TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Poznámky ve formátu PDF

Mgr. Martina Fainová

JEHLAN

Jehlanová plocha, prostor

n

-boká jehlanová plocha = sjednocení všech přímek, které procházejí bodem

V

a protínají hranici mnohoúhelníku

A 1 A 2 …A n

;

V

neleží v rovině mnohoúhelníka

n

-boký jehlanový prostor = sjednocení všech přímek, které procházejí bodem V a protínají mnohoúhelník

A 1 A 2 …A n

JEHLAN (n boký)

= průnik

n

-bokého jehlan. prostoru a vrstvy, jejíž jedna rovina má s prostorem společný bod - V = těleso, jehož podstavou je mnohoúhelník a boční stěny jsou trojúhelníky (se společným vrcholem) V vrchol jehlanu tloušťka vrstvy = výška jehlanu mnohoúhelník = podstava jehlanu

JEHLAN - pojmy

výška jehlanu – vzdálenost vrcholu od roviny podstavy (

v

) V výška jehlanu podstava ( ABCDE ): její vrcholy = vrcholy podstavy její strany = podstavné hrany plášť jehlanu – sjednocení všech bočních stěn boční stěny = trojúhelníky obsahující vrchol boční hrany = spojnice V a vrcholů podstavy E A D B stěnová

?

C

Druhy jehlanů

Kolmý jehlan

– spojnice středu podstavy a vrcholu kolmá k podstavě

Kosý jehlan

– jehlan, který není kolmý

Pravidelný n-boký jehlan

– kolmý, jehož podstavou je pravidelný

n

-úhelník – boční stěny jsou shodné rovnoramenné trojúhelníky – všechny boční stěny mají stej. odchylku od podstavy

Čtyřstěn

– těleso ohraničené 4 trojúhelníkovými stěnami

Čtyřstěn

= mnohostěn s nejmenším počtem stěn – jeden trojúhelník podstavou  trojboký jehlan – všechny 4 těžnice se protínají v jednom bodu -

těžišti

– v těžišti se protínají také spojnice středů protěj. stran – vzdálenost těžiště od vrcholu jsou ¾ délky těžnice

Pravidelný čtyřstěn

= čtyřstěn, jehož všechny stěny jsou shodné rovnostranné trojúhelníky

Další pravidelné mnohostěny

Cvičení

Př. 1: Pravidelný čtyřboký jehlan má podstavnou hranu

a

= 20 cm a boční hranu délky 26 cm. Vypočtěte jeho výšku a odchylku stěn a roviny podstavy.

v = 21,8 cm,



= 65



23´

Př. 2: Odvoďte vzorec pro výpočet výšky pravidelného

n

-bokého jehlanu, je-li délka podstavné hrany

a

a délka boční hrany

b

.

v

 4

b

2 sin 2  

a

2 

n

Př. 3: 2 sin Vypočtěte délku boční hrany pravidelného šestibokého jehlanu, jehož výška i podstav. hrana mají stejnou délku.

a n

 2

Objem a povrch jehlanů

Objem

= kladné reálné číslo, jednotky: m 3 , cm 3 , mm 3

V

 1 3 

S p



v

S p

- obsah podstavy

v

- výška jehlanu

Povrch

= obsah jeho hranice, jednotky: m 2 , cm 2 , mm 2

S



S p



S pl

S p

- obsah podstavy

S pl

- obsah pláště

Cvičení

Př. 1: Př. 2: Kolik m 2 pozink. plechu se spotřebuje na pokrytí střechy věže, která má tvar pravid. čtyřbokého jehlanu, hrana podstavy je 6 m, výška věže je 9 m. Při pokrývání se počítá s 5 % odpadem plechu?

119,7 m

Je dán pravidelný čtyřboký jehlan. Určete jeho objem, víte-li, že obsah podstavy je 42,25 cm 2

2

a délka boční hrany 7,5 cm.

83,5 cm 3

Př. 3: Délka všech hran pravidelného čtyřbokého jehlanu je 36 cm. Vypočtěte jeho objem a povrch. Jak se změní objem, zmenšíme-li hrany na polovinu?

V = 11 dm 3 , S = 35 dm 2 , zmenší se 8



Cvičení

Př. 4: Př. 5: Je dán pravidelný šestiboký jehlan. Určete jeho objem a obsah pláště, víte-li, že poloměr kružnice opsané podstavě je 1,8 m a výška 24 dm.

V = 6,74 m 3 , S pl = 15,44 m 2

Vypočítejte výšku kolmého trojbokého jehlanu s objemem 87,4 cm 3 , mají-li podstav. hrany délky 4 cm, 10 cm a 12 cm.

asi 14 cm

Př. 6: Pravid. čtyřboký jehlan má délku podst. hrany 6 dm a stěnovou výšku 50 cm. Vypočítejte velikost odchylky boční stěny od roviny podstavy a velikost odchylky boční hrany od roviny podstavy

53°, 43°