתנים בכל כיוון בקלות‪...‬‬
‫אבל האם ניתן לקרב אותה בכל הכיוונים בבת אחת?‬
‫ניזכר במונח מהקורס הקודם‪:‬‬
‫הגדרה (מתמטיקה א')‪ :‬דיפרנציאל של פונקציה )‪ f(x‬גזירה הוא‪:‬‬
‫) ‪Df( x0 ) (x)  f ( x0 )  x  f x ( x0‬‬
‫נסמן –‬
‫‪f ( x0  x)  Df( x0 ) (x)  x   x‬‬
‫אזי לכל פונקציה גזירה יתקיים ‪lim ( x )  0‬‬
‫‪x  0‬‬
‫ולכן אמרנו שכל פונקציה גזירה – דיפרנציאבילית‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫דיפרנציאביליות וליניאריזציה‬
‫וכעת בשני משתנים‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬נגדיר לפונקציה שנגזרותיה החלקיות קיימות את‬
‫) ‪Df( x0 , y0 ) (x, y)  f ( x0 , y0 )  x  f x ( x0 , y0 )  y  f x ( x0 , y0‬‬
‫הדיפרנציאל השלם של )‪ f(x,y‬בנקודה )‪. (x0,y0‬‬
‫לעיתים הדיפרנציאל השלם מכונה – ליניאריזציה של ‪f‬‬
‫הגדרה‪ :‬פונקציה המקיימת‪:‬‬
‫‪f ( x0  x, y0  y)  Df( x0 , y0 ) (x, y)  x   x  y   y‬‬
‫כאשר ‪ lim ( x )  0, lim ( y )  0‬נקראת דיפרנציאבילית‪.‬‬
‫‪y 0‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪17‬‬
‫משפט הדיפרנציאביליות‬
‫ומה המשמעות?‬
‫‪ .1‬אפשר לקרב כל פונקציה דיפרנציאבילית בסביבה על ידי‬
‫מישור משיק‪.‬‬
‫‪ .2‬כאשר מתקרבים לנקודה הקירוב מתקרב למציאות‪.‬‬
‫עד כמה? – זו עדיין שאלה פתוחה‪ .‬נתייחס לכך בהמשך‪.‬‬
‫משפט‪ :‬אם הנגזרות החלקיות בנקודה‬
‫של הפונקציה )‪ f ( x, y‬קיימות ורציפות אזי הפונקציה‬
‫דיפרנציאבילית‪.‬‬
‫) ‪( x0 , y0‬‬
‫ההוכחה קשה ומערבת מונחים טכניים רבים ועל כן‬
‫נאלץ לוותר עליה‪ .‬‬
‫‪18‬‬
‫דיפרנציאביליות‬
‫המחשה‪( x0 , y0 )  (0,0) :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ( x, y)  ( x  1)  y‬‬
‫‪2‬‬
‫נחשב נגזרות חלקיות ונקבל‪:‬‬
‫‪f y (0,0)  2 y ( 0, 0)  0‬‬
‫‪f x (0,0)  2( x  1) ( 0, 0 )  2‬‬
‫לכן ניתן לקרב את הפונקציה ע"י‪:‬‬
‫~‬
‫)‪f ( x, y)  f (0,0)  ( x  0) f x (0,0)  ( y  0) f y (0,0‬‬
‫~‬
‫‪f ( x, y)  1  2x‬‬
‫‪19‬‬
‫גרדיאנט‬
‫לאחר שלמדנו לקרב פונקציה בשני משתנים בכל כיוון ולאורך‬
‫כל מסילה – עלינו לבנות כלי מעשי לשימוש ביכולת זו‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬נגדיר לפונקציה שנגזרותיה החלקיות קיימות ורציפות‬
‫את הגרדיאנט‪f ( x1, x2 ,...,, xk )  ( f x1 , f x2 ,..., f xk ) :‬‬
‫ונגדיר עוד מונח שימושי – מכפלה סקלרית‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬נגדיר לשתי ‪– k‬יות ) ‪v1  ( x1 ,...,xk ), v2  ( x1, x2 ,...,xk‬‬
‫‪k‬‬
‫של מספרים את הפעולה ‪ (v1 , v2 )   xi xi‬שנכנה מכפלה‬
‫‪i 1‬‬
‫סקלרית של ) ‪. (v1 , v2‬‬
‫‪20‬‬
‫שימושי הגרדיאנט‬
‫קל לראות את השימוש המיידי של הגרדיאנט לפני נוחסאת‬
‫הנגזרות הכיווניות‪:‬‬
‫מסקנה‪ :‬אם )‪ a=)a1,a2,…,ak‬כיוון – כלומר‬
‫‪ ‬‬
‫אז ‪ (f ( x), a)  f ( x1, x2 ,...,, xk ), (a1, a2 ,...,ak )‬היא הנגזרת‬
‫הכיוונית בכיוון ‪A‬‬
‫‪a1  a2  ...  a3  1‬‬
‫‪2‬‬
‫אך לגרדיאנט משמעויות ושימושים נוספים‪...‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪21‬‬
‫משמעות גיאומטרית של הגרדיאנט‬
‫מה היא מכפלה סקלרית מבחינה גיאומטרית‪:‬‬
‫)‪3  62  4  22  32  42  62  22  2(3 6  4  2‬‬
‫ניזכר במשפט הקוסינוסים‪:‬‬
‫) ‪c 2  a 2  b2  2abcos(‬‬
‫נציב לפי הציור ונקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪32  42 62  22 cos‬‬
‫‪Y‬‬
‫חישבנו שוב‬
‫נחשב‪A‬את‬
‫את ‪-B‬‬
‫שונה‪A.‬‬
‫גודל ‪-B‬‬
‫בדרך‬
‫‪3  62  4  22  (32  42 )  (62  22 )  2‬‬
‫)‪A=(3,4‬‬
‫)‪B=(6,2‬‬
‫‪X‬‬
‫נשווה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(32  42 )  (62  22 )  2 32  42 62  22 cos  32  42  62  22  2(3  6  4  2‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫)‪62  22 cos  (3  6  4  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪22‬‬
‫משמעות גיאומטרית של הגרדיאנט‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מכפלה סקלרית של שני וקטורים ) ‪a  ( x1 , y1 ),b  ( x2 , y2‬‬
‫היא מכפלת אורכיהם כפול קוסינוס הזווית ביניהם‪.‬‬
‫תרגיל‪ :‬הוכח את המשפט בהסתמך על השקף הקודם‪.‬‬
‫כעת נוכל לנצל את הידע על מכפלה סקלרית כדי להסיק‬
‫מסקנות שימושיות ומרחיקות לכת לגבי הגראדיאנט‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫משמעות גיאומטרית של הגרדיאנט‬
‫אמרנו שמכפלה סקלרית של הגרדיינט עם כיוון היא הנגזרת‬
‫הכיוונית בכיוון זה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אמרנו גם כי מכפלה סקלרית ) ‪(a, b ) | a || b | cos(‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫אבל אם ‪ a‬כיוון ‪ a  (a1 , a2 ,...,ak ) -‬אז ‪a  a1  a2  ...  ak  1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫‪),‬‬
‫‪a‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫|‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫(‬
‫‪x‬‬
‫לכן ) ‪) | cos(‬‬
‫ כלומר הנגזרת הכיוונית היא‬‫אורך הגרדיאנט כפול קוסינוס הזווית בין הגרדיאנט לכיוון ‪.a‬‬
‫משפט‪ :‬כיוון הגדריאנט – אשר מוגדר להיות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ f ( x )  f x ( x ) f x ( x‬הוא הכיוון שבו הפונקציה‬
‫‪f x (x) ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ,‬‬
‫‪ ,...,‬‬
‫‪ ‬‬
‫) ‪ f ( x )  f ( x ) f ( x‬עולה בקצב מכסימלי‪.‬‬
‫‪f ( x ) ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪24‬‬
‫פונקציות הומוגניות – קסם הגראדיאנט‬
‫הגדרה‪ :‬פונקציה ‪ f‬נקראת הומוגנית אם קיים ‪ d‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫) ‪ f (ax )  a f ( x‬עבור כל ‪ a‬חיובי‪ d .‬מכונה דרגת ההומוגניות‬
‫של ‪.f‬‬
‫אבל בשביל מה זה טוב? – עוד כמה חודשים נבין‪...‬‬
‫בינתיים – תרגול‪.‬‬
‫משפט (אוילר)‪ :‬פונקציה היא הומוגנית אם ורק אם‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪( x, f ( x ))  df ( x‬‬
‫הוכחה‪ :‬בהמשך ( כיוון אחד בקרוב‪)...‬‬
‫‪25‬‬
‫פונקציות הומוגניות‬
‫דרגת ההומוגניות היא ‪2‬‬
‫קצת דוגמאות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ( x)  x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪f (ax)  (ax)  (ay)  a ( x  y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪f ( x)  (2 x,2 y‬‬
‫משפט אוילר‪:‬‬
‫דרגת ההומוגניות היא ‪2‬‬
‫‪(f ( x), ( x, y))  ((x, y), (2 x,2 y)) ‬‬
‫)‪2 x  2 y  2( x  y )  2 f ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
26
‫פונקציות הומוגניות‬
.‫ חיובי‬a – ‫שימו לב‬
1.5 ‫דרגת ההומוגניות היא‬
f ( x)  x y  y x
:‫קצת דוגמאות‬
f (ax)  (ax) (ay)  (ay) (ax)  a ( x y  y x )
1.5
f ( x)  ( y 
y
2 x
, x
x
2 y
)
xy
xy
(f ( x), ( x, y))  x y 
y x

2 x
2 y
xy ‫משפט‬xy
:‫אוילר‬
(f ( x), ( x, y))  x y  y x1.5‫ההומוגניות היא‬
 ‫דרגת‬
2 x 2 y
y x x y
(f ( x), ( x, y))  x y  y x 

 1.5( x y  y x )
2
2
‫‪27‬‬
‫כעת נוכל לחשב את מגמתה של כל פונקציה‬
‫רב‪-‬ממדית!‬
‫למרות שהדבר נראה כפרדוקס‪ ,‬כל המדע המדויק נשען על‬
‫קירובים‪ ,‬כשאדם אומר שהוא יודע את האמת בדיוק‪ ,‬אתה יכול‬
‫להיות סמוך ובטוח שאינו דייקן‪.‬‬
‫‪ --‬ברנרד ראסל‬