Transcript Funkce kosinus

Goniometrické funkce
Kosinus
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Goniometrické funkce
Goniometrické funkce ostrého úhlu
Pravoúhlý trojúhelník:
úhel a:
B
c – přepona
b
c
a
a – protilehlá odvěsna
a
C
b
A
b – přilehlá odvěsna
Úkol
Pojmenuj názvy stran  ABC vzhledem k úhlu b.
KOSINUS
Kosinus (cos) vnitřního ostrého úhlu libovolného
pravoúhlého trojúhelníku je poměr délky přilehlé
odvěsny tohoto úhlu k délce přepony.
B
b
cos α 
c
a
a
C
b
Úkol:
Zapiš kosinus úhlu b.
A
cos β 
b
c
a
c
KOSINUS
Každému ostrému úhlu přísluší právě jedna
hodnota funkce kosinus.
Poznámka: Kosinus ostrého úhlu je také vždy
menší než jedna. Zdůvodni proč?
Protože délka odvěsny je vždy menší než délka
přepony  b:c < 1 (pro úhel a)
Úkol
Sestrojte graf funkce kosinus.
(použij tabulky, kalkulačku, milimetrový papír)
KOSINUS
a
0°
10°
50°
60°
70°
cosa
1
0,98 0,94 0,87 0,77 0,64
0,5
0,34 0,17
20°
30°
40°
80°
90°
0
cosa
1
Grafem funkce kosinus je
kosinusoida.
0,5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
a
KOSINUS
Jednotková kružnice
1
cos 60°
1
cos 45°
cos 30°
cos 0°
KOSINUS
Úkol
Odvoď hodnoty funkce kosinus pro úhly 30°, 45°
a 60°. (Návod: Použij rovnostranný a rovnoramenný pravoúhlý .)
rovnostranný 
 BCS:
C
cos30  
vv 
60°
A
a/2
3
2
a
cos30  
a
60°
S
v
a
3
30° 30°
a
 BCS:
a/2
B
cos30  
2
a
3
2
a
Pythagorova věta
2
2
2
2
cos60


a = v + (a/2)
a
v2 = a2 - (a/2)2
a 2
a
2 - a2/4
v =
a
cos60  
2a
v2 = 3/4 a2
1
3
v cos60a  
2
2
KOSINUS
rovnoramenný pravoúhlý 
C
a
45° 45°
Pythagorova věta
c2 = a2 + a2
c2 = 2a2
a
c 
v
45°
A
45°
c/2
S
c
 BCS:
 ABC:
c/2
2a
B c a 2
c
cos45   2
a
a 2
2
cos45  
cos45  
cos45  
2
a
a 2
2a
2
2
KOSINUS
Tabulka důležitých hodnot funkce kosinus
a
cos a
0°
0
30°
3
2
45°
60°
2
1
2
2
90°
1
PŘÍKLADY
1. Vypočítejte velikosti úhlů v pravoúhlém ,
jehož strany mají délky 8, 6 a 10 cm.
2. Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů a délky
stran rovnoramenného  ABC, jestliže
známe: délku základny 20 cm a velikost
úhlu při základně 68°.
PŘÍKLADY
3. Síla F o velikosti 2 000 N se rozkládá na
dvě kolmé složky F1 a F2. Složka F1 svírá
s výslednicí F úhel j velikosti 32°. Určete
velikosti sil F1 a F2.
4. Vypočítejte objem rotačního jehlanu, jehož
délka strany je 20 cm a úhel, který tato
strana svírá s podstavou, je 58°. Výsledek
vyjádři v litrech.
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 1
B
b
10
6
cos α 
a
C
8
Zkouška:
a + b  90°
36°52´
53° 8´
89°60´=
A
cos α 
b
c
8
10
cos β 
cos β 
a
c
6
10
cos α  0,8
cos β  0,6
α  36  52´
β  53  8´
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 2
C
90°- 68°= 22°
c
2 . 22°= 44°
cos 68   2
a
cos 68  
a
a
a 
v
68
68
A
°
S
c = 20 cm
B
°
10
a
10
cos 68 
a  26,7 cm
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 3
F1
j
F2
F
cos j 
F1
sin j 
F
F1
cos 32  
F2
F
F2
sin 32  
2 000
2 000
F 1  0,85 . 2 000
F 2  0,53 . 2 000
F 1  1 700 N
F 2  1 060 N
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 4
cos 58  
r
20
r  20 . cos 58 
32
r  20 . 0,53
°S = 20 cm
v
V 
V 
cos 32  
58
r
°
20
v  20 . cos 32 
v  20 . 0,85
v  17 cm
Objem jehlanu je asi 2 litry.
2
πr v
3
r  10,6 cm
v
1
1
2
. 3,14 . 10,6 .17
3
V  1995,07 cm
V  2 dm
3
l 
3