Transcript הפירמידה במצגת – נמשיך את ההכרות עם הפירמידה . הפירמידה בפירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה צלעות , אורך המקצוע הצדדי ואורך מקצוע הבסיס שווים ל .a א

‫הפירמידה‬
‫במצגת – נמשיך את‬
‫ההכרות עם הפירמידה‪.‬‬
‫הפירמידה‬
‫בפירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה צלעות‪ ,‬אורך המקצוע הצדדי‬
‫ואורך מקצוע הבסיס שווים ל ‪.a‬‬
‫א‪ .‬הביעו באמצעות ‪ a‬את נפח הפירמידה‪. .‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את הזווית בין מקצוע צדדי לבסיס‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשבו את הזווית בין שתי דפנות צדדיות‪.‬‬
‫כל דפנות הפירמידה‬
‫והבסיס הם משולשים‬
‫‪a‬‬
‫שווי צלעות‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪600‬‬
‫הפירמידה‬
‫א‪ .‬נפח הפירמידה‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫נפח פירמידה = שטח בסיס * גובה * ⅓‬
‫‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪600‬‬
‫תחילה נחשב את גובה הפירמידה‬
‫ולאחר מכן את שטח הבסיס‪.‬‬
‫הפירמידה‬
‫א‪ .‬נפח הפירמידה‬
‫‪a‬‬
‫נחשב את גובה הפירמידה‬
‫‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫נוריד מ ‪ M‬אנך לבסיס ‪ABC‬‬
‫‪ MABC‬פירמידה ישרה ‪‬‬
‫משפט הסינוסים ב ‪:ABC‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪600‬‬
‫‪ DC‬רדיוס במעגל החוסם את ‪ABC‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin 600 ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ 2  DC‬‬
‫‪0‬‬
‫‪sin 60‬‬
‫‪a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪DC ‬‬
‫הפירמידה‬
.‫ ישר זווית‬MDC
a
a
600
a
MD2 = a2 – DC2
D
a
 a 
MD2  a 2  

 3
2a 2
MD 
3
2
a
DC 
3
MD 
2
a
3
2
MDC ‫משפט פיתגורס ב‬
‫הפירמידה‬
‫שטח ‪.ABC‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a 2  sin 600‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SABC‬‬
‫לפי נוסחא לשטח משולש‪:‬‬
‫מכפלת שתי צלעות בסינוס‬
‫הזווית שבינהן כפול חצי‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SABC ‬‬
‫‪a2  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪SABC‬‬
‫‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪600‬‬
‫הפירמידה‬
:‫נפח הפירמידה‬
a
a
600
a2  3
2 1
V
a

4
3 3
a
D
a
SABC
h
a3  3 2 1
V


4
3 3
.‫תשובה ל א‬
2
MD 
a
3
SABC
a2  3

4
a3 2
V
12
‫הפירמידה‬
‫ב‪ .‬הזווית בין מקצוע צדדי ובסיס הפירמידה‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫נעזר במה שחישבנו בסעיף א‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪600‬‬
‫הזווית המבוקשת‪MCD :‬‬
‫‪ MDC‬ישר זווית‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪:a ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪cos MCD ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪DC ‬‬
‫הפירמידה‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪:a ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪cos MCD ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪MCD = 54.730‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪600‬‬
‫תשובה ל ב‪.‬‬
‫הזווית בין המקצוע הצדדי והבסיס‪54.730 :‬‬
‫הפירמידה‬
‫ג‪ .‬הזווית בין שתי דפנות צדדיות‪.‬‬
‫נחשב את הזווית בין‬
‫הדפנות ‪ MAB‬ו ‪.MAC‬‬
‫ישר החיתוך בין הדפנות הוא ‪MA‬‬
‫‪a‬‬
‫הפירמידה‬
‫ישר החיתוך בין הדפנות הוא ‪MA‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ BEC‬היא הזווית‬
‫המבוקשת‪.‬‬
‫נוריד מ ‪ B‬אנך ל ‪.MA‬‬
‫‪a‬‬
‫נוריד מ ‪ C‬אנך ל ‪.MA‬‬
‫האנכים נפגשים בנקודה ‪ E‬כיוון שהדפנות הן משולשים שווי צלעות‪ ,‬לכן שני‬
‫האנכים הם גם תיכונים ושניהם יגיעו לאמצע ‪.MA‬‬
‫הפירמידה‬
‫נחשב את גודל ‪ ‬באמצעות משפט הקוסינוסים במשולש ‪BEC‬‬
‫‪EA = ½ a‬‬
‫‪E‬‬
‫‪‬‬
‫‪ BEA‬ישר זווית‬
‫‪BE = a sin600‬‬
‫‪ CEA‬ישר זווית‬
‫‪CE = a sin600‬‬
‫‪600‬‬
‫‪a‬‬
‫משפט הקוסינוסים ב ‪BEC‬‬
‫‪BC2 = BE2 + EC2 – 2.BE.EC.cos‬‬
‫הפירמידה‬
BC2 = BE2 + EC2 – 2.BE.EC.cos
a2 = 2(asin600)2 – 2(asin600)2.cos
E

a2 = 2a2sin2600 – 2a2sin2600.cos
600
a
1 = 2sin2600 – 2sin2600.cos
1 = 2.¾ – 2.¾.cos
-½ = – 1.5cos
BE = CE = a sin600
‫הפירמידה‬
‫‪-½ = – 1.5cos‬‬
‫‪E‬‬
‫⅓ = ‪cos‬‬
‫‪‬‬
‫‪600‬‬
‫‪ = 70.520‬‬
‫‪a‬‬
‫תשובה ל ג‪.‬‬
‫הזווית בין שתי פאות‪70.520 :‬‬