Transcript Kolmé hranoly, jejich objem a povrch

Kolmé hranoly,
jejich objem a povrch
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Kolmé hranoly
a jejich vlastnosti
boční stěny
Kolmé hranoly mají čtvercové nebo
obdélníkové boční stěny
Kolmé hranoly
a jejich vlastnosti
boční hrany
hrany podstavy
Kolmé hranoly mají boční hrany navzájem rovnoběžné
a kolmé k podstavám
-
Pravidelný hranol
hranol, jehož podstavu tvoří pravidelný
mnohoúhelník
Pravidelný čtyřboký
kolmý hranol
Pravidelný šestiboký
kolmý hranol
Na obrázku je čtyřboký kolmý hranol ABCDEFGH.
Urči jeho:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
H
ABCD
dolní podstavu
horní podstavu
EFGH
E
hrany dolní podstavy AB,BC,CD,DA
boční hrany
AE, BF, CG, DH
boční stěny
D
ABFE, BCGF, CDHG, ADHE
stěnové úhlopříčky
A
AF, BE, CF, BG, CH, DG, AH, DE
tělesové úhlopříčky AG, BH, CE, DF
G
F
C
B
Síť hranolu
Síť hranolu sestrojíme tak, že všechny jeho
stěny zakreslíme do jedné roviny takovým
způsobem, že např. po vystřižení z papíru
bude možné vytvořit model příslušného
hranolu.
Kolmé hranoly
a jejich vlastnosti
horní podstava
dolní podstava
Kolmé hranoly mají dvě rovnoběžné podstavy
tvaru mnohoúhelníku
Úlohy na procvičení
1. Sestrojte síť krychle s hranou délky 3 cm.
2. Sestrojte síť kvádru o délkách hran 3 cm; 4 cm
3.
4.
a 5 cm.
Sestrojte síť pravidelného čtyřbokého hranolu,
je-li podstavou čtverec o délce strany 4 cm
a výška hranolu je 6 cm.
Sestrojte síť hranolu vysokého 3,5 cm
s podstavou na obrázku:
4 cm
Povrch hranolu
- součet obsahů všech jeho stěn
- obsah jeho sítě
Stěny hranolu:
- horní a dolní podstava
- boční stěny = plášť hranolu
S = 2 . Sp + Spl
Sp – obsah podstavy
Spl – obsah pláště
Poradíte si?
1. Vypočítejte povrch krychle s hranou délky 2,5 cm.
2. Vypočítejte povrch kvádru s délkami hran 2 dm;
3.
4.
3 dm a 6 dm.
Podstava kolmého hranolu je pravoúhlý
trojúhelník s délkami odvěsen 5 cm a 12 cm
a přeponou 13 cm. Výška hranolu je 30 cm.
Vypočítejte povrch hranolu.
Vypočítejte povrch hranolu
na obrázku, rozměry jsou v m. 5
4
5
8
6
Řešení úlohy č. 1
a = 2,5 cm
S=6.a.a
S = 6 . 2,5 . 2,5
S = 37,5 cm2
Řešení úlohy č. 2
a = 2 dm
b = 3 dm
c = 6 dm
S = 2 . (a . b + a . c + b . c)
S = 2 . (2 . 3 + 2 . 6 + 3 . 6)
S = 2 . 36 = 72 dm2
Sp =
a.b
Sp =
5.12
Řešení úlohy č. 3
2
2
Sp = 30 cm2
Spl = a . v + b . v + c . v
Spl = 5 . 30 + 12 . 30 + 13 . 30
Spl = 150 + 360 + 390
Spl = 900 cm2
S = 2 . Sp + Spl = 2 . 30 + 900
S = 930 cm2
v
a
b
Řešení úlohy č. 4
Kvádr:
a = 6 m; b = 8 m; c = 5 m
S1 = a . b + 2 . a . c + 2 . b . c
S1 = 6 . 8 + 2 . 6 . 5 + 2 . 8 . 5
S1 = 48 + 60 + 80
2 obdélníky:
S1 = 188 m2
S=2.8.5
5
5
3
2 trojúhelníky:
S2 = a . va
S2 = 6 . 4
S2 = 24 m2
4
S3 = 80 m2
Celkem:
S = S1 + S2 + S3
S = 188 + 24 + 80
S = 292 m2
8
6
Objem hranolu
= obsah podstavy . výška hranolu
V = Sp . v
Sp
Sp
Tak se vyzkoušejte…
1. Vypočítejte objem čtyřbokého hranolu, jehož podstavou
2.
3.
je kosočtverec s délkami úhlopříček 8 cm a 5,2 cm.
Výška hranolu je 7 cm.
Podstavou trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník,
jehož odvěsny mají délky 6 dm a 0,8 m. Výška hranolu
je 200 cm. Vypočítejte objem hranolu.
Kolmý řez trámu je lichoběžník, jehož základny mají
délky 16 cm a 20 cm a výška má délku 1,5 dm.
Vypočítejte objem trámu, je-li dlouhý 10 m.
Řešení úlohy č. 1
Podstava – kosočtverec:
u1 = 8 cm ; u2 = 5,2 cm
Sp =
u 1 .u 2
Sp =
8.5,2
2
2
Sp = 20,8 cm2
V = Sp . v
V = 20,8 . 7
V = 145,6 cm3
Objem daného hranolu je 145,6 cm3.
Řešení úlohy č. 2
Podstava – pravoúhlý trojúhelník:
a = 6 dm; b = 8 dm
a.b
Sp =
6 dm
2
Sp = 2
Sp = 24 dm2
6.8
V = Sp . v
V = 24 . 20
8 dm
V = 480 dm3
Objem daného hranolu je 480 dm3.
Řešení úlohy č. 3
16 cm
Lichoběžník:
a = 20 cm
c = 16 cm
v = 15 cm
Sp =
a  c .v
Sp =
20
2
 16 .15
2
Sp = 270 cm2
15 cm
20 cm
V = Sp . v
V = 270 . 1000
V = 270 000 cm3
V = 270 dm3
Objem trámu je 270 dm3.
Hmotnost tělesa
- vypočítáme tak, že jeho objem vynásobíme
hustotou látky, ze které je těleso zhotoveno
m=V.
m … hmotnost tělesa
V … objem tělesa
 - hustota látky
Opět malá rozcvička…
1. Hala má rozměry 50 m, 12 m a 6,4 m. Jaká je hmotnost
vzduchu v hale, jestliže hmotnost 1 m3 vzduchu
je 1,293 kg?
2. Vypočítej hmotnost dřevěného kvádru s rozměry
4,5 dm, 35 cm a 0,2 m, je-li hustota dřeva 700 kg/m3.
3. Vypočítej hmotnost skleněného trojbokého hranolu, jehož
podstavu tvoří rovnoramenný trojúhelník o délce základny
5,6 cm a k ní příslušné výšce 6,5 cm, jestliže výška
hranolu je 8,9 cm. Hustota skla je 2,2 g/cm3.
4. Vypočítej hmotnost čtyř betonových kvádrů, na kterých je
postaven můstek. Rozměry kvádrů jsou 0,8 m, 1,1 m
a 2,5 m. Hustota betonu je 2 000 kg/m3.
Řešení úlohy č. 1
Kvádr:
a = 50 m
b = 12 m
c = 6,4 m
V=a.b.c
V = 50 . 12 . 6,4
V = 3 840 m3
 = 1,293 kg/m3
m=V.
m = 3 840 . 1,293
m = 4 965,12 kg
Hmotnost vzduchu v hale je přibližně 5 tun.
Řešení úlohy č. 2
Kvádr:
a = 0,45 m
b = 0,35 m
c = 0,2 m
V=a.b.c
V = 0,45 . 0,35 . 0,2
V = 0,0315 m3
 = 700 kg/m3
m=V.
m = 0,0315 . 700
m = 22,05 kg
Hmotnost dřevěného kvádru je 22,05 kg.
Řešení úlohy č. 3
Podstava:
a = 5,6 cm
va = 6,5 cm
a.v
Sp = 2
a
Sp =
5,6.6,5
2
Sp = 18,2 cm2
v = 8,9 cm
V = Sp . v
V = 18,2 . 8,9
V = 161,98 cm3
m=V.
m = 161,98 . 2,2
m = 356,356 g
Hmotnost skleněného kvádru
je 356,356 gramů.
Řešení úlohy č. 3
Kvádr:
a = 0,8 m
b = 1,1 m
c = 2,5 m
V=a.b.c
V = 0,8 . 1,1 . 2,5
V = 2,2 m3
1 kvádr:
 = 2 000 kg/m3
m=V.
m = 2,2 . 2 000
m = 4 400 kg
4 kvádry:
4 . 4 400 = 17 600 kg
Hmotnost betonových kvádrů je 17 600 kg.
Na shledanou!