Transcript חשב את הנגזרות החלקיות מסדר 2 של הפונקציות הבאות
1
םינלכלכל ' ב הקיטמתמ
םיבוריקו תוילבאיצנרפיד , תורז גנ – 3 רועיש הקיטקרפ 1
תיקלח תרזגנ
f
(
x
,
y
)
e x
e y f f
(
x
,
y
)
xy
ln (
x
,
y
)
y
x
2
x
3
xy
y
2
x
2
f
: תואבה תויצקנופה לש 2 רדסמ תויקלחה תורזגנה תא בשח (
x
,
y
)
e e xy f x
(
x
,
y
)
e x f y
(
x
,
y
)
e y f xx
(
x
,
y
)
e x f yy
(
x
,
y
)
e y f xy
(
x
,
y
) 0 2
3
תיקלח תרזגנ
: תואבה תויצקנופה לש 2 רדסמ תויקלחה תורזגנה תא בשח
f f
(
x
,
y
) (
e f x
g
)'
e
y f
'
g
g
'
f f
(
x
,
y
) (
x
,
y
)
xy
ln
x y
x
2
x
3
xy
y
2 2
f x
(
x
,
y
)
y
ln
f y
(
x
,
y
)
x
ln
y
x y y f xx
(
x
,
y
) 2
y
2
x
x
ln
y
x f yy
(
x
,
y
)
x y f
(
x
,
y
)
e e xy f xy
(
x
,
y
) ln
y
1 3
תיקלח תרזגנ
f f f f f
( ( (
x
,
x
,
x
,
y y
: תואבה תויצקנופה לש 2 רדסמ תויקלחה תורזגנה תא בשח ) ) ) (
x
,
y
)
e
...
x x x xy
ln
e
דירפהל ףידע 3
y xy x x
2
e e xy y y
y x x
2 2 2
y
2
f x
(
x
,
f y
(
x
,
y
)
y
) 1 1
x y
x
2 2
y x
2 2
f xx
(
x
,
y
) 2
x
3
y
y
2
x
6
y
2
x
4 3
f f yy
(
x
,
xy
(
x
,
y y
) ) 2
x
2 1
x
2 4
y x
3 4 4
תיקלח תרזגנ
: תואבה תויצקנופה לש 2 רדסמ תויקלחה תורזגנה תא בשח
f
(
x
,
y
)
e x
e y
(
f
)' '
g
g
'
f f
(
x
,
y
)
xy
ln
y
x
2
f x
(
x
,
y
)
e e xy
e xy
y f f
(
x
, (
x
,
y g
) (
f
(
x
3
x
))'
xy g x
' ( 2
f
(
x
))
y
2
f
' (
x
)
f xx
(
x
,
y
)
e e xy f yy
(
x
,
y
)
y
)
e e xy e e xy f y
(
x
,
e
2
xy
e
2
xy y
)
y
2
x
2
e e xy
e xy
e e xy e e xy
e xy x
e xy
y
2
x
2 5
f xy
(
x
,
y
)
e e xy
e
2
xy
xy
e e xy
e xy
xy
e e xy
5
e xy
לק ה ז – הובג רדסמ תיקלח תרזגנ
f
(
x
,
y
,
z
,
w
)
x
4
y
4
z
4
w
: תואבה תויקלחה תורזגנה תא בשח
x
5
y f z
w
2 4 ( 4
x
3
y
4
z
4
w
)
y
z
w
2 3 ( 16
x
3
y
3
z
4
w
)
z
w
2 2 ( 64
x
3
y
3
z
3
w
)
w
2 ( 64
x
3
y
3
z
3 )
w
0 6 6
לק ה ז – הובג רדסמ תיקלח תרזגנ
f f
(
x
, (
x
,
y
,
y
,
z
,
z
)
w
)
x
4
e
10
x
3
y
4
z
4
w y
67
z
: תואבה תויקלחה תורזגנה תא בשח
x
3
f
y
(
z
w
2 0 , 0 , 0 )
x
5
y f
z
0 2 ( 10
e
10
x
3
y
67
z
)( 0 , 0 , 0 )
y
z
( 30
e
10
x
3
y
67
z
)( 0 , 0 , 0 )
z
2010
e
10
x
3
y
67
z
( 0 , 0 , 0 ) 2010 7 7
תינוויכ תרזגנ
v
1
v
f
( (
x
, 1 2 ,
y
) םינוויכב תואבה תויצקנופה לש תוינוויכה תורזגנה תא בשח
e x e y f x
(
x
,
y
)
e x
: םינותנה 1 2 ),
x
( 0 , 0 )
f y
(
x
,
y
)
e y
f
( ( 3 5
x
, , 4 5 )
y
)
v
2
xy
( 12 13 ln , 5
y
13 ),
x x
2 ( 1 , 1 )
f
v t
( 0 , 0 ) 1 2
e
0 1 2
e
0 2 2 2 8
f
(
x
,
y
) (
x
2
y
2 )
e x
2
y
2
v
1 7 ( 25 , 24 25 )
v
2 ( 2 3 , 1 2 ),
x
( 1 , 1 ) 8
תינוויכ תרזגנ
v
1
v
f f
( ( ( ( 3 5
x
, , 1
x
, 2 4 5 , )
y y
) ) םינוויכב תואבה תויצקנופה לש תוינוויכה תורזגנה תא בשח
e x e y
: םינותנה 1 2 ),
x xy
( ln 0 , 0 )
y
x
2
f y
(
f x x
, (
y
)
x
,
y x
) ln
y y
ln
x y y y
x
2 ln
x y
v
2 ( 12 13 , 5 13 ),
x
( 1 , 1 )
f
v
1
t
( 1 , 1 ) 3 5 ( 1 ln( 1 ) 2 ) 4 5 ( 1 ln( 1 ) 1 )
x f
(
x
,
y
) (
x
2
v
1 7 ( 25 , 24 25 )
v
2 (
y
2 )
e x
2
y
2 2 3 , 1 2 ),
x
( 1 , 1 )
f
v
2
t f
( 1 ,
v
1 1
t
) ( 1 , 1 ) 13 6 ( 5 ln( 4 5 ) 2 2 ) 5 13 ( 1 ln( 1 ) 1 ) 3 2 13 9 9
תינוויכ תרזגנ
v
f
( (
x
, 1 2 ,
y
) םינוויכב תואבה תויצקנופה לש תוינוויכה תורזגנה תא בשח
e x e y
: םינותנה 1
xe x
2
y
2 2 2
x
2 ),
x
( 0 , 0 )
f x
(
x
,
y
) 2 2
x
(
x y
)
e
2
f
(
x
,
y
) 2
ye x
2
y
2 2
y
(
x
2
y
2 )
e x
2
y
y y
2 2
v
1
f
(
x
, ( 3 5 , 4 ) 5
y
)
v
2
xy
ln ( 12 13
y
, 5 13 ),
x x
2 ( 1 , 1 )
f v
t
(
x
,
y
) 7 0 ( 25 24 25 ) 0 ( 2 3 1 2 ) 0
f
(
x
,
y
) (
x
2
y
2 )
e x
2
y
2
v
1 7 ( 25 , 24 25 )
v
2 ( 2 3 , 1 2 ),
x
( 0 , 0 ) 10 10
v
(
a
,
b
)
תינוויכ תרזגנ
?
ןותנ ןוויכ לש תיווזה המ םיעדוי ךיא 11 arctan
b a
Y b a X 11
תינוויכ תרזגנ
v
0 ( 1 2 ,
v
1 3 ( 5 , 4 5 ) 1 2 )
v
2 ( 12 13 , 5 13 )
v
3 7 ( 25 , 24 25 )
v
4 ( 2 3 , 1 2 ) ?
ןותנ ןוויכ לש תיווזה המ םיעדוי ךיא arctan 45 arctan 3 53 .
13 arctan 12 21 .
03 arctan 7 73 .
73 arctan 1 3 60 Y X 12 12
היצזיראינילו תויליבאיצנרפיד
תא בשח .) ק " מס 26000 ( רטיל 260 חפנב היבוק הנותנ .
היצזיראיניל תועצמאב ןובשחמ אלל בוריקב העלצ ךרוא 3 26000
h
3 26000
h
h 26000 שרוש בשחל םיעדוי ונניא ...
26000 לש ישילש h והשמ תועצמאב ברקל ךרטצנ .
בשחל םיעדוי ונחנאש 13 13
26000 h
היצזיראינילו תויליבאיצנרפיד
h
f
(
x
) 3 27000
x
3 1000 10 : רחבנ 3 26000
h
3 27 3 14 3 27000
מ
"
ס
30 ?
בשחל םילוכי ונחנא המ לש ישילש שרוש .
המיאתמ היצקנופ תועצמאב ברקל הסננ 14
26000 h
היצזיראינילו תויליבאיצנרפיד
h
f
(
x
) 3 27000
x
: רחבנ 3 26000
h x
0
f x
(
x
) 0 ,
d dx
x
1000 27000
x
1 / 3
Df
0 (
x
) 3 27000
x
3 3 27000 1 27000 2 3
x
2 / 3 30 1000 1 3 900 29 .
63 15 .
העודי הדוקנ ביבס ברקל הסננ .
םלש לאיצנרפיד םושרנ 15
היצזיראינילו תויליבאיצנרפיד
h
3 26000 29 .
63 : היפל הכרעה ונלביק 16 : תאז תמועל תואיצמב
h
29 .
62 h 26000 h
...
ער אל
16
היצזיראינילו תויליבאיצנרפיד
רושע רובעכ וכרע היה המ .
.
הנש לכב 2% התייה ןורחאה רושעב תיתנשה היצלפניאה יתטימ תחת יתאבחה ש ₪ 10100 ב שומיש יתישע אל ובש .
ןובשחמ אלל לאיצנרפיד תועצמאב ךרעה ?
דדמל דמצוה ול יפסכ לש .
הפוקתה ףוסב יפסכ תא ב ןמסנ
x
1 0 .
98 10
x
10100 : זא
x
1 10100 0 .
98 10 : רמולכ 17 17
היצזיראינילו תויליבאיצנרפיד
(
f x
0
f x
( ( ,
x
,
x
,
y
0
y
) )
y
)
x
( 10000 , 1 ) 1 / /
y
10
y
10 : רחבנ
x f y
(
x
,
x
1 10100 100 ,
y
0 / 0 .
02 .
98 10
y
) 10
x
/
y
11
Df
10 5
f
, 1 ( (
x
,
x
,
y
)
y
)
f
10000 ( 10000 , 1 ) 100
x
1 1 0 .
02 1000
y
100000 12120 18 .
אחסונב םירפסמה לכ תא לגענ .
.
תויקלח תורזגנ בשחנ םלש לאיצנרפיד םושרנ
.
12,361.2
: תואיצמב 18
היצזיראינילו תויליבאיצנרפיד
הרכמ לש הקופת ןדמוא תודידמ יפ לע חוור תכרעהל אחסונ ןלהל .
הרכמה לש תיתלחתה המקהה תולע אלל , תשוחנ .
תונוטב תומכה (
p
0 .
2 ) q , הרפעב תשוחנה זוחא אוה 7
q
p איה תומכה ןדמואב תועטה םא חוורל םרגיהל לולעש יונישה תא ךרעה .
0.1
איה ןוזוחאה ןדמואב תועטהו , ןוט 50 (
p
1 ,
q
1 ) (
p
3 ,
q
3 ) ( 0 .
3 , 1000 ), (
p
2 ,
q
2 ) ( 2 , 40 ) ( 0 .
5 , 500 ), : רובע תאז השע 19 19
20
היצזיראינילו תויליבאיצנרפיד
f
(
p
,
q
) (
p
0 .
2 ) 7
q f p
(
p
,
q
) 7
q f q
(
p
,
q
) 7 (
p
0 .
2 )
Df p
0 ,
q
0 (
p
,
q
) (
p
0 0 .
2 ) 7
q
0
p
7
q
0
q
7 (
p
0 .
2 )
Df p
0 ,
q
0 ( 0 .
1 , 50 )
f p
0 ,
q
0 ( 0 .
1 , 50 ) (
p
0 0 .
2 ) ( 0 .
1 ) 7
q
0 7
q
0 50 7 ( ( 0 .
1 ) 7
q
0
p
0 .
2 ) 50 7 (
p
7 ( 0 .
1
q
0 .
50
p
2 ) 10 ) .
העובק הדוקנ אלל םעפה ךא , םלש לאיצנרפיד בשחנ .
תילמיסכמ האיגש ךירעהל יד כ – האיגשה חווט תא ביצנ .
שרפהה תא לבקל ידכ האיגשה אלל חוורה תא רסחנו 20
21
היצזיראינילו תויליבאיצנרפיד
(
p
0 .
2 ) 7
q
.
.
תונוטב תומכה 0.1
q , תשוחנה זוחא אוה איה ןוזוחאה ןדמואב תועטהו , ןוט p איה תומכה ןדמואב תועטה םא חוורל םרגיהל לולעש יונישה תא ךרעה 50
f
( 0 .
3 , 1000 )
f
( 0 .
5 , 500 ) 7 ( 0 .
3 7 ( 0 .
5 50 50
f
( 0 .
1
p
: ,
q
) העיפשה ןוזוחאב האיגשה 1000 7 ( 10 50 ךירעהל וניצרש םיכרעה תא תעכ ביצנ )
p
7 ( 0 15 .
1
q
0 100 .
2 ) 10 : ) ונלביק 735 0 .
1 500 10 ) 7 ( 25 50 10 ) 455
f
( 2 , 40 ) 7 ( 2 50 0 .
1 40 10 ) 7 ( 100 4 10 ) 658 החונ אחסונ ונלביק הרומתב ךא .
ריחמב האיגשל הכרעה קר וזש ןבומכ .
שומישל דואמ 21
טנאידרגה ישומיש
ביבס רתויב הברה הדימב הלוע האבה היצקנופה ובש ןוויכה תא בשח 2 3 .) 1,1 ( הדוקנה
f
(
x
,
y
)
x y
xy
( 1 2 , 1 3 )
f x
(
x
,
y
) 2
xy
y
3
f
( 1 , 1 ) ( 1 2 ) 2 ( 1 3 ) 2
f y
(
x
,
y
)
x
2 3
xy
2
f
( 1 , 1 ) 3 5 , 4 5 22 : הז ןוויכב יונישה תא גציימ .
טנאידרג בשחנ טנאידרגה לדוג
f
(
t f
t
) 3 2 4 2 5 22
טנאידרגה ישומיש
f
(
x
,
y
)
x
2
y
xy
2
f f
( (
x
,
y
)
x
,
y
)
e xy yx
2
x
2 3
xy
2
y
2 : תוינגומוה תואבה תויצקנופה יכ חכוה 23 23
24
טנאידרגה ישומיש
f
: םיכרד יתשב תוינגומוה תואבה תויצקנופה יכ חכוה
f
(
x
,
y
) 2
x
2
y
xy
2
f
(
ax
,
ay
) 2
a
3
x
2
y
a
3
xy
2 (
f x
,
y
) (
x
,
y
)
e x
2 /
xy
y
2
x
3
y x
2
y
2
a
3 (
x
2
y
xy
2 )
f
(
x
,
y
) ( 4
xy
y
2 , 2
x
2 2
xy
) (
f
(
x
,
y
), (
x
,
y
)) 4
x
2
y
xy
2 2
x
2
y
2
xy
2 3 ( 2
x
2
y
xy
2 ) 3
f
(
x
,
y
) : רישי ןפו אב – הנושאר ךרד .
רליוא 3 איה תוינגומוהה תגרד טפשמ תועצמאב – הינש ךרד 24
25
טנאידרגה ישומיש
: םיכרד יתשב תוינגומוה תואבה תויצקנופה יכ חכוה
f
(
x
,
y
) 2
x
2
y
xy
2
f
(
ax
,
ay
)
e a
2
x
2
a
2
xy
a
2
y
2
e x
2
xy
y
2
f
(
f x
,
y
) (
x
,
y
)
e x
2 /
xy
y
2
x
3
y x
2
y
2 : רישי ןפו אב – הנושאר ךרד 0 איה תוינגומוהה תגרד 25
26
f
(
x
,
y
)
e x
2 /
xy
y
2
f f
2
f f
(
f x
( ( ( 0 2 (
x
,
x
( (
x
,
x
, ,
x
,
xy y y
)
y y y
) ) ), ) ( (
x
, 2 2
x y x e
( 2 ))
x xy xy y
2 / 2
xy y
y xy
2
y
( 2 ) 2 2
xy x
y
2 )
xy yx
x
3 2
y y
2 2 2
x
3 3
y xy
2 2
x y
2
y y
2 2
e
2
y
)
xy
2 2
x f
2
e y x
( 3
xy
,
x
2
ax y
2
e x
, (
xy xy
x
2
x ay
2 2
x
)
y
2 2 ( 2
y
2 )
xy
(
e e a xy
2
xy
a
2 2
y y
2 2
xy
xy
y x
2
a
2 2
xy y y
)
x
2 2 2
y
2 2 )
x
2 2
e
xy x e
y
2 (
xy
2
xy
x
2
y y
2 2 )
x
2
e xy
y
2 : רישי ןפו אב – הנושאר ךרד .
רליוא 0 איה תוינגומוהה תגרד טפשמ תועצמאב – הינש ךרד 26
27
טנאידרגה ישומיש
f f
(
x
,
y
) 2
x
2
y
: םיכרד יתשב תוינגומוה תואבה תויצקנופה יכ חכוה
xy
2
f
(
ax
,
ay
)
a
2
ax x
2 3
a ay
2
y
2 1
a x x
2 3
y y
2 (
f x
,
y
) (
x
,
y
)
e x
2 /
xy
y
2
x
3
y x
2
y
2 : רישי ןפו אב – הנושאר ךרד 0 איה תוינגומוהה תגרד 27
f
(
טנאידרגה
x x
3
y y
2
f f
(
x
, (
y x
, )
y
)
x
( 2 2
x y
2
x
2 2
y
2
y x
( 2 : 2 םיכרד יתשב תוינגומוה תואבה תויצקנופה יכ חכוה 2
x
2
y
2 2 ) (
f f
( (
x
,
x
,
y
)
y
( )
x
,
y
))
e x
(
x
2
f
(
x
,
y
2 )
y
) 2 (
x
2
x
( /
x xy
2
y
2
y
2 ) 2
x
2 (
x
3
x x
)( 2 2
x
y
2 2 3
y
2
xy
2 2 2 ) 3
y
(
x
2 3
x y
2 ) 3
y
2
y
( 2
x
2
y
2 )
x
y
2 ) 2
y
2 (
x
3
y
) 2 (
x x
2 3
y
2
y
) 2 3
y
x
2
x
y
3 2
y
2 28 : רישי ןפו אב – הנושאר ךרד .
רליוא 0 איה תוינגומוהה תגרד טפשמ תועצמאב – הינש ךרד 28
םיליגר טעמכ רבכ תויצקנופ לע לכתסהל .
תוידממ בר
.
לודג לדבה ללוחל לוכיש ןטק יוניש איה השיג .
לי ' צר ' צ ןוטסניו - 29 29