משוואה ליניארית ב
Download
Report
Transcript משוואה ליניארית ב
אלגברה ליניארית
מרצה -ד"ר מקסים ברשדסקי
שיעור מס' 1
שלום ,ברוכים הבאים ...
ותודה שבחרתם ללמוד אלגברה ליניארית !!!
מה זה אלגברה ליניארית ?
קשה
אחד יכול
כלהאם
!!!
להוציא ציון טוב באלגברה ליניארית ?
מהידע הקודם ...
מספיק לשלוט ב 4-פעולות חשבון -חיבור ,חיסור ,כפל וחילוק ...
log x
שורשים,חזקות
sin x, cos x, tan x, cot x
arcsin x, arctan x, arccos x
!!! לא יהיו בקורס
...אבל יהיו צרות אחרות ...
בקורס כמעט ואין נוסחאות ...
לכן אין דף נוסחאות ...
בקורס אין הרבה שיטות וטכניקות לפתרון – נלמד רק טכניקה אחת ...
אבל תצטרכו ללמוד המון מושגים ...
ובסופו של הקורס להבחן על הבנתם ...
אף כי הקורס במתמטיקה ...
הוא דומה יותר ללימוד שפה ...
איך ללמוד נכון ולהצליח בבחינה ?
כל מה שצריך לדעת לבחינה נמצא ב"היילרן" ...נכנסים ל"מאגר הידע" ...
• קבוצות דיון – שאלות ותשובות ...
• מצגות
• סיכומי השיעורים
• בחינות
מקיפים את כל החומר לבחינה כולל הסברים מפורטים ותרגילים ...
יופיעו מיד אחרי השיעור לכן אין צורך להעתיק את הכל מהלוח ...
רוב השיעור יהיה עם מצגת ...
חובה להיות מרוכזים אך ורק במצגת ...מי שבא כדי
בכייף – אבל לא כאן !!!
יש לכם אולי שאלות כלליות לפני שנתחיל ?
אם אין שאלות -נתחיל את הנושא הראשון !!!
משוואה ליניארית במשתנה אחד
מקדם
a x b
מקדם
נעלם או משתנה
b
x הפתרון היחיד
.1אם a 0אז
a
דוגמאות
x 4 5 x 20
x 1.5 2 x 3
x 0 25 x 0
.2למשוואה 0 x bאין פתרון כאשר b 0
.3למשוואה 0 x 0יש אינסוף פתרונות x R
R
(משתנה חופשי -יכול לקבל כל ערך)
קבוצה של כל המספרים הממשיים+
0
-
משוואה ליניארית במספר משתנים
a1x1 a2 x2 ... an xn b
נתוניםלמצוא
אותם צריך
מקדמים -
משתנים -
דוגמאות
5x1 3x2 55
-משוואה ליניארית ב 2-משתנים
x1 x2 x3 1
-משוואה ליניארית ב 3-משתנים
7.1x1 0.5x2 4.7 x3 0.03x4 x5 2.5
-משוואה ליניארית ב 5-משתנים
דוגמא
x1 x2 4
-למשוואה יש אינסוף פתרונות
פתרונות פרטיים
x1 0
x 2 4
x1 100
x2 96
x1 5.37
x2 1.37
פתרון פרטי -זוג סדור של ערכים
)5.37 , 1.37 100 , 96 (0, 4
0
4
100
96
5.37
1.37
את כל הפתרונות הפרטיים למשוואה
x1 x2 4
מציגים בצורה של
הפתרון הכללי
x1 x2 4
x2 R
משתנה חופשי
x2 x1 4
x1 R
• כל ערך של x2ייתן פתרון פרטי ...
• יש אינסוף פתרונות פרטיים שונים ...
• x1אינו חופשי ,אלא תלוי ב... x2 -
המחשה גיאומטרית -ישר במישור
x1 x2 4
x1
x2
נתונים )nמשתנים ((mxn
ליניאריות ב-
משוואות
המערכת (
מערכת של mמקדמי
aa1111 x1 aa1212 x2 ...... a11nn xn bb11
aa x aa x ...... a x bb
2121 1 2222 2
22nn n
22
...
...
aamm1 1 x1 aamm22 x2 ...... amn
b
mn xn bmm
מקדמים של ...
xn
...
x2
משתני המערכת
x1
(אותם רוצים למצוא)
ככל שמערכת גדולה יותר כך קשה יותר לפתור אותה ...
מספר משוואות חייב להיות שווה למספר משתנים אחרת אי אפשר לפתור ...
שיטת הדירוג של גאוס
(טכניקת הפתרון היחידה שנצטרך בקורס)
מספר משוואות ומשתנים לא משנה ולא חייב להיות זהה ...
"ראש קטן" :אין ניחושים ואין טריקים ...
מספיק לדעת 4פעולות חשבון -חיבור ,חיסור ,כפל וחילוק ...
לא די בכך -כל מערכת ניתן לפתור אפילו ...
בלי לגעת בה !!!
מכפילים את המשוואה 1ב-3 -
3x1 3x2 12
מחברים למשוואה 2
3x1 3x2 12
3x1 2 x2 6
x2 6
את התוצאה רושמים במקום משוואה 2
את המשוואה 1מעתיקים מהמערכת הקודמת !!!
תרגיל 1
x1 x2 4
3 x1 2 x2 6
x1 x2 4
x2 6
מחברים משוואה 2למשוואה 1
x1 x2 4
x 2 6
x1
2
את התוצאה רושמים במקום משוואה 2
את המשוואה 1מעתיקים מהמערכת הקודמת !!!
תרגיל 1
x1 x2 4
3 x1 2 x2 6
x1 x2 4
x2 6
2
x1
x2 6
תרגיל 1
הרעיון של תהליך הדירוג של גאוס -
להפוך מערכת של משוואות לפתרונה
x1 x2 4
3 x1 2 x2 6
x1 x2 4
x2 6
2
x1
x2 6
תרגיל 1
באופן זה ניתן לפתור כל מערכת של משוואות ליניאריות !!!
...של מאות ואלפים משוואות ומשתנים !!!
לייעול נוסף של הפתרון נציגו בצורת ...
מטריצה
x1 x2 4
3 x1 2 x2 6
x1 x2 4
x2 6
2
x1
x2 6
(ככה תצטרכו לפתור בבחינה !!! )
מכפילים את מקדמי השורה 1ב-3 -
ומחברים בהתאמה למקדמי השורה 2
3 1 1 4 3 3 12
1 1 4
3 2 6 3R1 R2
3 2 6
1 6
0
את מה שקיבלנו רושמים בשורה 2
ואת השורה 1מעתיקים מהמטריצה הקודמת
1 1 4
0 1 6
תרגיל 1
x1 x2 4
3 x1 2 x2 6
x1 x2 4
x2 6
2
x1
x2 6
תרגיל 1
1 1 4
3 2 6 3R1 R2
מחברים בהתאמה בין מקדמי השורות 2ו1-
1 1 4
0 1 6
1 0 2
x1 x2 4
3 x1 2 x2 6
1 1 4 R 2 R1
0 1 6
x1 x2 4
x2 6
1 0 2
0 1 6
2
x1
x2 6
את מה שקיבלנו רושמים בשורה 1
ואת השורה 1מעתיקים מהמטריצה הקודמת
1 תרגיל
x1 x2 4
3 x1 2 x2 6
1 1 4
3 2 6 3R1 R2
x1 x2 4
x2 6
1 1 4 R 2 R1
0 1 6
2
x1
x2 6
1 0 2
0 1 6
x1 x2 4
3 x1 2 x2 6
)(כפי שנציגו בקורס1
תרגיל
מציאות
x1 2
x 2 6
1 1 4
1 1 4 R 2 R1 1 0 2
3 2 6 3R1 R2 0 1 6
0 1 6
כניסה
The Matrix
יציאה
מערכת של mמשוואות ליניאריות ב n-משתנים ((mxn
במקום מערכת מתעסקים עם ...המטריצה שלה
... a1n xn b1b1
a11 xa111 a12a12x2 ...
a xa a ax ... a x b b
21 121 22 222
2n n
2
2
...
...
...
...
...
...
am1 xa1m
a
...
a
b
a
x
x
b
1
mn n
mm
m 2m 2
mn
פתרון פרטי - n :יה (אנייה) סדורה ) ( x1 , x2 , ..., xn
שפותרת את כל המשוואות יחד
הפתרון הכללי :אוסף של כל הפתרונות הפרטיים
הגדירו את מטריצת המערכת
תרגיל
2 x1 15x2 5 x3 4 x4 8
6 x1 2 x2 3 x3 4 x4 13
9 x 17x 25x 34x 37
2
3
4
1
( המטריצהrows)סימון שורות
R1
R2
R3
2 15 5 4 8
6 2 3 4 13
9 17 25 34 37
3סוגים של פעולות שורה אלמנטאריות (פש"א)
סוג 1
k Ri
)(k 0
דוגמאות
מכפילים את מקדמי השורה הראשונה ב-
2
2 R1
2
84 63
12 12 4
5 4 3 2 0
2 3 1
0
1
3סוגים של פעולות שורה אלמנטאריות (פש"א)
סוג 1
k Ri
)(k 0
דוגמאות
מחלקים את מקדמי השורה השלישית ב--
3
)(k 1/ 3
1 11 2 2 4 4 33
33
2 200
5 44
26 3 9 13 0 0 93
R3 / 3
3סוגים של פעולות שורה אלמנטאריות (פש"א)
סוג 2
(i j) Ri Rj
דוגמא
מחליפים בין שורה הראשונה לשורה שלישית
04 31
12 13 12
5 4 3 2 0 R1 R3
12 13 12
0
4
3
1
3סוגים של פעולות שורה אלמנטאריות (פש"א)
סוג 3
k Ri Rj
)(i j
ואת השורה 1מעתיקים בצורתה המקורית 33
00
5 1 2 R1 R3
מכפילים את מקדמי שורה 1ב-
2
2 1 1 2 4 3 2 2 4 8 6
מחברים את התוצאות בהתאמה לשורה 3
דוגמאות
4
11 1 2
55 4 3 2
02 53 51
80
6
1
5
2 4 8
2
2 3 1 0
0 5 5 8
את התוצאות הסופיות רושמים בשורה 3
שורה 1מבצעת "איפוס ממוקד" בשורה 3
33
00
5 1 2 R1 R3
4
11 1 2
55 4 3 2
02 53 15
80
ו"מזדכה" על "ציוד" ...
לשם האיפוס הבא יש "לחתום" על "ציוד" חדש – מקדם "... "-5
3סוגים של פעולות שורה אלמנטאריות (פש"א)
סוג 3
k Ri Rj
)(i j
דוגמאות
ואת השורה 1מעתיקים בצורתה המקורית 4 33
1 1 11 22
2 010 5 R1 R2
0 5 14 133 22
2 2 33 11
0
1
1
מכפילים את מקדמי שורה 1ב--
5
4 3 5 5 10 20 15
5 1 1 2
מחברים את התוצאות בהתאמה לשורה 2
5 5 10 20 15
5
4 3 2 0
0 1 13 22 10
את התוצאות הסופיות רושמים בשורה 2
x1 x2 4
3 x1 2 x2 6
x1 2
x 2 6
1 תרגיל
מציאות
1 1 4
1 1 4 R 2 R1 1 0 2
3 2 6 3R1 R2 0 1 6
0 1 6
כניסה
The Matrix
יציאה
המחשה גיאומטרית -נקודת החיתוך של 2ישרים במישור
x1 x2 4
3x1 2 x2 6
x2
x1
)(2,6
2 תרגיל
אינסוף פתרונות
x1 x2 4
3 x1 3 x2 12
x1 x2 4
x2 R
1 1 4 1 1 4
3 3 12 3 R1 R 2 0 0 0
0 x1 0 x2 0
שורת האפסים
המחשה גיאומטרית 2 -ישרים מתלכדים במישור
x1 x2 4
x1
x2
3x1 3x2 12
תרגיל 3
סתירה ( - )0 = -6אין פתרון
x1 x2 4
3 x1 3 x2 6
1 1 4 1 1 4
3 3 6 3 R1 R 2 0 0 6
במידה ואין פתרון למערכת -במטריצה חוטפים "סתירה"
המחשה גיאומטרית 2 -ישרים מקבילים במישור
3x1 3x2 6
x1 x2 4
x1
x2
a 11 x1 a 12 x 2 b1
a 21 x1 a 22 x 2 b2
* * *
* * *
3
* * *
0 0 *
1
* * * * 0 * 1 0
0 1
0
*
*
0
*
*
* * *
0 0 0
פתרון יחיד – ישרים נחתכים.1
אינסוף פתרונות – ישרים מתלכדים.2
אין פתרון – ישרים מקבילים.3
x1
x2
5 x1 3 x2 3
3 x1 10 x2 7
5 3
3 10
4 תרגיל
3 2 R 2 R1 1 17 11
3R1 R 2
7
3
10
7
1 17 11 41 R1 41 697 451 17R2 R1
0 41 26
0
41
26
41 0 9 R1 / 41 1 0
0
41 26 R 2 / 41 0 1
41
26
41
9
9
x1 41
26
x2
41
... השברים נוצרו רק בסוף הדירוג
המלצה – ליצור כמה שפחות שברים במהלך הדירוג ...
גם כאשר המספרים אינם נוחים – לא "לשבור" את המטריצה בכוח ...
כל הזכויות שמורות לד"ר מקסים ברשדסקי