Transcript תיאוריה
1 מתמטיקה ב' לכלכלנים שיעור – 7משואות דיפרנציאליות. תיאוריה 2 הסתכלות על אינטגרלים בעין אחרת עד היום הסתכלנו על האינטגרל בשתי צורות: .1חישוב שטח הכלוא מתחת לעקומה. .2סכימה של שינויים רגעיים בתהליך רציף. מבחינה פורמלית שני הדברים היו זהים: פתרון המשוואה: שטח רוחב )F '( x) f ( x מהירות גובה דרך זמן 3 הרחבת הבעיה מבחינה פורמלית מה שאפיין את בעיית האינטגרציה הוא שחיפשנו את ערכה של פונקציה בהינתן מידע על נגזרתה. כעת נכליל את הבעיה למקרה שבו המידע מערב הן את הנגזרת – למשל: הפונקציה והן את שינוי מצא את Fכך ש: הכסף. F ' ( x ) ( 0 . 01 ) F ( x ) 100 )F’(x מתי בעיה כזו תתעורר במציאות? הכסף: שינוי הכמות.בחודש )F(X ועוד ברשותנו :הכנסה קבועה של ₪ 100 למשל כאשר מהכמות הכנסה מריבית) F(Xעצמה עצמה חודשית של 1%על כל הכסף)F’(x שצברנו עד כה. סיפור אחר :כאשר ממלאים מיכל בירה בשמרים בקצב של 100קילו בדקה ובו זמנית השמרים בפנים מתרבים בקצב של 1%בדקה. 4 הרחבת הבעיה מבחינה פורמלית כדי לא לערבב בין פתרון הבעיות המציאותיות לאתגר הטכני. נתחיל בהסתכלות על הבעיה הטכנית בלבד: נתונה משוואה המערבת את הנגזרת ) ,f’(xאת הפונקציה עצמה ) f(xוגורמים נוספים התלויים ב .xמצא את כל פתרונותיה. ) y ' ( x) g ( x, y משפט :לכול משוואה: עבור gרציפה ,אשר נגזרותיה החלקיות בכיוונים xוy רציפות; קיימת משפחת פתרונות לכל נקודת התחלה )y(x0 בניסוח פחות פורמלי :אשמח לספר לך איך כמות ה- [כסף,שמרים ,מים] מתנהגת ,אם תגיד לי כמה היה בהתחלה. 5 הרחבת הבעיה מבחינה פורמלית משפט :לכול משוואהy ' ( x ) g ( x , y ) : עבור gרציפה ,אשר נגזרותיה החלקיות בכיוונים xוy רציפות; קיימת משפחת פתרונות ,כך שלכל נקודת התחלה ) y(x0קיים פתרון יחיד התקף בסביבה של נקודה זו. נשים ליבנו שגם בבעיות חישוב קדומה היינו צריכים בסוף להציב את גבולות האינטגרל – כלומר להגיד היכן השטח צריך להיות .0 6 שיטות לחישוב הפתרון – מקרה ראשון y'( x) y ' ay a y( x) y'( x) y'( x) y( x) dx a dx ax z y( x) dx y( x) dz y ' ( x ) dx ax c ln( y ( x )) e ax c 1 z dz ln z c y( x) 7 - דרך יותר קלה טכנית אך פחות מוצדקת y ' ay dy ay dx dy y adx ye dy adx y ln y ax C ax C 8 :שיטת הפרדת משתנים למשוואה הומוגנית y' f ( x) y dy f ( x) y dx dy f ( x ) dx y ln y f ( x ) dx dy y f ( x ) dx ye f ( x ) dx 9 דוגמא מעשית: קיימת הערכה כי בשנתיים הקרובה יעלה הנגיד את הריבית באופן ליניארי מ 3%בשנה ל 5%בשנה .חשב פי כמה יגדל סכום כסף מושקע בתקופה זה. ) f ' ( t ) ( 0 . 03 t 0 . 01 ) f ( t ) ( 0 . 03 t ( 0 . 01 )) f ( t ) df ( t dt ( 0 . 03 t ( 0 . 01 )) dt ) df ( t ) f (t 10 דוגמא מעשית: קיימת הערכה כי בשנתיים הקרובה יעלה הנגיד את הריבית באופן ליניארי מ 3%בשנה ל 5%בשנה .חשב פי כמה יגדל סכום כסף מושקע בתקופה זה. ( 0 .03 t ( 0 .01 )) dt 2 C ) df ( t ) f (t 0 . 01 t ) df ( t 2 ) f (t ( 0 . 01 . 03))t dt ))t dt ( 0 .001 ( 0 .03 ( 0t . 03 ln( f ( t )) 11 דוגמא מעשית: קיימת הערכה כי בשנתיים הקרובה יעלה הנגיד את הריבית באופן ליניארי מ 3%בשנה ל 5%בשנה .חשב פי כמה יגדל סכום כסף מושקע בתקופה זה. 2 C 2 C 0 . 01 t 2 0 . 01 t 2 0 . 03 t 0 . 03 t f( 0(.03 t ) t (e0 .01 )) dt ln( f ( t )) 12 דוגמא מעשית: 2 C כיצד נשתמש בפתרון? 0 . 01 t 0 . 03 t 2 f (t ) e אנו מעוניינים ביחס בין סכום כסף מסוים כרגע ,שנסמנו aלזה שיהיה ברשותנו בעוד 2שנים. 2 C e C 0 . 01 0 0 . 03 0 2 f (0) a e נבחר אפוא .f(0)=ln(a)=C 0 . 01 2 כעת נציב ).f(2 0 . 03 2 ln a 2 2 2 1 . 0833 0 . 01 2 2 0 . 03 2 f (2) e f ( 2) / f (0) e 13 הערות כמה זה במונחים של ריבית שנתית? 1 . 0833 1 . 041 4 . 1 % לו היינו עורכים קירוב ליניארי היינו מקבלים .4% נשים לב שההצטמצמות של aמראה שהיחס אינו תלוי בסכום( .אנחנו לכאורה הנחנו זאת ,אך הדבר אינו ברור מאליו) 14 :שיטת הפרדת משתנים למשוואה כללית y' f ( x) g ( y) dy f ( x ) dx g ( y) 2 ydy 1 2 xdx y x x C 2 2 dy y dy f ( x ) dx g ( y) . y' f ( x ) dx 0 .5 x :למשל y y x xC 2 15 פתרון כללי ופתרון פרטי. עד עכשיו כל הפונקציות שראינו היו מהצורה: )y'( x) y( x) g ( x כעת ננסה להתמודד גם עם משוואות מהצורה: )y'( x) y( x) g ( x) h( x נניח שישנם שני פתרונות למשוואה כזו .אם כן ,אזי )y2 '( x) y2 ( x) g ( x) h( x ) y1 ' ( x ) y1 ( x ) g ( x ) h ( x ) ( y 1 y 2 )' ( x ) ( y 1 y 2 )( x ) g ( x פתרון של המשוואה ההומוגנית. 16 פתרון כללי ופתרון פרטי. מספיק אפוא למצוא פתרון יחיד ,ויתר הפתרונות ינבעו מהמשוואה ההומוגנית. )y'( x) y( x) g ( x) h( x כעת נשתמש בטריק טכני ,נביט ב: ) g ( x g ( x ) f ( x )e f ' ( x )e ) g (x )g (x df ( x ) e )g (x y f ( x )e y' dx קל לראות שמתקיימת המשוואה: אנו רוצים: ונקבל: )g (x y ' yg ( x ) f ' ( x ) e ) y ' yg ( x ) h ( x )g (x f ' ( x ) h ( x )e )g (x h ( x ) f ' ( x )e 17 .פתרון כללי ופתרון פרטי y'( x) y( x) g ( x) h( x) :וקיבלנו g (x) f ' ( x ) h ( x )e g (x) f ( x ) h ( x )e B :ובסה"כ g (x) g (x) g (x) y df ( x ) e ( h ( x )e B )e 18 y'( x) y( x) g ( x) h( x) דוגמא y ' ( x ) 4 x 2 xy y f ( x )e 2x y ' f ' ( x )e f ' ( x )e f (x) x 2 x 2 2 xf ( x ) e 4x 4 xe y (2e x f ( x )e x 2 2 x 2 x 2 4 x 2 xf ( x ) e f ' ( x ) 4 xe dx 2 e C )e x 2 x 2 x 2 C 2 Ce x 2 x 2 19 y'( x) y( x) g ( x) h( x) ניחוש- דוגמא y ' ( x ) 4 x 2 xy y( x) 2 y ' ( x ) 2 xy y( x) e x 2 20 וכעת – אנו יודעים חדווא ב' לכלכלנים! כשראה אלכסנדר הגדול את רוחב ממלכתו ,הוא בכה; שכן לא נותרו לו ארצות לכבוש.