Transcript Document 7930921

‫מתמטיקה בדידה‬
‫תרגול חזרה‬
‫תרגיל ‪1‬א‬
‫‪.1‬‬
‫לכל‬
‫‪f N  N‬‬
‫נגדיר ‪L f   g  N  N g  f ‬‬
‫‪iN ‬‬
‫באיזה תנאי (הכרחי ומספיק) על ‪f‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מתקיים‬
‫על ‪f‬‬
‫‪L f   1‬‬
‫פתרון‪ :‬מתקיים‬
‫‪L f   ‬‬
‫מתקיים‪L f  ‬‬
‫‪‬‬
‫אמ"ם‬
‫‪.‬‬
‫ובאיזה תנאי (הכרחי ומספיק)‬
‫‪ f‬חד‪-‬חד ערכית‪.‬‬
‫לכל‪y‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫ערכית‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ‪ f‬חד‪-‬חד‬
‫ש‬
‫‪x N‬‬
‫‪x‬‬
‫‪N‬‬
‫קיים‬
‫‪f ( x)  y‬‬
‫כזה)‪.‬‬
‫כל‬
‫‪.‬‬
‫‪g‬‬
‫(או לא קיים‬
‫המקיימת)‪ yN .( f ( x)  y )  ( g ( y )  x‬‬
‫‪f ‬‬
‫שייכת‪ L‬ל‬
‫יחיד כך‬
‫תרגיל ‪1‬א המשך‪1‬‬
‫‪.1‬‬
‫לכל‬
‫נגדיר ‪L f   g  N  N g  f ‬‬
‫‪iN ‬‬
‫‪f N  N‬‬
‫באיזה תנאי (הכרחי ומספיק) על ‪f‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מתקיים‬
‫על ‪f‬‬
‫‪L f   1‬‬
‫נניח‬
‫‪f‬‬
‫מתקיים‪L f  ‬‬
‫‪‬‬
‫לא חד‪-‬חד ערכית‪ .‬אזי‬
‫קיים‪y ‬‬
‫‪N‬‬
‫) ‪x1 , x2 ( f ( x1 )  y )  ( f ( x2 )  y )  ( x1  x2‬‬
‫אזי‬
‫‪g  L f ‬‬
‫‪.‬‬
‫ובאיזה תנאי (הכרחי ומספיק)‬
‫כך ש‬
‫‪g‬‬
‫לכל ‪ ,‬ברור‬
‫שאם‪( g ( y)  x2 )  ( g ( y) ‬‬
‫) ‪x1‬‬
‫‪.‬‬
‫נניח בלי הגבלת הכלליות‬
‫‪.‬‬
‫לכן‬
‫ש ‪g ( y) ‬‬
‫‪x1‬‬
‫אזי‪g ( f ( x2 ))  x1‬‬
‫‪ x2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪g  L f ‬‬
‫תרגיל ‪1‬א המשך ‪2‬‬
‫‪.1‬‬
‫לכל‬
‫‪f N  N‬‬
‫נגדיר ‪L f   g  N  N g  f ‬‬
‫‪iN ‬‬
‫באיזה תנאי (הכרחי ומספיק) על ‪f‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מתקיים‬
‫על ‪f‬‬
‫‪L f   1‬‬
‫פתרון‪ :‬מתקיים‬
‫‪L f   1‬‬
‫מתקיים‪L f  ‬‬
‫‪‬‬
‫אמ"ם‬
‫‪f‬‬
‫חד‪-‬חד ערכית ועל‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ‪ f‬חד חד ערכית ועל אזי‬
‫כך‬
‫ש ‪f ( x)  y‬‬
‫לכל ‪y  N‬‬
‫‪‬‬
‫היחידה‪L f‬ב‬
‫‪ .‬הפונקציה‬
‫)‪ yN ( f ( x)  y )  ( g ( y )  x‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ובאיזה תנאי (הכרחי ומספיק)‬
‫‪g‬היא‬
‫קיים ‪x N‬‬
‫יחיד‬
‫המקיימת‬
‫תרגיל ‪1‬א המשך ‪2‬‬
‫‪.1‬‬
‫לכל‬
‫‪f N  N‬‬
‫נגדיר ‪L f   g  N  N g  f ‬‬
‫‪iN ‬‬
‫באיזה תנאי (הכרחי ומספיק) על ‪f‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מתקיים‬
‫על ‪f‬‬
‫‪L f   1‬‬
‫מתקיים‪L f  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫ובאיזה תנאי (הכרחי ומספיק)‬
‫נניח ‪ f‬לא חד‪-‬חד ערכית ועל‪ .‬אם ‪ f‬לא חד‪-‬חד ערכית אזי כפי שהראנו‬
‫קודם ‪ . L f   0  1‬כלומר נותר לבדוק את המקרה ש ‪ f‬חד חד ערכית ולא‬
‫‪g ( y)  z‬‬
‫על‪ ,‬במקרה הזה קיים ‪ y  N‬כך ש ‪ .  f ( x)  y‬תהי ‪ g  L f ‬ונניח‬
‫‪xN‬‬
‫אזי לכל‬
‫‪z' N‬‬
‫פונקציה‬
‫‪ g ( y' ) y'  y‬‬
‫‪g ' ( y' )  ‬‬
‫‪y'  y‬‬
‫'‪ z‬‬
‫היא גם ב ‪ . L f ‬כלומר‬
‫‪L f   1‬‬
‫‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 1‬ב‬
‫‪.1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫לכל‬
‫הוכיחו כי אם‬
‫‪f N  N‬‬
‫פתרון‪ :‬אם‬
‫נגדיר ‪L f   g  N  N g  f ‬‬
‫‪iN ‬‬
‫‪L f   1‬‬
‫‪.‬‬
‫אז ( ‪ L( f‬אינסופית‪.‬‬
‫אז כפי שהראנו קודם‬
‫‪L f   1‬‬
‫כלומר‪ ,‬במקרה הזה קיים ‪ y  N‬כך ש‬
‫‪ ) L f   1‬ונניח ‪ g ( y)  z‬כפי שהראנו קודם לכל‬
‫גם ב ‪ . L f ‬כלומר ‪. | L f  | ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f ( x)  y‬‬
‫‪z' N‬‬
‫‪f‬‬
‫היא לא על‪.‬‬
‫‪ , ‬תהי ‪( g  L f ‬יש כזו כי‬
‫‪ g ( y' ) y'  y‬‬
‫‪g ' ( y' )  ‬‬
‫היא‬
‫פונקציה ‪y '  y‬‬
‫'‪ z‬‬
‫‪xN‬‬
‫תרגיל ‪ 1‬ג‬
‫‪.1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נגדיר ‪L f   g  N  N g  f ‬‬
‫‪iN ‬‬
‫לכל‬
‫עבורה‪L f   ‬‬
‫תנו דוגמא ל – ‪f‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f N  N‬‬
‫פתרון‪ :‬עבור‬
‫‪f ( x)  x  1‬‬
‫ודוגמא ל – ‪f‬‬
‫‪.‬‬
‫עבורה‪L f ‬‬
‫‪‬‬
‫מתקיים‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪L f   0‬‬
‫‪g‬‬
‫עבור ‪f ( x)  2 x‬‬
‫‪‬‬
‫הפונקציה‬
‫מתקיים‪ . L f  ‬הסבר‬
‫להחזיר כל מספר עבור המספרים ‪ ‬‬
‫‪.‬‬
‫האי‪‬זוגיים‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫יכולה‬
‫תרגיל ‪ 1‬ד‬
‫‪.1‬‬
‫ד‪.‬‬
‫לכל‬
‫הוכיחו כי אם‬
‫‪f N  N‬‬
‫נגדיר ‪L f   g  N  N g  f ‬‬
‫‪iN ‬‬
‫‪L f   0‬‬
‫פתרון‪ :‬נסמן‬
‫פונקציה‬
‫אז‪L f  ‬‬
‫‪‬‬
‫}‪S  { y | x f ( x)  y‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫בדומה לסעיפים הקודמים‬
‫‪g  L f ‬‬
‫להחזיר כל ערך ב ‪ N‬עבור האיברים ש ב ‪.S‬‬
‫יכולה‬
‫‪| L f  | ‬‬
‫| ‪|S‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.‬‬
‫כלומר‬
‫קל לראות ש ‪0 | S | ‬‬
‫סופי‪ f  | .‬‬
‫ואז‪| L‬‬
‫כאשר ‪  k‬‬
‫‪0‬‬
‫‪k‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .‬אם‬
‫‪L f   0‬‬
‫( ‪| S | k‬‬
‫אז‪| S‬‬
‫‪| ‬‬
‫אחרת‬
‫בסתירה ) ‪| L f  | ‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫בלא‬
‫של}]}‪| f (1) [{1‬‬
‫|‬
‫פתרון‪ :‬המשמעות‬
‫שהפונקציה מחזירה עבורם ‪.1‬‬
‫זה מספר האיברים בתחום‬
‫בעצם אנו מחפשים‬
‫‪| { f : {n  N | 0  n  100}  {0,1,2,3,4}} | ‬‬
‫| }‪| { f : {n  N | 0  n  100}  {0,1,2,3,4} | f ( 1) [{1}]  0  f ( 1) [{2}]  0  f ( 1) [{3}]  0‬‬
‫ המשך‬2 ‫תרגיל‬
n
n
A  A
i
i 1
i 1
i

:‫נשתמש בעקרון ההכלה וההפרדה‬
n
 A A
1i  j  n
i
j

n
 A A
1i  j  k  n
i
 Ak     1
n 1
j
A1  A2    An
| { f : {n  N | 0  n  100}  {0,1,2,3,4} | f ( 1) [{1}]  0} | 4101
| { f : {n  N | 0  n  100}  {0,1,2,3,4} | f ( 1) [{1}]  0^ f ( 1) [{2}]  0} | 3101
| { f : {n  N | 0  n  100}  {0,1,2,3,4} | f ( 1) [{1}]  0^ f ( 1) [{2}]  0^ f ( 1) [{3}]  0} | 2101
| f : {n  N | 0  n  100}  {0,1,2,3,4} | 5101
 3
5101  (3  4101     3101  2101)
 2
‫נקבל‬
:‫נקבל‬
:
‫תרגיל ‪ 3‬א‬
‫)‬
‫שאם‪ G  (V , E‬גרף קשיר כך ש‬
‫יש להוכיח‬
‫אזי ב ‪ G‬יש מעגל יחיד‪.‬‬
‫| ‪| V || E‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח אין ב ‪ G‬אף מעגל‪ ,‬אזי ‪ G‬עץ (כי קשיר) אבל הראנו‬
‫יש‪| E‬‬
‫שבעץ‪|| V‬‬
‫בכיתה ‪| 1‬‬
‫קשתות בסתירה‪.‬‬
‫נניח ב ‪ G‬יש יותר ממעגל‪ ,‬אז בפרט יש בו שני ‪C1‬‬
‫‪ .‬על פי‬
‫מעגלים‪ C2‬ו‬
‫הגדרת מעגל – הורדת קשת ממעגל משאירה אותו קשיר‪ .‬כלומר ניתן‬
‫עם|‪| E |‬‬
‫ולהישאר‪V | ‬‬
‫‪2‬‬
‫קשתות‪.‬‬
‫גרף קשיר עם‬
‫להוריד ‪ 2‬קשתות‬
‫בסתירה לכך שהראנו שבעץ (גרף קשיר עם מינימום‬
‫קשתות‪.‬‬
‫יש ‪| E‬‬
‫קשתות|) ‪|| V‬‬
‫‪1‬‬
‫תרגיל ‪ 3‬ב‬
‫‪k‬‬
‫השלם‬
‫יש להוכיח שאם נחלק את צמתי הגרף‬
‫ל ‪ 8‬קבוצות באפן כלשהו (חלקן אולי ריקות)‪,‬‬
‫אזי לפחות אחת הקבוצות תכיל מעגל‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫הוכחה‪ :‬על פי עקרון שובך היונים המוכלל קבוצה אחת לפחות‬
‫תכיל ‪ 3‬צמתים‪ .‬על פי הגדרת הגרף השלם – בקבוצה זו יהיה‬
‫מעגל באורך שלוש‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 3‬ג‬
‫‪k‬‬
‫השלם‬
‫להוכיח שאם נחלק את קשתות הגרף‬
‫‪ 8‬קבוצות באפן כלשהו (חלקן אולי ריקות)‪ ,‬אזי‬
‫לפחות אחת הקבוצות תכיל מעגל‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫הוכחה‪ :‬פתרון‪ :‬נניח בשלילה שיש צביעה של קשתות ‪ K17‬ב – ‪8‬‬
‫צבעים כך שאין מעגל מונוכרומטי‪ .‬יהי ‪ Ei‬קבוצת כל הקשתות‬
‫הצבועות בצבע ‪ .i‬בגרף המורכב מהקשתות בצבע ‪ i‬אין מעגלים‬
‫שאם לא כן היה קיים מעגל מונוכרומטי‪ .‬לכן מספר הקשתות‬
‫בגרף בצבע ‪ i‬הוא לכל היותר ‪( 16‬עץ עם ‪ 17‬קודקודים)‪ .‬דבר זה‬
‫נכון לכל ‪ ,i‬ולכן יש לכל היותר ‪ 128=8·16‬קשתות בגרף‪ .‬זו‬
‫סתירה לכך שב – ‪ K17‬יש ‪ 17   136‬קשתות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ל‬
‫תרגיל ‪ 3‬ד‬
‫יהיו ‪ x‬ו‪ y‬שני קודקודים בגרף בעל ‪ n‬קודקודים כך‬
‫וכן‪d ( x)  d‬‬
‫קשת‪( y ) ‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכח‬
‫שבין ‪ x‬ו‪ y‬אין‬
‫שהגרף מכיל מעגל באורך ‪.4‬‬
‫הוכחה‪ :‬כיוון שאין קשת בין ‪ x‬ו‪ y‬אזי דרגת כל אחד‬
‫מהקודקודים הנ"ל היא לכל היותר‪( n-2‬וסכום הדרגות‬
‫‪)n‬‬
‫נוכיח שישנם שני צמתים שונים (‪ )z, w‬שהם שכנים גם של ‪x‬‬
‫וגם של ‪ y‬ובכך סימנו‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪w‬‬
‫תרגיל ‪ 3‬ד (המשך)‬
‫הוכחה‪ :‬נניח שאין שני צמתים שונים שהם שכנים‬
‫גם של ‪ x‬וגם של ‪ .y‬אזי מספר השכנים של ‪ y‬הוא‬
‫היותר‪d ( y )  n  2  d ( x)  1  n :‬‬
‫לכל ‪d ( x)  1‬‬
‫יש‬
‫מקסימום‬
‫שכן אחד‬
‫משותף‬
‫כלומר ‪d ( y )  d ( x)  n  1‬‬
‫לא יכול‬
‫להיות ‪ x‬או‬
‫‪y‬‬
‫בסתירה‪.‬‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫הסדרה‪n.a n‬‬
‫‪n  1‬‬
‫‪1‬‬
‫הנסיגה‪an  an1  2n:‬‬
‫מקיימת את כלל‬
‫הנסיגה‪bn  :4‬‬
‫כלל‪bn1  4bn‬‬
‫‪2‬‬
‫והסדרה מקיימת את‬
‫המבטיחים כי‬
‫התחלה‬
‫‪n  0 an  bn‬‬
‫‪n  2‬‬
‫פתרון‪:‬פתרון למשוואה הומוגנית ‪an  an1  0‬‬
‫‪n.bn‬‬
‫ערכי‪a0‬‬
‫מצאו‪, b0 , b‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ :‬הפולינום האופייני ‪x  1‬‬
‫‪ .‬השורש היחיד שלו הוא ‪ .1‬לכן פתרון כללי למשוואה ההומוגנית‬
‫הוא‬
‫‪.‬‬
‫מהצורה‬
‫היא‬
‫סדרה‪n.c‬‬
‫‪1‬‬
‫פתרון פרטי למשוואה לא הומוגנית‪an1  an  2n‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫לכן‪2  c2  c‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪:‬‬
‫‪ .‬נמצא את הערך ‪c2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪n‬‬
‫מהצורה‪n.‬‬
‫‪c2  2n‬‬
‫‪ :‬קיים פתרון פרטי‬
‫‪ ,‬כלומר = ‪c2‬‬
‫‪n.c1  2‬‬
‫לכן פתרון כללי למשוואה לא הומוגנית הוא מהצורה‬
‫‪.‬‬
‫תרגיל ‪( 4‬המשך)‬
‫פתרון למשוואה הומוגנית‪bn2  4bn1  4bn  0‬‬
‫הוא‪x 2  4‬‬
‫‪ :‬הפולינום האופייני‪x  4‬‬
‫‪ .‬השורש היחיד שלו הוא ‪ ,2‬בריבוי ‪ .2‬לכן פתרון כללי למשוואה ההומוגנית‬
‫מהצורה‪n.c3  2n  c4  n‬‬
‫‪ 2n‬‬
‫‪.‬‬
‫היא סדרה‬
‫‪n‬‬
‫מהצורה‪n.c3  2n  c4  n  2‬‬
‫הסדרה היחידה ששייכת גם לקבוצת הסדרות‬
‫היא‪n.‬‬
‫‪2n‬‬
‫מהצורה‪‬‬
‫לקבוצת הסדרות ‪n.c1  2n‬‬
‫‪.‬‬
‫הסדרה‬
‫לכן ‪an  bn  n.2n‬‬
‫‪.‬‬
‫הם‪a0  1, b0  1, b‬‬
‫ותנאי ההתחלה הנדרשים‪1  2‬‬
‫וגם‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫יהי ‪ . B   Px  , A  , , , ‬תהי ‪ M‬קבוצת כל היחסים‬
‫‪x A‬‬
‫הסימטריים האנטי‪-‬רפלקסיביים על הקבוצה ‪ .B‬יש לחשב את‬
‫‪T  M f T   T ‬‬
‫‪f  M  M‬‬
‫פתרון‪ B :‬היא הקבוצה ‪ . , , , , ‬ב – ‪ B‬יש ‪4‬‬
‫איברים‪ .‬נחשב עתה את מספר האיברים ב – ‪ .M‬מספר‬
‫היחסים הסימטריים האנטי‪-‬רפלקסיביים על קבוצה בת ‪4‬‬
‫איברים אינו תלוי בקבוצה‪ .‬למען הפשטות‪ ,‬נחשב את מספר‬
‫היחסים הסימטריים האנטי‪-‬רפלקסיביים על ‪. L  1,2,3,4‬‬
‫תרגיל ‪( 5‬המשך)‬
‫יחס על ‪ L‬הוא תת קבוצה של ‪ . L  L‬יחס אנטי‪-‬רפלקסיבי על ‪L‬‬
‫הוא תת קבוצה של‬
‫‪ 1,2 , 2,1 , 1,3 , 3,1 , 1,4 , 4,1 , 2,3 , 3,2 , 2,4 , 4,2 , 3,4 , 4,3 ‬‬
‫נבדוק כמה אפשרויות יש לנו לבחור תת‪-‬קבוצה שמהווה יחס סימטרי‪.‬‬
‫אם נבחר‪ ,‬למשל את הזוג הסדור <‪ ,>2,4‬נצטרך לבחור גם את‬
‫<‪ .>4,2‬לכן‪ ,‬מספר היחסים הסימטריים האנטי‪-‬רפלקסיביים על ‪L‬‬
‫הוא כמספר תתי‪-‬הקבוצות של ‪ , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4 , 3,4 ‬כלומר ‪.26‬‬
‫‪2  1‬‬
‫‪26‬‬
‫ב –‪ 26 M‬איברים‪ .‬ב ‪ f  M  M T  M f T   T  -‬יש‬
‫איברים‪ ,‬משום שלכל איבר ב – ‪ ,M‬נוכל להתאים כל איבר אחר ב –‬
‫‪ M‬מלבד עצמו‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫בל‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫יש לחשב את מספר הדרכים להגיע לתוצאה מסוימת ע"י הטלת ‪ 5‬קוביות לא‬
‫ממוספרות‪.‬‬
‫שאלה מסובכת מידיי‪ ,‬נחשב שאלות יותר פשוטות‪ .‬נחשב תחילה את מספר‬
‫הדרכים להגיע לתוצאה ‪ k‬מסוימת ע"י הטלת ‪ 5‬קוביות כן ממוספרות‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4  k  k‬‬
‫‪5‬‬
‫‪  x (1  ..)(  ‬‬
‫‪ x )...‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪( x  x  x  x  x  x )  x ‬‬
‫‪ 1 x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6 5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ניתן לפתוח ע"פ הכללים שנלמדו בכיתה‪ ,‬צריך את‬
‫המקדם של ‪. x k‬‬