Transcript Goniometrické funkce

Goniometrické funkce
Kotangens ostrého úhlu
Matematika – 9. ročník
Pravoúhlý trojúhelník
Co už víme
C
·
odvěsna
A
odvěsna
přepona
B
Strany pravoúhlého trojúhelníku
Pravoúhlý trojúhelník
Co už víme
𝒂 𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄 𝟐
C
·
odvěsna
odvěsna
a
b
A
přepona
c
B
Pythagorova věta
Pravoúhlý trojúhelník
Co už víme
C
·
·
A
S
B
c
·
·
Thaletova věta
Množinou vrcholů všech pravoúhlých
trojúhelníků s přeponou AB je kružnice k
s průměrem AB mimo bodů A a B.
Pravoúhlý trojúhelník
C
·
přilehlá
odvěsna
k úhlu a
protilehlá
odvěsna
k úhlu a
b
a
a
A
přepona
c
B
Strany pravoúhlého trojúhelníku
Pravoúhlý trojúhelník
C
·
protilehlá
odvěsna
k úhlu b
přilehlá
odvěsna
k úhlu b
a
b
b
A
přepona
c
B
Strany pravoúhlého trojúhelníku
Podobnost trojúhelníků
Kotangens ostrého úhlu
𝐶3
𝐶2
𝐶1
·
·
𝐶
·
a
𝐵
·
𝐵1
𝐵2
𝐵3
∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑨𝑩𝟏 𝑪𝟏 ~∆𝑨𝑩𝟐 𝑪𝟐 ~∆𝐀𝑩𝟑 𝑪𝟑 (𝑝𝑜𝑑𝑙𝑒 𝑣ě𝑡𝑦 𝑢𝑢)
platí: 𝐴𝐶 : 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶1 : 𝐵1 𝐶1 = 𝐴𝐶2 : 𝐵2 𝐶2 = 𝐴𝐶3 : 𝐵3 𝐶3
𝐴
Poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu a a délky odvěsny protilehlé
k úhlu a je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný.
Tento poměr nazýváme kotangens a a zapisujeme
𝐜𝐨𝐭𝐠a =
𝐩ř𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚
𝐩𝐫𝐨𝐭𝐢𝐥𝐞𝐡𝐥á 𝐨𝐝𝐯ě𝐬𝐧𝐚
=
𝐛
𝐚
Kotangens ostrého úhlu
Pravoúhlý trojúhelník ABC má délky stran: a = 9 cm; b = 12 cm;
c = 15 cm. Určete cotg a a cotg b .
co𝑡𝑔 a =
C
přilehlá
protilehlá b
odvěsna
k úhlu b
a
·
protilehlá
přilehlá
odvěsna
k úhlu a
b
a
b
a
A
přepona c
b
𝑏
𝑎
12
9
4
𝑐𝑜𝑡𝑔a =
3
𝑐𝑜𝑡𝑔a =
𝑐𝑜𝑡𝑔a = 1,333
B
𝑎
𝑐𝑜𝑡𝑔b =
𝑏
9
12
3
𝑐𝑜𝑡𝑔b =
4
𝑐𝑜𝑡𝑔b =
𝑐𝑜𝑡𝑔b = 0,75
Funkce y = cotg x
Každému ostrému úhlu přísluší právě jedna hodnota kotangens.
Kotangens ostrého úhlu je číslo, které je vždy větší
než 0 a shora není omezeno. Proč?
Protože délky odvěsen jsou libovolná kladná čísla.
Předpis, který přiřazuje každému ostrému úhlu jeho hodnotu
kotangens se nazývá funkce kotangens a zapisuje se y = cotg x.
Definiční obor funkce y = cotg x  D(f) = (0°; 90°),
obor hodnot H(f) = (0;+∞) (platí pro ostré úhly)
Sestrojte graf funkce y = cotg x
Graf funkce y = cotg x
Sestrojte graf funkce y = cotg x
cotg a
6
5,5
a
10°
cotg a 5,67
5
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
2,75 1,73 1,19 0,84 0,58 0,36 0,18
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
O
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°
a
Graf funkce y = cotg x
Grafem funkce
y = cotg x je
kotangentoida.
Pro funkci s definičním oborem
D(f) = (0°; 90°) je grafem její část.
Pro funkci s definičním oborem
D(f) = R – 2k·90°, kde k ∈ Z
(sudé násobky) má tvar.
Funkce y = cotg x
Tabulka základních funkčních hodnot funkce y = cotg x
a
𝐜𝐨𝐭𝐠 a
0°
30°
𝟑
45°
60°
90°
𝟏
𝟑
𝟑
𝟎
Ostatní hodnoty lze určit z grafu funkce, nalézt v tabulkách,
určit pomocí kalkulačky či dohledat na Internetu.
Například:
http://www.aristoteles.cz/matematika/funkce/goniometricke/tabulka-hodnot-funkci-sinus-cosinus.php
Kotangens ostrého úhlu
Příklady
1. Urči: a) cotg 62° = 0,532
(výsledky zaokrouhli na tři desetinná místa)
b) cotg 52°40´ = 0,763
·
c) cotg 28°17´ = cotg 28°20´ = 1,855
·
cotg 81°20´ = 0,152
d) cotg 81,3° = cotg 81°18´ =
2. Urči velikost úhlu a, když:
a) cotg a = 0,249 3
a = 76°
b) cotg a = 1,206
a = 39°40´
c) cotg a = 0,789 8 a = 51°40´
d) cotg a = 12,717
a = 4°30´