Transcript תיאוריה
1
מתמטיקה ב' לכלכלנים
שיעור – 7משואות דיפרנציאליות.
תיאוריה
2
הסתכלות על אינטגרלים בעין אחרת
עד היום הסתכלנו על האינטגרל בשתי צורות:
.1חישוב שטח הכלוא מתחת לעקומה.
.2סכימה של שינויים רגעיים בתהליך
רציף.
מבחינה פורמלית שני הדברים היו זהים:
פתרון המשוואה:
שטח
רוחב
)F '( x) f ( x
מהירות
גובה
דרך
זמן
3
הרחבת הבעיה מבחינה פורמלית
מה שאפיין את בעיית האינטגרציה הוא שחיפשנו את ערכה
של פונקציה בהינתן מידע על נגזרתה.
כעת נכליל את הבעיה למקרה שבו המידע מערב הן את
הנגזרת – למשל:
הפונקציה והן את
שינוי
מצא את Fכך ש:
הכסף.
F ' ( x ) ( 0 . 01 ) F ( x ) 100
)F’(x
מתי בעיה כזו תתעורר במציאות?
הכסף:
שינוי
הכמות.בחודש )F(X
ועוד
ברשותנו :הכנסה קבועה של ₪ 100
למשל כאשר מהכמות
הכנסה מריבית) F(Xעצמה
עצמה
חודשית של 1%על כל הכסף)F’(x
שצברנו עד כה.
סיפור אחר :כאשר ממלאים מיכל בירה בשמרים בקצב של
100קילו בדקה ובו זמנית השמרים בפנים מתרבים בקצב של
1%בדקה.
4
הרחבת הבעיה מבחינה פורמלית
כדי לא לערבב בין פתרון הבעיות המציאותיות לאתגר הטכני.
נתחיל בהסתכלות על הבעיה הטכנית בלבד:
נתונה משוואה המערבת את הנגזרת ) ,f’(xאת הפונקציה
עצמה ) f(xוגורמים נוספים התלויים ב .xמצא את כל
פתרונותיה.
) y ' ( x) g ( x, y
משפט :לכול משוואה:
עבור gרציפה ,אשר נגזרותיה החלקיות בכיוונים xוy
רציפות; קיימת משפחת פתרונות לכל נקודת התחלה )y(x0
בניסוח פחות פורמלי :אשמח לספר לך איך כמות ה-
[כסף,שמרים ,מים] מתנהגת ,אם תגיד לי כמה היה בהתחלה.
5
הרחבת הבעיה מבחינה פורמלית
משפט :לכול משוואהy ' ( x ) g ( x , y ) :
עבור gרציפה ,אשר נגזרותיה החלקיות בכיוונים xוy
רציפות; קיימת משפחת פתרונות ,כך שלכל נקודת התחלה
) y(x0קיים פתרון יחיד התקף בסביבה של נקודה זו.
נשים ליבנו שגם בבעיות חישוב קדומה היינו צריכים בסוף
להציב את גבולות האינטגרל – כלומר להגיד היכן השטח
צריך להיות .0
6
שיטות לחישוב הפתרון – מקרה ראשון
y'( x)
y ' ay
a
y( x)
y'( x)
y'( x)
y( x)
dx
a
dx
ax
z y( x)
dx
y( x)
dz y ' ( x ) dx
ax c ln( y ( x ))
e
ax c
1
z
dz ln z c
y( x)
7
- דרך יותר קלה טכנית אך פחות מוצדקת
y ' ay
dy
ay
dx
dy
y
adx
ye
dy
adx
y
ln y ax C
ax C
8
:שיטת הפרדת משתנים למשוואה הומוגנית
y' f ( x) y
dy
f ( x) y
dx
dy
f ( x ) dx
y
ln y
f ( x ) dx
dy
y
f ( x ) dx
ye
f ( x ) dx
9
דוגמא מעשית:
קיימת הערכה כי בשנתיים הקרובה יעלה הנגיד את הריבית
באופן ליניארי מ 3%בשנה ל 5%בשנה .חשב פי כמה יגדל
סכום כסף מושקע בתקופה זה.
) f ' ( t ) ( 0 . 03 t 0 . 01 ) f ( t
) ( 0 . 03 t ( 0 . 01 )) f ( t
) df ( t
dt
( 0 . 03 t ( 0 . 01 )) dt
) df ( t
) f (t
10
דוגמא מעשית:
קיימת הערכה כי בשנתיים הקרובה יעלה הנגיד את הריבית
באופן ליניארי מ 3%בשנה ל 5%בשנה .חשב פי כמה יגדל
סכום כסף מושקע בתקופה זה.
( 0 .03 t ( 0 .01 )) dt
2
C
) df ( t
) f (t
0 . 01 t
) df ( t
2
) f (t
( 0 . 01
. 03))t dt
))t dt
( 0 .001
( 0 .03 ( 0t . 03
ln( f ( t ))
11
דוגמא מעשית:
קיימת הערכה כי בשנתיים הקרובה יעלה הנגיד את הריבית
באופן ליניארי מ 3%בשנה ל 5%בשנה .חשב פי כמה יגדל
סכום כסף מושקע בתקופה זה.
2
C
2
C
0 . 01 t
2
0 . 01 t
2
0 . 03 t
0 . 03 t
f( 0(.03
t ) t (e0 .01 )) dt
ln( f ( t ))
12
דוגמא מעשית:
2
C
כיצד נשתמש בפתרון?
0 . 01 t
0 . 03 t
2
f (t ) e
אנו מעוניינים ביחס בין סכום כסף מסוים כרגע ,שנסמנו aלזה
שיהיה ברשותנו בעוד 2שנים.
2
C
e
C
0 . 01 0
0 . 03 0
2
f (0) a e
נבחר אפוא .f(0)=ln(a)=C
0 . 01 2
כעת נציב ).f(2
0 . 03 2
ln a
2
2
2
1 . 0833
0 . 01 2
2
0 . 03 2
f (2) e
f ( 2) / f (0) e
13
הערות
כמה זה במונחים של ריבית שנתית?
1 . 0833 1 . 041 4 . 1 %
לו היינו עורכים קירוב ליניארי היינו מקבלים .4%
נשים לב שההצטמצמות של aמראה שהיחס אינו תלוי
בסכום( .אנחנו לכאורה הנחנו זאת ,אך הדבר אינו ברור
מאליו)
14
:שיטת הפרדת משתנים למשוואה כללית
y' f ( x) g ( y)
dy
f ( x ) dx
g ( y)
2 ydy 1 2 xdx
y x x C
2
2
dy
y
dy
f ( x ) dx
g ( y)
. y'
f ( x ) dx
0 .5 x
:למשל
y
y
x xC
2
15
פתרון כללי ופתרון פרטי.
עד עכשיו כל הפונקציות שראינו היו מהצורה:
)y'( x) y( x) g ( x
כעת ננסה להתמודד גם עם משוואות מהצורה:
)y'( x) y( x) g ( x) h( x
נניח שישנם שני פתרונות למשוואה כזו .אם כן ,אזי
)y2 '( x) y2 ( x) g ( x) h( x
) y1 ' ( x ) y1 ( x ) g ( x ) h ( x
) ( y 1 y 2 )' ( x ) ( y 1 y 2 )( x ) g ( x
פתרון של המשוואה ההומוגנית.
16
פתרון כללי ופתרון פרטי.
מספיק אפוא למצוא פתרון יחיד ,ויתר הפתרונות ינבעו
מהמשוואה ההומוגנית.
)y'( x) y( x) g ( x) h( x
כעת נשתמש בטריק טכני ,נביט ב:
) g ( x
g ( x ) f ( x )e
f ' ( x )e
) g (x
)g (x
df ( x ) e
)g (x
y f ( x )e
y'
dx
קל לראות שמתקיימת המשוואה:
אנו רוצים:
ונקבל:
)g (x
y ' yg ( x ) f ' ( x ) e
) y ' yg ( x ) h ( x
)g (x
f ' ( x ) h ( x )e
)g (x
h ( x ) f ' ( x )e
17
.פתרון כללי ופתרון פרטי
y'( x) y( x) g ( x) h( x)
:וקיבלנו
g (x)
f ' ( x ) h ( x )e
g (x)
f ( x ) h ( x )e
B
:ובסה"כ
g (x)
g (x)
g (x)
y df ( x ) e
( h ( x )e
B )e
18
y'( x) y( x) g ( x) h( x)
דוגמא
y ' ( x ) 4 x 2 xy
y f ( x )e
2x
y ' f ' ( x )e
f ' ( x )e
f (x)
x
2
x
2
2 xf ( x ) e
4x
4 xe
y (2e
x
f ( x )e
x
2
2
x
2
x
2
4 x 2 xf ( x ) e
f ' ( x ) 4 xe
dx 2 e
C )e
x
2
x
2
x
2
C
2 Ce
x
2
x
2
19
y'( x) y( x) g ( x) h( x)
ניחוש- דוגמא
y ' ( x ) 4 x 2 xy
y( x) 2
y ' ( x ) 2 xy
y( x) e
x
2
20
וכעת – אנו יודעים חדווא ב' לכלכלנים!
כשראה אלכסנדר הגדול את רוחב ממלכתו ,הוא בכה; שכן לא
נותרו לו ארצות לכבוש.