Transcript חשב את הנגזרות הבאות לפי כלל השרשרת ובאופן ישיר

‫‪1‬‬
‫מתמטיקה ב' לכלכלנים‬
‫שיעור ‪ – 4‬נגזרות‪ ,‬דיפרנציאבליות וקירובים‬
‫פרקטיקה‬
2
‫כלל השרשרת‬
:‫חשב את הנגזרות הבאות לפי כלל השרשרת ובאופן ישיר‬
f ( x , y )  x ln y
2
df ( t , et )
dt
f ( t , et )  t ln( et )
2
2
df ( t , et )
2
2

dt ln( et )
d
 2 t ln( et )  t
dt
 2 t ln( et )  t 
2
e
et
:‫באופן ישיר‬
3
‫כלל השרשרת‬
:‫חשב את הנגזרות הבאות לפי כלל השרשרת ובאופן ישיר‬
f ( x , y )  x ln y
f x ( x , y )  ln y , f y ( x , y ) 
2
df ( t , et )
2
df ( t , et )
dt
dt
 f x ( t , et )
2
df ( t , et )
dt
 ln( et )  2 t 
2
t
dt
dt
2
 f y ( t , et )
2
x
y
d ( et )
dt
2
 e  2 t ln( et )  t
et
:‫באמצעות כלל השרשרת‬
4
‫כלל השרשרת‬
:‫חשב את הנגזרות הבאות לפי כלל השרשרת ובאופן ישיר‬
f ( x , y )  ye
x
df ( 2 u  v , 2 v  u )
du
f ( 2u  v ,2 v  u )  ( 2 v  u )e
d (2v  u )e
du
df ( 2 u  v , 2 v  u )
 4 ve
2u v
dv
 4 ve
2u v
2u v

d ( 2 ve
2u v
du
2u v
d ( ue
)


du
e
2u v
 2 ue
)

d ( ue
2u v
2u v
)
du
2u v
:‫באופן ישיר‬
5
‫כלל השרשרת‬
:‫חשב את הנגזרות הבאות לפי כלל השרשרת ובאופן ישיר‬
f ( x , y )  ye
x
df ( 2 u  v , 2 v  u )
f ( 2u  v ,2 v  u )  ( 2 v  u )e
d (2v  u )e
du
df ( 2 u  v , 2 v  u )
dv

2u v

dv
2u v
d 2 ve
d ( 2 ve
2u v
)
dv
 ue
2u v

d ( ue
2u v
2u v
)
dv

dv
 2e
2u v
 2 ve
2u v
 ue
2u v
:‫באופן ישיר‬
6
‫כלל השרשרת‬
:‫חשב את הנגזרות הבאות לפי כלל השרשרת ובאופן ישיר‬
f x ( x , y )  ye , f y ( x , y )  e
x
x
f x  ye , f y  e
x
f ( x , y )  ye
x
df ( 2 u  v , 2 v  u )
du
df ( 2 u  v , 2 v  u )
dv
f u ( 2u  v ,2 v  u )  f x ( 2u  v ,2 v  u ) d
f y ( 2u  v ,2 v  u ) d
2u v
 2 ue
2u v
2u  v

du
2v  u
du
f u ( 2u  v ,2 v  u )  ( 2 v  u )e
 4 ve
x
e
2u v
2  e
2u v
1
2u v
.‫באמצעות כלל השרשרת‬
‫‪7‬‬
‫פונקציות סתומות‬
‫נתונה הפונקציה הבאה בצורה סתומה‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x ln y  y ln x  5 e‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫מצא את הנגזרת של ‪ y‬כתלות ב‪ x‬בנקודה‪:‬‬
‫) ‪( x, y )  (e , e‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫נתחיל בוידוא הימצאות הנקודה על הפונקציה‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪( e ) ln e  ( e ) ln e  2 e ln e  3 e ln e  5 e‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
8
‫פונקציות סתומות‬
f x( xln
, y )y  xy ln
ln yx  y5 e ln x :‫נהפוך את המשוואה לפונקציה‬
32
3
2 6
( x, y )  (e , e )
2
3
y
f ( x , y ) x  3 x ln y 
2
f ( e , e ) x  3 e ln e 
2
3
f ( x, y ) y 
f (e , e ) y 
2
3
4
x
3
3
2
:‫נגזור‬
:‫נציב‬
x
e
6
e
2
 10 e
 2 y ln x
y
e
6
e
3
 2 e ln e
3
2
 5e
3
4
‫‪9‬‬
‫פונקציות סתומות‬
‫קיבלנו‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫ניזכר בנוסחא לפונקציה סתומה‪:‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dx‬‬
‫נציב ונקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( e , e ) x  10 e‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (e , e ) y  5e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ fx‬‬
‫‪fy‬‬
‫‪4‬‬
‫‪  10 e‬‬
‫ערך הנגזרת של הפונקציה הסתומה‪.‬‬
‫‪ 10 e‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5e‬‬
‫‪‬‬
‫‪ fx‬‬
‫‪fy‬‬
‫‪10‬‬
‫פונקציות סתומות ‪ -‬חישוב ישר משיק‬
‫איך מחשבים ישר משיק לפונקציה סתומה?‬
‫‪13‬‬
‫‪(13 ,12 )  ‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13  c  26‬‬
‫) ‪( x 0 , y 0 )  (13 ,12‬‬
‫‪x  y  25‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ( x, y )  x  y‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪y‬‬
‫‪13‬‬
‫‪‬‬
‫‪13  c 12 ‬‬
‫‪12‬‬
‫נגדיר פונקציה בשני משתנים‪.‬‬
‫נחשב שיפוע‪.‬‬
‫נגדיר ישר ונדרוש שיעבור בנקודה‪.‬‬
‫‪ fx‬‬
‫‪fy‬‬
‫‪ 13‬‬
‫‪12‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪f x ( x, y )  2 x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪f y ( x, y )  2 y‬‬
‫‪12 ‬‬
‫‪xc‬‬
‫‪ 13‬‬
‫‪12‬‬
‫‪l( x) ‬‬
‫‪11‬‬
‫פונקציות סתומות ‪ -‬חישוב ישר משיק‬
‫איך מחשבים ישר משיק לפונקציה סתומה?‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫תשובה סופית‪.‬‬
‫‪x  26‬‬
‫‪ 13‬‬
‫‪12‬‬
‫‪l( x) ‬‬
‫‪12‬‬
‫כמה מפתיעות תוצאותיו של משפט פשוט אחד‪...‬‬
‫עם חוליותיה של שרשרת הגורל מוטב להתמודד אחת‪-‬אחת‪.‬‬
‫‪ --‬וינסטון צ'רצ'יל‪.‬‬