Transcript מערכות משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

‫מבוא למערכות משוואות דיפרנציאליות‬
‫מסדר ראשון‬
‫פרופ' נח דנא‪-‬פיקארד‬
‫ניסן תשס"ט‬
‫מערכת משוואות מסדר ראשון ‪ -‬פתרון‬
‫‪‬‬
‫פתרון של מערכת המשוואות הדיפרנציאליות הזאת היא ‪– n‬‬
‫איית פונקציות גזירות כך שהצבתן במערכת המשוואות הופכת‬
‫את זאת לזהות‪.‬‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫‪2‬‬
‫דוגמא‬
:‫שני פתרונות‬
 x (t )  e 3t

3t
y
(
t
)

e

 x (t )  e 2 t

2t
y
(
t
)

2
e

3
:‫מערכת משוואת‬
 dx
 dt  4 x  y

dy

 2x  y
 dt
(C) ‫נח ד 'פרופ‬- ‫פ‬
‫דוגמא‪ :‬המודל של ‪Lotka-Volterra‬‬
‫עבור טורף‪-‬נטרף‬
‫‪‬‬
‫ארנבות בהעדר שועלים‪:‬‬
‫‪ aR , a  0‬‬
‫‪dR‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪‬‬
‫שועלים בהעדר ארנבות‪:‬‬
‫‪  cF , c  0‬‬
‫‪dF‬‬
‫‪dt‬‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫‪‬‬
‫כשנפגשים‪:‬‬
‫‪ dR‬‬
‫‪ dt  aR  bRF‬‬
‫‪, a, b, c, g  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪dF‬‬
‫‪‬‬
‫‪  cF  gRF‬‬
‫‪ dt‬‬
‫כאשר )‪ = F(t‬אוכלוסית שועלים‬
‫ו‪ =R(t) -‬אוכלוסית ארנבות‬
‫בזמן ‪.t‬‬
‫‪4‬‬
‫כיצד פותרים את המודל של ‪?Lotka-Volterra‬‬
‫אנליזה במישור פזה‬
‫‪‬‬
‫מבטלים את ‪ t‬ומפרידים‬
‫משתנים‪:‬‬
‫‪dR‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dt  R  a  bF ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dF‬‬
‫‪ dt ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ F c  gR ‬‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫פותרים משוואה פרידה‪:‬‬
‫‪dF‬‬
‫‪ F c  gR ‬‬
‫‪‬‬
‫‪dR‬‬
‫‪‬‬
‫‪R  a  bF‬‬
‫הפתרון הכללי‪:‬‬
‫‪a ln F  bF   c ln R  gR  C , C  R‬‬
‫‪5‬‬
‫דוגמא‪ :‬המודל של ‪Volterra‬‬
‫עבור טורף‪-‬נטרף‬
‫‪‬‬
‫המערכת‪:‬‬
‫‪ dR‬‬
‫‪ dt  2 R  1 . 2 RF‬‬
‫‪‬‬
‫‪dF‬‬
‫‪‬‬
‫‪  F  0 . 9 RF‬‬
‫‪ dt‬‬
‫כאשר )‪ = F(t‬אוכלוסית שועלים‬
‫ו‪ =R(t) -‬אוכלוסית ארנבות‬
‫בזמן ‪.t‬‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫‪6‬‬
‫נקודות שווי משקל‬
‫‪‬‬
‫נתונה מערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון‬
‫‪ dx 1‬‬
‫) ‪ dt  f 1 ( t , x1 ,  , x n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dx n‬‬
‫) ‪ f n ( t , x1 ,  , x n‬‬
‫‪ dt‬‬
‫‪‬‬
‫נקודת שווי משקל היא נקודה ב‪ Rn -‬כך ש‪-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪dx n‬‬
‫‪dt‬‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪dx 1‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪7‬‬
‫ משוואות לינאריות‬:‫מקרה פרטי‬
: ‫נתונה מערכת המשוואות‬

:‫אפשר לכתוב אותה בצורה מטריציאלית‬

 dx 1
 dt  a11 x1 ( t )  a 12 x 2 ( t )  ...  a1 n x n ( t )



 dx n
 a n 1 x1 ( t )  a n 2 x 2 ( t )  ...  a nn x n ( t )

 dt







dx 1 

 a11
 x1 ( t ) 
dt 



   A   , A   
dx n 

 x (t ) 
 n

 a n1
dt 
a12



an2

a1 n 

 

a nn 
| A | 0 ,‫ ורק אם‬,‫( היא נקודת שווי משקל היחידה אם‬0,0,…,0) ‫הראשית‬
8
(C) ‫נח ד 'פרופ‬- ‫פ‬

‫נקודת שווי משקל של המודל של‬
Lotka-Volterra
 dR
 dt  0
 2 R  1 . 2 RF  0
 R ( 2  1 .2 F )  0
 


dF
  F  0 . 9 RF  0
 F (  1  0 .9 R )  0

 0
 dt
R  0, F  0
R 
1
0 .9
9
 1 . 11 , F 
2
:‫כלומר‬
 1 . 67
1 .2
(C) ‫נח ד 'פרופ‬- ‫פ‬
‫או‬
‫גרפים נפרדים‬
‫של הפונקציות המרכיבות את הפתרון‬
‫‪‬‬
‫הגרף של ‪R‬‬
‫‪‬‬
‫הגרף של ‪F‬‬
‫כאשר ‪R(0)=1, F(0)=0.5‬‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫‪10‬‬
‫שני הגרפים ביחד‬
 dR
 dt  2 R  1 . 2 RF

dF

  F  0 . 9 RF
 dt
11
(C) ‫נח ד 'פרופ‬- ‫פ‬
‫‪Phase portrait‬‬
‫‪‬‬
‫תנאים התחלתיים‪:‬‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫אדום‪R(0)=1, F(0)=0.5 :‬‬
‫סגול‪R(0)=1, F(0)=1 :‬‬
‫ירוק‪R(0)=2, F(0)=1 :‬‬
‫‪‬‬
‫פקודת ‪:Maple‬‬
‫‪‬‬
‫המישור )‪ (R,F‬נקרא‬
‫מישור פזה‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫‪12‬‬
‫מקרה חסר משמעות‬
‫‪‬‬
‫סגול‪R(0)=2, F(0)=-1 :‬‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫‪13‬‬
‫טורף‪-‬נטרף‪ :‬מודל שני (לוגיסטי)‬
‫‪‬‬
‫המערכת‪:‬‬
‫‪ dR‬‬
‫) ‪ dt  R ( 2  R  1 . 2 F‬‬
‫‪‬‬
‫‪dF‬‬
‫‪‬‬
‫‪  F  0 . 9 RF‬‬
‫‪ dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫עבור אותם תנאים‬
‫התחלתיים‬
‫נקודת שוויו משקל‪:‬‬
‫‪ 10 20 ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫)‪  (1.11, 0.74‬‬
‫‪9‬‬
‫‪27‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫‪14‬‬
‫גרפים נפרדים‬
‫של הפונקציות המרכיבות את הפתרון‬
‫‪B‬‬
‫לפי המיקומים‬
‫‪D‬‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪15‬‬
‫מערכות משוואות דיפרנציאליות לינאריות‬
‫לא מצומדות לחלוטין‬
‫( ‪)completely decoupled systems‬‬
‫‪‬‬
‫מערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪ dx‬‬
‫‪ dt   2 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪ dt‬‬
‫‪‬‬
‫פתרון כללי‪:‬‬
‫‪, C1  R‬‬
‫‪2 t‬‬
‫‪x ( t )  C 1e‬‬
‫‪t‬‬
‫‪y (t )  C 2 e , C 2  R‬‬
‫‪ ‬תנאי התחלתי‪:‬‬
‫‪x(0)=1, y(0)=1‬‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫‪16‬‬
‫מערכות משוואות דיפרנציאליות לינאריות‬
‫לא מצומדות (‪)decoupled systems‬‬
‫‪‬‬
‫מערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪ dx‬‬
‫‪ dt   2 x  3 y‬‬
‫‪‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪ dt‬‬
‫‪‬‬
‫פתרון כללי‪:‬‬
‫‪2 t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x ( t )  C 1e  3C 2 e‬‬
‫‪, C1 , C 2  R‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y (t )  C 2 e‬‬
‫‪ ‬תנאי התחלתי‪:‬‬
‫‪x(0)=1, y(0)=1‬‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫‪17‬‬
‫התנהגויות שונות מסביב לנקודות שווי משקל‬
‫דוגמא ‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dx‬‬
‫המערכת‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪ dt‬‬
‫הפתרון הכללי‪:‬‬
‫‪ x ( t )   C 1 cos t  C 2 sin t‬‬
‫‪; C1 , C 2  R‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y ( t )  C 2 cos t  C 1 sin t‬‬
‫‪‬‬
‫תנאים התחלתיים‪:‬‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫‪x(0)=1, y(0)=1‬‬
‫‪x(0)=2, y(0)=2‬‬
‫‪x(0)=1, y(0)=2‬‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫‪18‬‬
‫התנהגויות שונות מסביב לנקודות שווי משקל‬
‫דוגמא ‪2‬‬
‫‪‬‬
‫המערכת‬
‫‪ dx‬‬
‫‪ dt   x  4 y‬‬
‫‪‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3x  y‬‬
‫‪ dt‬‬
‫תנאים התחלתיים‪:‬‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫‪‬‬
‫‪x(0)=1, y(0)=1‬‬
‫‪x(0)=2, y(0)=2‬‬
‫‪x(0)=1, y(0)=2‬‬
‫הפתרון הכללי‪:‬‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫‪19‬‬
‫דוגמא‪ :‬תנועת מסה נקודתית המחוברת לקפיץ‬
‫‪harmonic oscillator‬‬
‫‪‬‬
‫משוואה כשאין חיכוך‪:‬‬
‫‪‬‬
‫משוואה עם חיכוך‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ k y‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dt‬‬
‫דהיינו‬
‫‪0‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪d y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ k y - b‬‬
‫‪d y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ky  b‬‬
‫‪d y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ =m‬המסה ‪=k ,‬פרמטר התלוי במאפיינים הפיזיים של‬
‫הקפיץ‪=b ,‬מקדם החיכוך‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫‪20‬‬
‫כיצד פותרים את המשוואה הדיפרנציאלית‬
‫הלינארית מסדר שני הנ"ל בעזרת מערכת‬
‫משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון‬
‫נציב‬
‫‪k‬‬
‫ונקבל‬
‫‪,q ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ qy  0‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dt‬‬
‫נסמן‬
‫‪dy‬‬
‫‪p ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ p‬‬
‫‪d y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪v ‬‬
‫‪dt‬‬
‫ובסוף מקבלים מערכת משוואות דיפרנציאליות‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪‬‬
‫‪v‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪‬‬
‫‪  pv  qy‬‬
‫‪ dt‬‬
‫‪21‬‬
‫מערכות דיפרנציאליות לינאריות מסדר ראשון‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫‪22‬‬
‫מערכות משוואות דיפרנציאליות לינאריות‬
‫מסדר ראשון‪ :‬דוגמאות‬
‫‪‬‬
‫מערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫שני פתרונות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫לכן לכל שני מספרים ממשיים ‪, A1,A2‬‬
‫)‪ A1y1(t)+A2y2(t‬הוא גם פתרון ‪.‬‬
‫פ ‪-‬נח ד 'פרופ )‪(C‬‬
‫‪23‬‬