Transcript Goniometrické funkce Sinus Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Goniometrické funkce
Sinus
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Goniometrické funkce
Goniometrické funkce ostrého úhlu
Pravoúhlý trojúhelník
úhel a:
B
c – přepona
b
c
a
a – protilehlá odvěsna
a
C
b
A
b – přilehlá odvěsna
Úkol
Pojmenuj názvy stran  ABC vzhledem k úhlu b.
SINUS
Sinus (sin) vnitřního ostrého úhlu libovolného
pravoúhlého trojúhelníku je poměr délky
protilehlé odvěsny tohoto úhlu k délce přepony.
B
b
sin α 
c
a
a
C
b
Úkol
Zapiš sinus úhlu b.
a
c
A
sin β 
b
c
SINUS
Každému ostrému úhlu přísluší právě jedna
hodnota funkce sinus.
Poznámka: sinus ostrého úhlu je vždy menší než
jedna. Zdůvodni proč?
Protože délka odvěsny je vždy menší než délka
přepony  a:c < 1 (pro úhel a)
Úkol
Sestrojte graf funkce sinus.
(použij tabulky, kalkulačku, milimetrový papír)
SINUS
a
0°
10°
20°
30°
40°
sina
0
0,17 0,34
0,5
0,64 0,77 0,87 0,94 0,98
50°
60°
70°
80°
90°
1
sina
1
Grafem funkce sinus je
sinusoida.
0,5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
a
SINUS
Jednotková kružnice
1 jednotka = 1 dm
sin 90°
sin 60°
sin 45°
1
sin 30°
1
SINUS
Úkol
Odvoď hodnoty funkce sinus pro úhly 30°, 45°
a 60°. (Návod: použij rovnostranný a rovnoramenný pravoúhlý .)
rovnostranný 
 BCS:
a
C
sin30   2
a
30° 30°
a
vv 
60°
A
a/2
 BCS:
3
2
a
a
sin30  
60°
S
a/2
B
sin30  
a
2a
1
2
v věta
Pythagorova
sin60  
a 2
a2 = v2 + (a/2)
v2 = a2 - (a/2)23
a
2
2
2
v = a - a /42
sin60  
v2 = 3/4 a2 a
3
3
v sin60

a

2
2
SINUS
rovnoramenný pravoúhlý 
 ABC:
C
a
45° 45°
Pythagorova věta
c2 = a2 + a2
c2 = 2a2
a
v
45°
A
45°
c/2
S
c
 BCS:
c/2
c 
2a
B c a 2
c
sin45   2
a
a 2
2
sin45  
sin45  
sin45  
2
a
a 2
2a
2
2
SINUS
Tabulka důležitých hodnot funkce sinus
a
sin a
0°
0
30°
45°
1
2
2
2
60°
3
2
90°
1
PŘÍKLADY
1. Vypočítejte velikosti úhlů v pravoúhlém ,
jehož strany mají délky 3, 4 a 5 cm.
2. Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů a délky
stran rovnoramenného  ABC, jestliže
známe: délku ramene 12 cm a velikost
vrcholového úhlu 32°.
PŘÍKLADY
3. Lanová dráha na Petřín v Praze má délku
400 m. Hořejší stanice leží o 106 metrů výše
než dolejší. Určete úhel stoupání.
4. Vypočítejte objem balonku tvaru koule, který
uvidíme z místa A vzdáleného od jeho
středu 30 cm v zorném úhlu 60°. Výsledek
vyjádři v litrech.
4

3 
 V  πr 
3


ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 1
B
b
5
3
sin α 
a
C
4
A
sin α 
a
c
c
3
4
5
Zkouška:
a + b  90°
36°52´
53° 8´
89°60´=
sin β 
b
sin β 
5
sin α  0,6
sin β  0,8
α  36  52´
β  53  8´
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 2
c
C
sin 16   2
a
c
a
16
°a = 12 cm
32
°
v
A
S c/2 B
c
2
c
2
 12 . sin 16 
 3,3
c  6,6
cm
(180°- 32°) : 2 = 74°
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 3
H
sin α 
106 m
a
D
106
400
sin α  0,265
M
α  15  22´
Úhel stoupání lanové dráhy je asi
15°22´.
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 4
V 
T
r
r
3
30
4
r  30 . sin 30 
60°
A
sin 30  
30 cm
S
4
V 
3
πr
3
. 3,14 . 15
r  30 . 0,5
V  14137,167c
r  15 cm
V  14 dm
Objem balonku je asi 14 litrů.
3
l 
3
m
3