Transcript ŘEŠENÍ TROJÚHELNÍKŮ Mgr. Martina Fainová POZNÁMKY ve formátu PDF TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR.

ŘEŠENÍ
TROJÚHELNÍKŮ
Mgr. Martina Fainová
POZNÁMKY ve formátu PDF
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Řešení trojúhelníka
= určení základních prvků  ze zadaných prvků
1) pravoúhlý 
 Pythagorova věta
 Euklidovy věty
(o výšce, o odvěsně)
 goniometrické funkce
2) obecný 
 Sinová věta
 Kosinová věta
trigonometrie = početní metody řešení  užitím
goniometrických funkcí
Pythag. věta a goniom. fce
- pro pravoúhlý ABC s přeponou c
Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou  je roven
součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami.
c2 = a 2 + b2
Sinus úhlu = protilehlá odvěsna / přepona
Kosinus úhlu = přilehlá odvěsna / přepona
Tangens úhlu = protilehlá odv. / přilehlá odv.
Kotangens úhlu = přilehlá odv. / protilehlá odv.
Euklidovy věty
- pro pravoúhlý ABC s přeponou c
Euklidova věta o výšce:
Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého  je roven
obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků přepony.
v 2 = ca  c b
Euklidova věta o odvěsně:
Obsah čtverce sestroj. nad odvěsnou pravoúhlého  je roven obsahu
obdélníka sestroj. z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.
v 2 = ca  c b
Cvičení:
Příklad 1: V rovnostranném ABC o straně délky a určete
velikost výšky.
Příklad 2: Ve čtverci ABCD o straně délky a určete
velikost úhlopříčky.
Příklad 3: V kvádru o hranách délky a, b, c určete velikost
tělesové úhlopříčky.
Příklad 4: Rozhodněte, zda každý , jehož strany mají
délky 2n, n2 + 1, n2 - 1 je pravoúhlý.
Příklad 5: Je dána kružnice k(S, r = 5 cm).Vypočtěte délku
tětivy AB na sečně, která je od středu S vzdálena
3 cm. (Pyth. věta)
Cvičení:
Příklad 6: Vypočítejte zbývající prvky (a,b,c,ca,cb,v,,)
v pravoúhlém ABC, je-li dáno:
a) c = 10 cm, ca = 7 cm
b) a = 5 cm, ca = 4 cm
c) b = 5 cm, c = 13 cm
Příklad 7: Obdélník ABCD má rozměry a, b. V jakém
poměru rozděluje úhlopříčku BD bod M, který je
patou kolmice z bodu A na přímku BD?
Příklad 8: Užitím Euklidovy věty o odvěsně sestrojte
úsečky o délce 15 a 8.
Obvod a obsah trojúhelníka
OBVOD :
o=a+b+c
o = 3a pro rovnostranný 
OBSAH :
1
1
1
S  a  va  b  vb  c  vc
2
2
2
vyjádření výšek pomocí
hran 
a vnitřních úhlů
?
1
1
1
S  a  b  sin   b  c  sin   a  c  sin 
2
2
2
Obsah trojúhelníka
Heronův vzorec:
1
S  ss  a s  b s  c ; s  a  b  c 
2
Příklad: Odvoďte vzorce pro obsah
pravoúhlého a rovnostranného .
1
S  a b
2
Příklad: Odvoďte vzorce pro obsah obecného ,
je-li dán poloměr kružnice opsané a vepsané.
abc
S
4r
 abc
S   

2


Cvičení:
Příklad 1: Vypočtěte obvod a obsah  o stranách a = 8 cm,
b = 11 cm, c = 13 cm.
Příklad 2: Dopočítejte zbývající strany a úhly v pravoúhlém
ABC, je-li dáno S = 230 cm2, c = 29 cm.
Příklad 3: Vypočtěte strany  o obsahu 84 cm2, platí-li
a:b:c = 10:17:21.
Příklad 4: Vypočtěte obvod a obsah , je-li dáno:
a = 56,28 m, c = 34,75 m,  = 6324´
Příklad 5: Základna rovnoramenného  je 20 cm, obsah je
240 cm2. Vypočítejte obvod tohoto trojúhelníku.
Cvičení:
Příklad 6: Vypočtěte délky stran pravoúhlého  ABC
s přeponou c, je-li ta = 10 cm, tb = 410 cm.
Příklad 7: Vypočtěte obsah rovnoramenného , jehož
základna má délku 10 cm a rameno je o 3 cm
delší než základna.
Příklad 8: Vypočtěte délku strany rovnostranného , který
má stejný obsah jako daný pravoúhlý trojúhelník
s odvěsnami a, b.
Příklad 9: Trojúhelníky ABC a A´B´C´ jsou podobné
s poměrem podobnosti k. Co platí o poměru
jejich obvodů a obsahů: