Transcript תנועת הגל
• הקדמה.
• תנועת גל בחומר.
• קריסת הגל.
• משוואת ברגר ( )Burgers’ equationופתרונה.
• גלי הלם.
• סיכום.
הקדמה -תזכורת מגלים
• עבור חלקיק במרחב הפאזה:
• עבור גל במרחב הפאזה:
תנועת הגל
• תנועה של חומר עם ללא אינטראקציות פנימיות.
• צפיפות החומר:
• אין עיבוד או תוספת חומר:
תנועת הגל
עבור:
בהנתן תנאי התחלה:
תנועת פרופיל גל ) F(xבמהירות קבועה לאורך ציר .x
תנועת הגל -הכללה למקרה אי ליניארי פשוט
•תיאור של גל פשוט (.)Riemannian wave
•מהתלות של המהירות בצפיפות -מתיחה של פרופיל הגל שיכולה
לגרום לקריסת הגל.
תנועת הגל -הכללה למקרה אי ליניארי פשוט
• שני התנאים הללו קובעים את הזמן בו הגל יקרוס!
תנועת הגל -הכללה למקרה אי ליניארי פשוט
• התנאי
לא אחיד.
מיצג את המקרה שבו הפרופיל ההתחלתי הוא
• התנאי
מגדיר את הבעיה להיות לא לינארית (
• הזמן בו הגל קורס:
).
דוגמא:
• גל מתפשט באמצעות דחיסה של נוזל -בדומה לגל קול המועבר
באוויר מקיים:
•
קיים אך ורק באזור בו
קריסת הגל בתנועה חופשית של גזים
• גז ללא לחץ חיצוני.
• תנאי התחלה:
• עתה:
• זמן הקריסה:
• תנאי לקריסה:
• פרופיל הגל נהיה מאונך לציר ה.X-
• תכונת קריסת הגל היא תכונה יחודית לגלים לא לינארים.
משוואת ברגר:
• תחרות בין הרכיב הלא ליניארי לרכיב של הצמיגות.
• קיים פתרון מפורש למשוואה! שהופך את הבעייה לבעייה ליניארית
(.)Hopf & Cole
חילוף משתנה:
תנאי שפה:
• משוואת ברגר:
• נניח
• ולכן:
משוואת הדיפוזיה:
תנאי התחלה ב:t=0 :
פתרון האינטגרל :שיטת האוכף saddle point method
מהתנאי:
קיים x0שבו נעצרת
העלייה .זהו ההגבלה
של הצמיגות.
ואכן מתקיים תנאי השפה:
צורת הגל אחרי זמנים
ארוכים תלויה אך ורק ב-
גלי הלם:
• פתרון משוואת ברגר שאין קריסת גל (הרכיב הלא ליניארי לא
מצליח להתגבר על הרכיב של הצמיגות) = גל הלם.
• בפועל אין לנו עלייה אידיאלית ב-
שפרופורציונאלית ל. -
וישנה עליה רציפה
סיכום:
• מצאנו פתרון כללי לזמן קריסת הגל בהנתן
הפרופיל ,המהירות ותנאי המשטח.
• פתרנו את הבעיה ה"-יותר מציאותית" ומצאנו
פתרון מפורש.
• ראינו את התופעה של גלי הלם והקשרה לגידול
בתלילות הגל.