Transcript řešení pravoúhlého trojúhelníku

Goniometrické funkce
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Matematika – 9. ročník
Goniometrické funkce
Sinus ostrého úhlu
𝐶3
𝐶2
𝐶1
·
·
𝐶
·
a
𝐵
·
𝐵1
𝐵2
𝐵3
∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑨𝑩𝟏 𝑪𝟏 ~∆𝑨𝑩𝟐 𝑪𝟐 ~∆𝐀𝑩𝟑 𝑪𝟑 (𝑝𝑜𝑑𝑙𝑒 𝑣ě𝑡𝑦 𝑢𝑢)
platí: 𝐵𝐶 : 𝐴𝐵 = 𝐵1 𝐶1 : 𝐴𝐵1 = 𝐵2 𝐶2 : 𝐴𝐵2 = 𝐵3 𝐶3 : 𝐴𝐵3
Poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu a a délky přepony je
ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný.
𝐴
Tento poměr nazýváme sinus a a zapisujeme 𝐬𝐢𝐧a
=
𝐩𝐫𝐨𝐭𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚
𝐩ř𝐞𝐩𝐨𝐧𝐚
=
𝐚
𝐜
Goniometrické funkce
Kosinus ostrého úhlu
𝐶3
𝐶2
𝐶1
·
·
𝐶
·
a
𝐵
·
𝐵1
𝐵2
𝐵3
∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑨𝑩𝟏 𝑪𝟏 ~∆𝑨𝑩𝟐 𝑪𝟐 ~∆𝐀𝑩𝟑 𝑪𝟑 (𝑝𝑜𝑑𝑙𝑒 𝑣ě𝑡𝑦 𝑢𝑢)
platí: 𝐴𝐶 : 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶1 : 𝐴𝐵1 = 𝐴𝐶2 : 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶3 : 𝐴𝐵3
Poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu a a délky přepony je ve
všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný.
𝐴
Tento poměr nazýváme kosinus a a zapisujeme 𝐜𝐨𝐬a
=
𝐩ř𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚
𝐩ř𝐞𝐩𝐨𝐧𝐚
=
𝐛
𝐜
Goniometrické funkce
Tangens ostrého úhlu
𝐶3
𝐶2
𝐶1
·
·
𝐶
·
a
𝐵
·
𝐵1
𝐵2
𝐵3
∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑨𝑩𝟏 𝑪𝟏 ~∆𝑨𝑩𝟐 𝑪𝟐 ~∆𝐀𝑩𝟑 𝑪𝟑 (𝑝𝑜𝑑𝑙𝑒 𝑣ě𝑡𝑦 𝑢𝑢)
platí: 𝐵𝐶 : 𝐴𝐶 = 𝐵1 𝐶1 : 𝐴𝐶1 = 𝐵2 𝐶2 : 𝐴𝐶2 = 𝐵3 𝐶3 : 𝐴𝐶3
𝐴
Poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu a a délky odvěsny přilehlé
k úhlu a je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný.
Tento poměr nazýváme tangens a a zapisujeme 𝐭𝐠a
=
𝐩𝐫𝐨𝐭𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚
𝐩ř𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚
=
𝐚
𝐛
Goniometrické funkce
Kotangens ostrého úhlu
𝐶3
𝐶2
𝐶1
·
·
𝐶
·
a
𝐵
·
𝐵1
𝐵2
𝐵3
∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑨𝑩𝟏 𝑪𝟏 ~∆𝑨𝑩𝟐 𝑪𝟐 ~∆𝐀𝑩𝟑 𝑪𝟑 (𝑝𝑜𝑑𝑙𝑒 𝑣ě𝑡𝑦 𝑢𝑢)
platí: 𝐴𝐶 : 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶1 : 𝐵1 𝐶1 = 𝐴𝐶2 : 𝐵2 𝐶2 = 𝐴𝐶3 : 𝐵3 𝐶3
𝐴
Poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu a a délky odvěsny protilehlé
k úhlu a je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný.
Tento poměr nazýváme kotangens a a zapisujeme
𝐜𝐨𝐭𝐠a =
𝐩ř𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚
𝐩𝐫𝐨𝐭𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚
=
𝐛
𝐚
Goniometrické funkce
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Za pomoci goniometrických funkcí v libovolném pravoúhlém trojúhelníku
můžeme vypočítat délky zbývajících stran a velikostí vnitřních úhlů tj.
„řešit pravoúhlý trojúhelník“, známe-li:
a) délky dvou stran,
b) délky jedné strany a velikost jednoho vnitřního úhlu.
Zatím jsme uměli vypočítat
v prvním případě délky stran (Pythagorova věta), ale ne úhlů,
v druhém případě velikosti vnitřních úhlů (jejich součet je 180°), ale ne
délky stran.
Goniometrické funkce
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe 𝑩𝑪 = 𝟕, 𝟓 𝒄𝒎,
𝑨𝑪 = 𝟏𝟖𝒄𝒎. Vypočtěte délku zbývající strany a velikosti vnitřních úhlů.
A
𝐵𝐶
𝐵𝐶můžeme určit pomocí
Délku přepony
𝐵𝐶 = 7,5𝑐𝑚
Poněvadž
délky obou
𝑡𝑔aznáme
=
𝑠𝑖𝑛a = věty, ale abychom se
Pythagorovy
𝐴𝐶
𝐴𝐶 = 18 𝑐𝑚
odvěsen můžeme použít pro výpočet 𝐴𝐵
∢𝐵𝐶𝐴 = 90°
𝐴𝐵 = ⋯ 𝑐𝑚
procvičili použijeme některou z
velikosti vnitřních
úhlů
funkce
7,5
goniometrických
𝐵𝐶 = 𝑠𝑖𝑛a ·funkci.
𝐴𝐵 Můžeme si
𝑡𝑔a
=
tangens nebo kotangens. vybrat sinus nebo kosinus.
18
𝐵𝐶
∢𝐵𝐴𝐶 = ⋯ °
∢𝐶𝐵𝐴 = ⋯ °
𝑡𝑔a = 0,416 7
a = 22°40´
b
= 90° −
22°40´vnitřního úhlu
Velikost
druhého
vypočítáme
b = 67°20´ snadno.
𝐴𝐵 =
a
𝑠𝑖𝑛a
7,5
𝐴𝐵 =
𝑠𝑖𝑛22°40´
7,5
𝐴𝐵 =
0,385 4
𝐴𝐵 = 19,5
𝐴𝐵 = 19,5 𝑐𝑚
b
B
·
C
Goniometrické funkce
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe 𝑨𝑩 = 𝟐𝟓 𝒄𝒎,
𝑩𝑪 = 𝟕𝒄𝒎. Vypočtěte délku zbývající strany a velikosti vnitřních úhlů.
A
𝐵𝐶 délkuDélku
𝐴𝐶 můžeme určit
𝐵𝐶 = 7𝑐𝑚
odvěsny
Poněvadž
známe
přepony
a
𝑠𝑖𝑛a =
c𝑜𝑠a Pythagorovy
=
pomocí
věty, ale
odvěsny
můžeme
použít
pro
výpočet
𝐴𝐵
𝐴𝐵
𝐴𝐵 = 25 𝑐𝑚
∢𝐵𝐶𝐴 = 90°
𝐴𝐶 = ⋯ 𝑐𝑚
∢𝐵𝐴𝐶 = ⋯ °
∢𝐶𝐵𝐴 = ⋯ °
se procvičili použijeme
velikosti vnitřních úhlůabychom
funkce sinus
7
𝐴𝐶 =z𝑐𝑜𝑠a
· 𝐴𝐵
některou
goniometrických
funkci.
nebo
kosinus.
𝑠𝑖𝑛a
=
Můžeme si vybrat kosinus (cos a)
25
𝐴𝐶sinus
= 𝑐𝑜𝑠16°16´
nebo
(sin b). · 25
𝑠𝑖𝑛a = 0,28
a = 16°16´
a
𝐴𝐶 = 0,96 · 25
𝐴𝐶 = 24
b
= 90° −
16°16´vnitřního úhlu
Velikost
druhého
vypočítáme snadno.
b = 73°44´
𝐴𝐶 = 24 𝑐𝑚
b
B
·
C
Goniometrické funkce
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe 𝑨𝑩 = 𝟏𝟔 𝒄𝒎,
∢𝑨𝑩𝑪 = 𝟔𝟒°. Vypočtěte délky zbývajících stran a velikost třetího vnitřního úhlu.
A
𝐴𝐵 = 16 𝑐𝑚
∢𝐴𝐵𝐶 = 64°
∢𝐵𝐶𝐴 = 90°
𝐴𝐶 = ⋯ 𝑐𝑚
𝐵𝐶 = ⋯ 𝑐𝑚
∢𝐵𝐴𝐶 = ⋯ °
Poněvadž známe délkuDélku
přepony
odvěsny můžeme určit
𝐴𝐶
𝐵𝐶
a velikosti obou vnitřních
úhlůPythagorovy
pomocí
věty, ale
𝑠𝑖𝑛b =
c𝑜𝑠b =
můžeme 𝐴𝐵
použít pro výpočet
délky
𝐴𝐵
abychom
se procvičili
použijeme
zbývajících stran funkce
sinus nebo
některou
z goniometrických funkci.
𝐴𝐶
=
𝑠𝑖𝑛b
·
𝐴𝐵
𝐵𝐶
= 𝑐𝑜𝑠b · 𝐴𝐵
kosinus.
Můžeme si vybrat sinus (sina) nebo
𝐴𝐶 = 𝑠𝑖𝑛64° · 16 kosinus
𝐵𝐶(cosb).
= 𝑐𝑜𝑠64° · 16
𝐴𝐶 = 16 · 0,898 8
𝐵𝐶 = 0,438 4 · 16
a = 90° − 64°
𝐴𝐶 = 14,4
𝐵𝐶 = 7
a = 26°
𝐴𝐶 = 14,4 𝑐𝑚
𝐵𝐶 = 7 𝑐𝑚
Velikost druhého vnitřního úhlu
vypočítáme snadno.
b
B
a
·
C
Goniometrické funkce
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe 𝑨𝑪 = 𝟐, 𝟖 𝒅𝒎,
∢𝑨𝑩𝑪 = 𝟓𝟖°𝟐𝟎´. Vypočtěte délky zbývajících stran a velikost třetího vnitřního úhlu.
𝐴𝐶 = 2,8 𝑑𝑚
∢𝐴𝐵𝐶 = 58°20´
∢𝐵𝐶𝐴 = 90°
𝐴𝐵 = ⋯ 𝑑𝑚
𝐵𝐶 = ⋯ 𝑑𝑚
∢𝐵𝐴𝐶 = ⋯ °
Poněvadž známe délku Délku
odvěsny
přepony můžeme určit pomocí
a velikosti obou vnitřních
úhlů
2+|AC|2
|AB|2=|BC|věty,
Pythagorovy
tak to také jednou
𝐵𝐶
můžeme
použít
pro
výpočet
délky
zkusíme.
𝑡𝑔a =
zbývajících
𝐴𝐶 stran libovolné|AB|2=1,72+2,82
goniometrické funkce, podle toho
|AB|2=2,89+7,84
𝐵𝐶
= 𝑡𝑔a · 𝐴𝐶
zda budeme počítat druhou odvěsnu
(funkce
tangens ·nebo
či
𝐵𝐶
= 𝑡𝑔31°40´
2,8 kotangens)
|AB|2=10,73
přeponu (funkce sinus nebo
kosinus).
𝐵𝐶
= 2,8 · 0,616 8
AB =
A
a
10,73
a = 90° − 58°20´
𝐵𝐶 = 1,7
AB = 3,3
a = 31°40´
𝐵𝐶 = 1,7𝑑𝑚
𝐴𝐵 = 3,3 𝑑𝑚
Velikost druhého vnitřního úhlu
vypočítáme snadno.
b
B
·
C
Goniometrické funkce
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Sestrojte bez úhloměru úhel o velikosti 72°.
∢𝐵𝐴𝐶 = 72°
𝑡𝑔a =
Využijeme funkci tangens
C
Vnitřní úhel BAC (a) je 72°, protože:
𝐵𝐶
𝐴𝐵
30,78
10
Určíme si tg 72°
𝑡𝑔72° =
tg 72° = 3,078
𝑡𝑔72° = 3,078
Sestrojíme pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mají délku
10 jednotek (libovolných) a 30,78 jednotek (stejných).
30,78 j
a
A
·
10 j
B
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 1
Pravoúhlý trojúhelníku ABC má pravý úhel u vrcholu C. Vypočítejte velikost jeho
ostrých úhlů, je-li dáno: a = 62 mm, b = 37 mm.
a = 59°; b = 31°
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 2
Pravoúhlý trojúhelníku ABC má pravý úhel u vrcholu C. Vypočítejte velikost jeho
ostrých úhlů, je-li dáno: a = 36 mm, c = 58 mm.
a = 38°; b = 52°
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 3
Pravoúhlý trojúhelníku ABC má pravý úhel u vrcholu C. Vypočítejte výšku na přeponu,
je-li dáno: a = 6,4 cm, b = 5,2 cm.
v = 4 cm
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 4
V obdélníku ABCD vypočítejte velikost úhlu, který svírá úhlopříčka a strana a, je-li
dáno: a = 62 mm, b = 34 mm.
a = 29°
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 5
V obdélníku ABCD je dáno: a = 63 mm, b = 25 mm a body E a F rozdělují stranu CD na
třetiny. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů trojúhelníku AEF.
19°, 31°, 130°
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 6
Vypočítejte velikost vnitřních úhlů rovnoramenného trojúhelníku, je-li dáno: délka
ramene 8,5 cm a výška na základnu 6,8 cm.
a = b = 53°, g = 74°
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 7
Ve čtverci ABCD (a = 8 cm) je bod E střed strany BC a bod F střed strany CD.
Vypočítejte velikost vnitřních úhlů trojúhelníku AEF.
37°,°71°30´, 71°30´
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 8
V pravoúhlém lichoběžníku ABCD jsou a a c a b = 90°. Vypočítejte velikost úhlu a, je-li
dáno: a = 10,6 cm, b = 7,1 cm, d = 8,9 cm.
a = 53°
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 9
Jak velký středový úhel přísluší tětivě dlouhé 64 mm, která je sestrojena v kružnici o
poloměru 10 cm?
a = 37°
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 10
Z bodu R jsou sestrojeny tečny ke kružnici o průměru 72 mm. Úhel, který svírají, má
velikost 72°.Vypočítejte vzdálenost bodu R od středu kružnice.
61 mm