Transcript משוואה ליניארית ב

‫אלגברה ליניארית‬
‫מרצה ‪ -‬ד"ר מקסים ברשדסקי‬
‫שיעור מס' ‪1‬‬
‫שלום‪ ,‬ברוכים הבאים ‪...‬‬
‫ותודה שבחרתם ללמוד אלגברה ליניארית !!!‬
‫מה זה אלגברה ליניארית ?‬
‫קשה‬
‫אחד יכול‬
‫כלהאם‬
‫!!!‬
‫להוציא ציון טוב באלגברה ליניארית ?‬
‫מהידע הקודם ‪...‬‬
‫מספיק לשלוט ב‪ 4-‬פעולות חשבון ‪ -‬חיבור‪ ,‬חיסור‪ ,‬כפל וחילוק ‪...‬‬
log x
‫ שורשים‬,‫חזקות‬
sin x, cos x, tan x, cot x
arcsin x, arctan x, arccos x
!!! ‫לא יהיו בקורס‬
‫‪ ...‬אבל יהיו צרות אחרות ‪...‬‬
‫בקורס כמעט ואין נוסחאות ‪...‬‬
‫לכן אין דף נוסחאות ‪...‬‬
‫בקורס אין הרבה שיטות וטכניקות לפתרון – נלמד רק טכניקה אחת ‪...‬‬
‫אבל תצטרכו ללמוד המון מושגים ‪...‬‬
‫ובסופו של הקורס להבחן על הבנתם ‪...‬‬
‫אף כי הקורס במתמטיקה ‪...‬‬
‫הוא דומה יותר ללימוד שפה ‪...‬‬
‫איך ללמוד נכון ולהצליח בבחינה ?‬
‫כל מה שצריך לדעת לבחינה נמצא ב"היילרן" ‪ ...‬נכנסים ל"מאגר הידע" ‪...‬‬
‫• קבוצות דיון – שאלות ותשובות ‪...‬‬
‫• מצגות‬
‫• סיכומי השיעורים‬
‫• בחינות‬
‫מקיפים את כל החומר לבחינה כולל הסברים מפורטים ותרגילים ‪...‬‬
‫יופיעו מיד אחרי השיעור לכן אין צורך להעתיק את הכל מהלוח ‪...‬‬
‫רוב השיעור יהיה עם מצגת ‪...‬‬
‫חובה להיות מרוכזים אך ורק במצגת ‪ ...‬מי שבא כדי‬
‫בכייף – אבל לא כאן !!!‬
‫יש לכם אולי שאלות כלליות לפני שנתחיל ?‬
‫אם אין שאלות ‪ -‬נתחיל את הנושא הראשון !!!‬
‫משוואה ליניארית במשתנה אחד‬
‫מקדם‬
‫‪a x  b‬‬
‫מקדם‬
‫נעלם או משתנה‬
‫‪b‬‬
‫‪ x ‬הפתרון היחיד‬
‫‪ .1‬אם ‪ a  0‬אז‬
‫‪a‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪x  4  5  x  20‬‬
‫‪x  1.5  2  x  3‬‬
‫‪x  0  25  x  0‬‬
‫‪ .2‬למשוואה ‪ 0  x  b‬אין פתרון כאשר ‪b  0‬‬
‫‪ .3‬למשוואה ‪ 0  x  0‬יש אינסוף פתרונות ‪x  R‬‬
‫‪R‬‬
‫(משתנה חופשי ‪ -‬יכול לקבל כל ערך)‬
‫ קבוצה של כל המספרים הממשיים‬‫‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-‬‬
‫משוואה ליניארית במספר משתנים‬
‫‪a1x1  a2 x2  ...  an xn  b‬‬
‫נתוניםלמצוא‬
‫אותם צריך‬
‫מקדמים ‪-‬‬
‫משתנים ‪-‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪5x1  3x2  55‬‬
‫‪ -‬משוואה ליניארית ב‪ 2-‬משתנים‬
‫‪x1  x2  x3  1‬‬
‫‪ -‬משוואה ליניארית ב‪ 3-‬משתנים‬
‫‪7.1x1  0.5x2  4.7 x3  0.03x4  x5  2.5‬‬
‫‪ -‬משוואה ליניארית ב‪ 5-‬משתנים‬
‫דוגמא‬
‫‪x1  x2  4‬‬
‫‪ -‬למשוואה יש אינסוף פתרונות‬
‫פתרונות פרטיים‬
‫‪ x1  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x 2  4‬‬
‫‪ x1  100‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x2  96‬‬
‫‪ x1  5.37‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x2  1.37‬‬
‫פתרון פרטי ‪ -‬זוג סדור של ערכים‬
‫)‪5.37 , 1.37 100 , 96 (0,  4‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  4‬‬
‫‪100‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 96 ‬‬
‫‪ 5.37‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1.37 ‬‬
‫את כל הפתרונות הפרטיים למשוואה‬
‫‪x1  x2  4‬‬
‫מציגים בצורה של‬
‫הפתרון הכללי‬
‫‪ x1  x2  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x2  R‬‬
‫משתנה חופשי‬
‫‪ x2  x1  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x1  R‬‬
‫• כל ערך של ‪ x2‬ייתן פתרון פרטי ‪...‬‬
‫• יש אינסוף פתרונות פרטיים שונים ‪...‬‬
‫• ‪ x1‬אינו חופשי‪ ,‬אלא תלוי ב‪... x2 -‬‬
‫המחשה גיאומטרית ‪ -‬ישר במישור‬
‫‪x1  x2  4‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪x2‬‬
‫נתונים‪ )n‬משתנים (‪(mxn‬‬
‫ליניאריות ב‪-‬‬
‫משוואות‬
‫המערכת (‬
‫מערכת של ‪m‬מקדמי‬
‫‪ aa1111 x1 aa1212 x2 ......  a11nn xn bb11‬‬
‫‪aa x aa x ......  a x bb‬‬
‫‪ 2121 1 2222 2‬‬
‫‪22nn n‬‬
‫‪22‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪aamm1 1 x1 aamm22 x2 ......  amn‬‬
‫‪b‬‬
‫‪mn xn  bmm‬‬
‫מקדמים של ‪...‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪...‬‬
‫‪x2‬‬
‫משתני המערכת‬
‫‪x1‬‬
‫(אותם רוצים למצוא)‬
‫ככל שמערכת גדולה יותר כך קשה יותר לפתור אותה ‪...‬‬
‫מספר משוואות חייב להיות שווה למספר משתנים אחרת אי אפשר לפתור ‪...‬‬
‫שיטת הדירוג של גאוס‬
‫(טכניקת הפתרון היחידה שנצטרך בקורס)‬
‫מספר משוואות ומשתנים לא משנה ולא חייב להיות זהה ‪...‬‬
‫"ראש קטן" ‪ :‬אין ניחושים ואין טריקים ‪...‬‬
‫מספיק לדעת ‪ 4‬פעולות חשבון ‪ -‬חיבור‪ ,‬חיסור‪ ,‬כפל וחילוק ‪...‬‬
‫לא די בכך ‪ -‬כל מערכת ניתן לפתור אפילו ‪...‬‬
‫בלי לגעת בה !!!‬
‫מכפילים את המשוואה ‪ 1‬ב‪-3 -‬‬
‫‪ 3x1  3x2  12‬‬
‫מחברים למשוואה ‪2‬‬
‫‪ 3x1  3x2  12‬‬
‫‪‬‬
‫‪3x1  2 x2  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  6‬‬
‫את התוצאה רושמים במקום משוואה ‪2‬‬
‫את המשוואה ‪ 1‬מעתיקים מהמערכת הקודמת !!!‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫‪ x1  x2  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 x1  2 x2  6‬‬
‫‪ x1  x2  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  6‬‬
‫‪‬‬
‫מחברים משוואה ‪ 2‬למשוואה ‪1‬‬
‫‪x1  x2  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 2  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫את התוצאה רושמים במקום משוואה ‪2‬‬
‫את המשוואה ‪ 1‬מעתיקים מהמערכת הקודמת !!!‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫‪ x1  x2  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 x1  2 x2  6‬‬
‫‪ x1  x2  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ x1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  6‬‬
‫‪‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫הרעיון של תהליך הדירוג של גאוס ‪-‬‬
‫להפוך מערכת של משוואות לפתרונה‬
‫‪ x1  x2  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 x1  2 x2  6‬‬
‫‪ x1  x2  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ x1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  6‬‬
‫‪‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫באופן זה ניתן לפתור כל מערכת של משוואות ליניאריות !!!‬
‫‪ ...‬של מאות ואלפים משוואות ומשתנים !!!‬
‫לייעול נוסף של הפתרון נציגו בצורת ‪...‬‬
‫מטריצה‬
‫‪ x1  x2  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 x1  2 x2  6‬‬
‫‪ x1  x2  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ x1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  6‬‬
‫‪‬‬
‫(ככה תצטרכו לפתור בבחינה !!! )‬
‫מכפילים את מקדמי השורה ‪ 1‬ב‪-3 -‬‬
‫ומחברים בהתאמה למקדמי השורה ‪2‬‬
‫‪ 3 1 1 4   3 3 12‬‬
‫‪1 1 4 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3  2 6   3R1  R2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3  2 6‬‬
‫‪1  6‬‬
‫‪ 0‬‬
‫את מה שקיבלנו רושמים בשורה ‪2‬‬
‫ואת השורה ‪ 1‬מעתיקים מהמטריצה הקודמת‬
‫‪ 1 1 4 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 1  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫‪ x1  x2  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 x1  2 x2  6‬‬
‫‪ x1  x2  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ x1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  6‬‬
‫‪‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫‪1 1 4 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3  2 6   3R1  R2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מחברים בהתאמה בין מקדמי השורות ‪ 2‬ו‪1-‬‬
‫‪1  1 4‬‬
‫‪ 0 1  6‬‬
‫‪ 1 0  2‬‬
‫‪ x1  x2  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 x1  2 x2  6‬‬
‫‪ 1  1 4  R 2  R1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 1  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x1  x2  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 0  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 1  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ x1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2  6‬‬
‫‪‬‬
‫את מה שקיבלנו רושמים בשורה ‪1‬‬
‫ואת השורה ‪ 1‬מעתיקים מהמטריצה הקודמת‬
1 ‫תרגיל‬
 x1  x2  4

3 x1  2 x2  6
1 1 4 


 3  2 6   3R1  R2


 x1  x2  4

x2  6

 1  1 4  R 2  R1


0 1  6


 2
 x1

x2  6

1 0  2


0 1  6


 x1  x2  4

3 x1  2 x2  6
)‫(כפי שנציגו בקורס‬1
‫תרגיל‬
‫מציאות‬

 x1  2

 x 2  6
1 1 4 
 1  1 4  R 2  R1 1 0  2 






 3  2 6   3R1  R2  0 1  6 
0 1  6






‫כניסה‬

The Matrix
‫יציאה‬
‫מערכת של ‪ m‬משוואות ליניאריות ב‪ n-‬משתנים (‪(mxn‬‬
‫במקום מערכת מתעסקים עם ‪ ...‬המטריצה שלה‬
‫‪...  a1n xn b1b1‬‬
‫‪ a11 xa111 a12a12x2 ...‬‬
‫‪ a xa  a ax  ...  a x b b‬‬
‫‪ 21 121 22 222‬‬
‫‪2n n‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪am1 xa1m‬‬
‫‪a‬‬
‫‪...‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪mn n‬‬
‫‪mm‬‬
‫‪‬‬
‫‪m 2m 2‬‬
‫‪mn‬‬
‫פתרון פרטי‪ - n :‬יה (אנייה) סדורה ) ‪( x1 , x2 , ..., xn‬‬
‫שפותרת את כל המשוואות יחד‬
‫הפתרון הכללי‪ :‬אוסף של כל הפתרונות הפרטיים‬
‫הגדירו את מטריצת המערכת‬
‫תרגיל‬
 2 x1  15x2  5 x3  4 x4  8

 6 x1  2 x2  3 x3  4 x4  13
9 x  17x  25x  34x  37
2
3
4
 1
‫( המטריצה‬rows)‫סימון שורות‬
R1
R2
R3
 2 15  5 4  8 


 6 2  3  4  13
 9 17 25 34 37 


‫‪ 3‬סוגים של פעולות שורה אלמנטאריות (פש"א)‬
‫סוג ‪1‬‬
‫‪k  Ri‬‬
‫)‪(k  0‬‬
‫דוגמאות‬
‫מכפילים את מקדמי השורה הראשונה ב‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2  R1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪84 63 ‬‬
‫‪ 12 12 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 5 4 3 2 0 ‬‬
‫‪ 2 3 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3‬סוגים של פעולות שורה אלמנטאריות (פש"א)‬
‫סוג ‪1‬‬
‫‪k  Ri‬‬
‫)‪(k  0‬‬
‫דוגמאות‬
‫מחלקים את מקדמי השורה השלישית ב‪--‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(k  1/ 3‬‬
‫‪ 1 11 2 2 4 4 33 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪33 ‬‬
‫‪2 200 ‬‬
‫‪ 5 44  ‬‬
‫‪26 3 9  13 0 0  93 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ R3 /  3‬‬
‫‪ 3‬סוגים של פעולות שורה אלמנטאריות (פש"א)‬
‫סוג ‪2‬‬
‫‪(i  j) Ri  Rj‬‬
‫דוגמא‬
‫מחליפים בין שורה הראשונה לשורה שלישית‬
‫‪04 31‬‬
‫‪ 12 13 12‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 5 4  3  2 0  R1  R3‬‬
‫‪ 12 13 12‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3‬סוגים של פעולות שורה אלמנטאריות (פש"א)‬
‫סוג ‪3‬‬
‫‪k  Ri  Rj‬‬
‫)‪(i  j‬‬
‫ואת השורה ‪ 1‬מעתיקים בצורתה המקורית ‪33 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪00 ‬‬
‫‪5 1  2  R1  R3‬‬
‫מכפילים את מקדמי שורה ‪ 1‬ב‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2  1 1 2 4 3  2 2 4 8 6‬‬
‫מחברים את התוצאות בהתאמה לשורה ‪3‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪4‬‬
‫‪ 11 1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 55 4  3  2‬‬
‫‪  02 53 51‬‬
‫‪80‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪2 4 8‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 3 1 0‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪0 5 5 8‬‬
‫את התוצאות הסופיות רושמים בשורה ‪3‬‬
‫שורה ‪ 1‬מבצעת "איפוס ממוקד" בשורה ‪3‬‬
‫‪33‬‬
‫‪‬‬
‫‪00‬‬
‫‪5 1 2  R1  R3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 11 1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 55 4  3  2‬‬
‫‪  02 53 15‬‬
‫‪80‬‬
‫‪‬‬
‫ו"מזדכה" על "ציוד" ‪...‬‬
‫לשם האיפוס הבא יש "לחתום" על "ציוד" חדש – מקדם "‪... "-5‬‬
‫‪ 3‬סוגים של פעולות שורה אלמנטאריות (פש"א)‬
‫סוג ‪3‬‬
‫‪k  Ri  Rj‬‬
‫)‪(i  j‬‬
‫דוגמאות‬
‫ואת השורה ‪ 1‬מעתיקים בצורתה המקורית ‪4 33 ‬‬
‫‪ 1 1 11 22‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 010  5  R1  R2‬‬
‫‪ 0 5  14 133 22‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 2 33 11‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מכפילים את מקדמי שורה ‪ 1‬ב‪--‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4 3   5  5  10  20  15‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 5  1 1 2‬‬
‫מחברים את התוצאות בהתאמה לשורה ‪2‬‬
‫‪ 5  5  10  20  15‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4 3 2 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0  1  13  22  10‬‬
‫את התוצאות הסופיות רושמים בשורה ‪2‬‬
 x1  x2  4

3 x1  2 x2  6
 x1  2

 x 2  6
1 ‫תרגיל‬
‫מציאות‬

1 1 4 
 1  1 4  R 2  R1 1 0  2 






 3  2 6   3R1  R2  0 1  6 
0 1  6






‫כניסה‬

The Matrix
‫יציאה‬
‫המחשה גיאומטרית ‪ -‬נקודת החיתוך של ‪ 2‬ישרים במישור‬
‫‪x1  x2  4‬‬
‫‪3x1  2 x2  6‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x1‬‬
‫)‪(2,6‬‬
2 ‫תרגיל‬
‫אינסוף פתרונות‬
 x1  x2  4

3 x1  3 x2  12
 x1  x2  4

 x2  R
1 1 4    1 1 4




 3  3 12   3 R1  R 2  0 0 0 
0 x1  0 x2  0
‫שורת האפסים‬
‫המחשה גיאומטרית ‪ 2 -‬ישרים מתלכדים במישור‬
‫‪x1  x2  4‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪3x1  3x2  12‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫סתירה ( ‪ - )0 = -6‬אין פתרון‬
‫‪ x1  x2  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 x1  3 x2  6‬‬
‫‪1 1 4   1 1 4 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3  3 6   3 R1  R 2  0 0  6 ‬‬
‫במידה ואין פתרון למערכת ‪ -‬במטריצה חוטפים "סתירה"‬
‫המחשה גיאומטרית ‪ 2 -‬ישרים מקבילים במישור‬
‫‪3x1  3x2  6‬‬
‫‪x1  x2  4‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪x2‬‬
 a 11 x1  a 12 x 2  b1

a 21 x1  a 22 x 2  b2
 * * *


 * * *
3
 * * *


 0 0 *
1
 * * *  * 0 *   1 0  



  
 0 1  
0
*
*
0
*
*
 


 
* * *


0 0 0
‫ פתרון יחיד – ישרים נחתכים‬.1
‫ אינסוף פתרונות – ישרים מתלכדים‬.2
‫ אין פתרון – ישרים מקבילים‬.3
 x1  

 x2  
 5 x1  3 x2  3

3 x1  10 x2  7
5  3

 3  10

4 ‫תרגיל‬

3   2 R 2  R1  1 17  11





 3R1  R 2
7
3

10
7



  1 17  11 41 R1  41 697  451  17R2  R1




 0 41  26
 0

41

26







  41 0  9  R1 /  41 1 0



 0

41  26 R 2 / 41  0 1






41 
26


41 
9
9

 x1  41

26
 x2  
41

... ‫השברים נוצרו רק בסוף הדירוג‬
‫המלצה – ליצור כמה שפחות שברים במהלך הדירוג ‪...‬‬
‫גם כאשר המספרים אינם נוחים – לא "לשבור" את המטריצה בכוח ‪...‬‬
‫כל הזכויות שמורות לד"ר מקסים ברשדסקי‬