Transcript Jak vyhov*t v*em ?

Omyly ve výuce
mechaniky:
proč je první semestr fyziky odvykací kůra
Nepřeberné studnice omylů
• M. Bednařík, M. Široká: Fyzika pro gymnázia.
Mechanika. Dotisk 3. vydání. Prometheus, Praha 2000.
• O. Lepil: Fyzika pro gymnázia. Mechanické kmitání a
vlnění. Dotisk 3. přepracovaného vydání. Prometheus,
Praha 2001.
Schválilo MŠMT č.j. 15 696/2000-22-23 a 12 256/01-22
k zařazení do seznamu učebnic pro střední školy jako součást
ucelené řady učebnic pro vyučovací předmět fyzika.
Výběr několika omylů
z mnohých
• skládání pohybů, „princip nezávislosti pohybů
• síly, skládání sil
• valení těles, valivý odpor
• harmonický kmitavý pohyb
• kyvadla
Skládání pohybů
s. 51, 53
Gymnaziální učebnice – I
• Často se stává, že hmotný bod koná dva nebo i více
pohybů současně. Předmět ve vagonu jedoucího vlaku
se může pohybovat vzhledem k vagonu a spolu s
vagonem se pohybuje vzhledem k povrchu Země.
• Při skládání pohybů platí princip nezávislosti pohybů:
Koná-li hmotný bod současně dva nebo více pohybů, je
jeho výsledná poloha taková, jako by konal tyto
pohyby po sobě, a to v libovolném pořadí.
Komentář – I
• Předchozí formulace a příklady v učebnici naznačují,
že by mohlo jít o popis pohybu hmotného bodu
vzhledem k různým vztažným soustavám (pohyb
hmotného bodu vzhledem k nástupišti a vzhledem k
vlaku, relativní rychlost).
• Co se však rozumí tím, že „hmotný bod koná současně
dva nebo dokonce více pohybů“?
a) Vůči téže vztažné soustavě?
b) Vůči několika různým vztažným soustavám?
Jako příklad je uveden pouze pohyb loďky s veslařem,
která je také unášena proudem - jde o případ b).
s. 130
Gymnaziální učebnice – II
• Složitější pohyby nastanou, udělíme-li tělesu v
homogenním tíhovém poli určitou nenulovou počáteční
rychlost v0. V tom případě koná těleso současně dva
pohyby: 1. rovnoměrný přímočarý pohyb ve směru
rychlosti v0, 2. volný pád ve směru zrychlení g.
Složením obou pohybů dostaneme výsledný pohyb,
který nazýváme vrh tělesa.
Komentář – II
• Trajektorie šikmého vrhu – možnosti „skládání dvou
nebo i více pohybů“:
1
2
𝑟(𝑡) =(𝑣0 t) +( 𝑔𝑡 2 )
𝑟(𝑡) =(𝑣0 t cos 𝛼)𝑒𝑥 +(𝑣0 t cos 𝛼
1
− g𝑡 2 ) 𝑒𝑦
2
𝑟(𝑡) = jakýkoli jiný „rozklad“ = „více pohybů“ ?
Komentář – II
• Co vůbec může být myšleno pod názvem „princip
nezávislosti pohybů“?
Triviální fakt, že vektory mají složky, tj.
𝑟(𝑡) = x(t )𝑒𝑥 + y(t ) 𝑒𝑦 + z(t ) 𝑒𝑧 ??
• Lze řešit otázku časových závislostí x(t ), y(t ) a z(t )
odděleně a vytvořit z nich vektor 𝑟(𝑡), jako v případě
vrhů (pohybů v homogenním gravitačním poli) ??
Co potom s pohybovými rovnicemi
m𝑎 = 𝑒(𝑣 × 𝐵)
m𝑥 = 𝑒𝑦𝐵, m𝑦 = −𝑒𝑥𝐵, m𝑧 = 0??
Komentář – II
• Jakým „složením nezávislých pohybů“ může být třeba
rovnoměrný pohyb po kružnici?
? řešení soustavy rovnic
y
𝜔𝑡
𝑥 = 𝑅 cos 𝜔𝑡
𝑦 = 𝑅 sin 𝜔𝑡
𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 0, 𝑚𝑦 + 𝑘𝑦 = 0, 𝑧 = 0,
𝑘
2
𝜔 = , 𝑟 0 = 𝑅, 0, 0 , 𝑣 0 = (0, ω𝑅, 0)
𝑚
x
? nebo soustavy rovnic
𝑚𝑥 − 𝑒𝐵𝑦 = 0, 𝑚𝑦 + 𝑒𝐵𝑥 = 0, 𝑧 = 0,
𝑒𝐵
𝜔2 = , 𝑟 0 = 𝑅, 0, 0 , 𝑣 0 = (0, ω𝑅, 0)
𝑚
Síly,
skládání sil
s. 85
Gymnaziální učebnice – I
𝑣
𝐹´
𝐹𝑡
𝐹𝑛
• Vlákno působí na kvádr silou 𝐹´. Uvedeme-li kvádr do
pohybu, působí proti směru pohybu třecí síla 𝐹𝑡 . Kvádr
působí na podložku tlakovou silou 𝐹𝑛 kolmou k podložce.
Komentář – I
𝐹𝑡
𝐹´
𝐹𝑛
𝑣
𝑚𝑔
• V obrázcích i komentářích: Chybějící síly působící na
těleso a „míchání“ sil působících na těleso a jeho okolí
pro učebnici typické.
s. 161
Gymnaziální učebnice – II
• Dva muži nesou břemeno o hmotnosti 90 kg zavěšené na
tyči o zanedbatelně malé hmotnosti. První z nich opírá
tyč i rameno ve vzdálenosti 0,6 m od závěsného bodu
břemena, druhý ve vzdálenosti 0,9 m. Jak velkou silou
tyč na každého z nich působí?
A
O
𝐹1
𝐹𝐺
B
𝐹2
• Řešení: Na břemeno působí tíhová síla 𝐹𝐺 . Tuto sílu
přeneseme do bodu O, v němž je upevněn závěs břemena,
a rozložíme na dvě složky, z nichž 𝐹1 působí na prvního
muže v bodě A, 𝐹2 působí na druhého muže v bodě B
Komentář – II
• Je třeba správně formulovat požadavek silové a
momentové rovnováhy tělesa (tyč s břemenem).
A
𝐹1
O
a
𝐹2
𝐹𝐺
b
B
• Síly působící na soustavu: tíhová síla 𝐹𝐺 působící na
břemeno v bodě O (tíhová síla působící na tyč je nulová),
tlakové síly 𝐹1 a 𝐹2 od ramen nosičů v bodech A a B.
Rovnováha sil: 𝐹1 + 𝐹2 = 𝐹𝐺 , 𝐹1 + 𝐹2 − 𝑚𝑔 = 0.
• Rovnováha momentů sil vzhledem k bodu O:
𝑂𝐴 × 𝐹1 + 𝑂𝐵 × 𝐹2 = 0, 𝑎𝐹1 − 𝑏𝐹2 = 0.
s. 150, 151
Gymnaziální učebnice – III
• Uvažujme tuhé těleso, které je otáčivé kolem nehybné
osy. Budeme uvažovat jen takové případy, kdy je působící
síla kolmá k ose otáčení. Fyzikální veličina vyjadřující
otáčivý účinek síly se nazývá moment síly vzhledem k ose
otáčení.
• Velikost momentu síly je rovna součinu velikosti síly F a
kolmé vzdálenosti d vektorové přímky síly os osy otáčení.
Směr momentu síly určíme podle pravidla pravé ruky.
• Na těleso otáčivé kolem nehybné osy může působit více
sil. Jejich celkový moment je určen výsledným
momentem sil. Momenty sil leží v ose otáčení, mohou však
mít různý směr.
Komentář – III
• Pojem „moment síly vzhledem k ose“ je „špatná“ veličina.
Její zavedení a používání je matoucí.
• Správný pojem: moment síly vzhledem k bodu. „Moment
síly vzhledem k ose“ je pak průmětem momentu síly vztaženého k libovolnému bodu O na ose do směru této osy.
𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2
𝑀 = 𝑟 × 𝐹 = 𝑀1 + 𝑀2
𝑀1 = 𝑀𝑜 𝑜 = 𝑞 × 𝐹2
𝐹1
𝑞
𝑠
𝑀1 = 𝐹2 𝑑 𝑜
𝑀2 = 𝑠 × 𝐹2 + 𝑞 × 𝐹1
d
𝑜
O
𝐹2
𝑟= 𝑠+𝑞
s. 153
Gymnaziální učebnice – IV
• Skládat síly působící na tuhé těleso znamená nahradit tyto
síly jedinou silou, která má na těleso stejné účinky jako
skládané síly.
• Uvažujme, že na těleso působí
dvě různoběžné síly F1 a F2
v různých bodech A a B tělesa.
Obě síly přeneseme po jejich
vektorových přímkách do průsečíku C vektorových přímek.V bodě C je složíme pomocí vektorového rovnoběžníku. Působiště
výslednice F obvykle přenášíme
po její vektorové přímce D, který leží na spojnici bodů A, B.
C
F2
F1
A
F1
F
D
B
F2
F
Komentář – IV
• Může nastat případ, že „síly složit nelze“, tj. nelze je
nahradit výslednicí tak, aby její moment vzhledem k bodu
O byl stejný jako výsledný moment obou sil?
• Může, např. tehdy, jsou-li vektorové přímky sil mimoběžné. Výklad je třeba založit na tom, že moment síly
vzhledem k libovolnému bodu přímky p procházející bodem
O a rovnoběžné s vektorovou přímkou síly je stejný jako
moment vzhledem k O.
F
r
O
p
Komentář – IV
• Kdy lze soubor sil nahradit výslednicí umístěnou tak, aby
její moment vzhledem k O byl stejný jako celkový moment
všech sil?
• Algebraické řešení po obecný případ:
𝑟 × 𝐹𝑖 = 𝑟𝑖 × 𝐹𝑖 … soustava rovnic pro složky vektoru 𝑟
0
Det −𝐹3
𝐹2
𝐹3
0
−𝐹1
−𝐹2
pravé strany jsou složky
𝐹1 = 0 , výsledného momentu všech sil
0
vzhledem k bodu O.
Soustava má jednorozměrný prostor řešení pro případy,
kdy výsledný moment sil je kolmý k jejich výslednici (např.
pro síly rovnoběžné, nebo ležící v téže rovině). Jinak
řešení nemá.
Rotace, valení,
valivý odpor
s. 219, 220
Gymnaziální učebnice – I
• Na niti vedené přes kladku
jsou zavěšena závaží o
hmotnostech 0,45 kg a 0,55
kg. Určete zrychlení závaží a
sílu, kterou je napínána nit.
Tření a hmotnost kladky i niti
zanedbejte.
𝐹
𝑚1
• Vlákno je napnuté po celé
délce stejně, síly F a F´ mají
tedy stejnou velikost F.
𝐹´
𝑚2
𝐹𝐺1
𝐹𝐺2
Komentář – I
• Co znamená formulace „vlákno je napnuto po celé
délce stejně? A z čeho to plyne?
𝐹 + 𝐹´
−𝐹
Souvislost se zanedbatelnou hmotností
kladky a pohybové rovnice kladky nejsou
zmíněny.
−𝐹´
𝐹𝑟 − 𝐹´𝑟 = 𝐽𝜀
𝐽=0
F = F´
s. 172
Gymnaziální učebnice – II
• Při otáčení tuhého tělesa kolem nehybné osy působí na
jednotlivé body tělesa setrvačné síly směřující od osy
otáčení. Výslednicí těchto sil je namáhána osa,
neprochází-li osa těžištěm.
• Proto se vyvažují např. kola motorových vozidel tak,
aby těžiště leželo na ose rotace.
Komentář – II
• Co jsou to „setrvačné síly“?
Str. 94: „Na těleso v neinerciální soustavě působí
setrvačná síla Fs = –ma, vznikající jako důsledek
zrychleného pohybu soustavy.“
𝜔
• Jak je to s „namáháním osy“
doopravdy?
Druhá impulsová věta:
v inerciální vztažné soustavě
a v nerotující soustavě
spojené se středem
O
hmotnosti platí
d𝐿
= 𝑀𝑒𝑥𝑡
d𝑡
𝐿𝑖 = 𝐽𝑖𝑘 𝜔𝑘
𝐿
𝐿 = 𝐽𝜔 ? ?
𝐿paral = 𝐽𝜔
𝐿 perp, i = Dik 𝜔𝑘
s. 173
Gymnaziální učebnice – III
• Koná-li těleso současně posuvný a otáčivý pohyb kolem
osy procházející těžištěm tělesa, je kinetická energie
dána součtem energie posuvného a otáčivého pohybu
1
1
2
𝐸𝑘 = 𝑚𝑣 + 𝐽0 𝜔2
2
2
• V tomto vztahu je m hmotnost tělesa, kterou si
představujeme umístěnou v těžišti, v je velikost
rychlosti těžiště tělesa, J0 je moment setrvačnosti
vzhledem k ose otáčení jdoucí těžištěm tělesa a ω
úhlová rychlost otáčení tělesa kolem této osy.
s. 175
Gymnaziální učebnice – III
• Při otáčení tělesa kolem nehybné osy je jeho kinetická
energie dána vztahem
1
𝐸𝑘 = 𝐽𝜔2
2
• Kde J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose
otáčení a ω jeho úhlová rychlost.
• Jestliže těleso koná současně posuvný pohyb rychlostí
v a otáčivý pohyb úhlovou rychlostí ω, je jeho
kinetická energie
1
1
2
𝐸𝑘 = 𝑚𝑣 + 𝐽0 𝜔2
2
2
Komentář – III
• Co to znamená, že „těleso koná současně posuvný a
otáčivý pohyb kolem osy procházející těžištěm tělesa“?
• 𝑟´𝑖 + 𝑟, 𝑣´𝑖 + 𝑣, 𝑣´𝑖 = 𝜔𝑞´𝑖
O
• Kinetická energie
Ek =
=
1
2
1
2
𝑚𝑖 𝑣𝑖 2 =
𝑚𝑖 𝑣´𝑖
2
+
𝑚𝑖 𝑣´𝑖 + 𝑣
𝑚𝑖 𝑣´𝑖 𝑣 +
vzhledem k tomu, že
𝜔
2
1
2
=
𝑟
𝑚𝑣 2 =
𝑚𝑖 𝑣´𝑖 = 0 .
SH
1
2
𝑚𝑣 2 +
1
𝐽0 𝜔2
2
Komentář – III
• Jiná možnost: rotace tělesa kolem pevné osy
neprocházející středem hmotnosti
𝜔
• 𝑟𝑖 = 𝑟´𝑖 + 𝑟, 𝑞𝑖 = 𝑞´𝑖 + 𝑑, 𝑣𝑖 = 𝜔𝑞𝑖
O
• Kinetická energie
1
2
Ek =
=
1
2
Ek =
𝑚𝑖 𝑣𝑖 2 =
𝑚𝑖 𝑞´𝑖
1
2
𝐽0
2
+
+ 𝑚𝑑2
2
=
𝑚𝑖 𝑞´𝑖 𝑑 +
1
2
𝑚𝑖 𝜔𝑞𝑖
𝜔2
=
1
2
𝑚𝑣 2
+
𝑟
d
SH
𝑚𝑑2
1
𝐽0 𝜔2
2
…
𝑚𝑖 𝑞´𝑖 = 0
• Zcela zaniká význam středu hmotnosti, který není nijak
vázán na tíhové pole.
Problém valení tělesa
• Gymnaziální učebnice jej pro jistotu neřeší.
• Valení bez klouzání (většina textů z mechaniky včetně
vysokoškolských): „Statická třecí síla nekoná práci.“
N
h
Ts
mg
mgh =
1
2
2
𝑚𝑣 +
1
𝐽0 𝜔2
2
• Jak to bude v případě
prokluzování?
𝑚𝑔ℎ =
1
2
𝑚𝑣 2 +
1
𝐽0 𝜔2
2
+ 𝑇 𝑑𝑙 ???
Jak je to doopravdy?
• Předpoklad: těleso při rotaci prokluzuje, neplatí vazební
podmínka pro úhlovou rychlost a rychlost SH, třecí síla
je dynamická.
• Změna kinetické energie = práci všech sil působících na
částice soustavy, pro tuhé těleso je práce vnitřních sil
1
1
nulová.
2
∆𝐸𝑘 = ∆
𝑚𝑣 + 𝐽0 𝜔2 = 𝐴0 + 𝐴´
2
2
A0 je práce výslednice po trajektorii SH
A´ je celková práce sil po trajektoriích částic vůči SH
Valení v tíhovém poli
• Valení po nakloněné rovině délky l, pro T konstantní
𝐴0,𝐺 = 𝑚𝑔ℎ, 𝐴´𝐺 = 0 vzhledem k definici SH
𝐴0,𝑇 = − 𝑇𝑙, 𝐴´ 𝑇 = 𝑇𝑙´ = 𝑇𝑟∆𝜗´ = 𝑀𝑇 ∆𝜗´
1
1
𝑙´ 𝑟∆𝜗´ 𝑎obv 𝜀𝑟
2
2
𝑚𝑔ℎ − 𝑇𝑙 + 𝑇𝑙´ =
𝑚𝑣 + 𝐽0 𝜔 , =
=
=
2
2
𝑙
𝑙
𝑎
𝑎
• Řešení pomocí pohybových rovnic (2 rovnice, 3 neznámé)
𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 sin 𝛼 − 𝑇,
𝐽𝜀 = 𝑇𝑟,
je třeba zadat vazební podmínku, nebo silový zákon pro T,
energiová rovnice je závislá, jako u „čistého“ valení.
s. 86, 87
Gymnaziální učebnice – IV
• Valivý odpor vzniká vždy, když se pevné těleso kruhového
průřezu valí po pevné podložce. Působením kolmé tlakové
síly Fn se těleso i podložka poněkud deformuje.
Deformace vyvolává odporovou sílu Fv, působící na těleso
a směřující proti jeho pohybu.
v
Fv
Fn
Jakým směrem by
„roztáčel“ těleso moment
síly, která je označena
jako valivý odpor?
Komentář – IV
• Je třeba zakreslit všechny síly působící na těleso –
tíhovou, tlakovou a statickou třecí sílu (pokud se
těleso valí bez klouzání).
N┴
v
N
𝐹 = 𝑚𝑔 + 𝑁 + 𝑇𝑠
N┴
Fv
𝐹 = 𝑚𝑔 +𝑁┴ + 𝑇𝑠 + 𝐹𝑣
Ts
Fv
mg
𝐹𝑣 = −𝜉 𝑁┴
𝑀 = 𝑟 × 𝑇𝑠
𝑣
𝑣
Kmitavý pohyb,
kyvadla
s. 15, 16, 17
Gymnaziální učebnice – I
• Z časového diagramu kmitání pružinového oscilátoru
je patrné, že výchylka oscilátoru se mění podle funkce
sinus …
• Kmitavý pohyb, jehož časovým diagramem je
sinusoida (popř. kosinusoida), budeme nazývat
harmonický kmitavý pohyb.
• Vztah pro výchylku jako funkci času najdeme
srovnáním kmitavého pohybu s pohybem rovnoměrným
po kružnici. Pro výchylku harmonického pohybu tělesa,
které se v počátečním okamžiku nachází v rovnovážné
poloze, platí vztah 𝑦 = 𝑦𝑚 sin 𝜔𝑡.
s. 17, 20
Gymnaziální učebnice – I
• Zrychlení harmonického pohybu je přímo úměrné
výchylce a v každém okamžiku má opačný směr.
y
𝑎 = −𝜔2 𝑦
M´
y
M
r
M´
a
φ
x
• Promítá se dostředivé zrychlení a0 .
M
ωt
a0
s. 30, 31, 32
Gymnaziální učebnice – I
• Poněvadž je zrychlení harmonického kmitavého pohybu
𝑎 = −𝜔2 𝑦, můžeme na základě 2. Newtonova pohybového zákona (F = ma) obecně vyjádřit sílu, která způsobuje harmonické kmitání: 𝐹 = −𝑚𝜔2 𝑦
•
Tuto rovnici označujeme také jako pohybovou rovnici
mechanického oscilátoru.
• Příčinou harmonického kmitání mechanického oscilátoru
je síla, která je přímo úměrná výchylce oscilátoru z rovnovážné polohy a stále směřuje do rovnovážné polohy. U
pružinového oscilátoru 𝐹 = −𝑘𝑦.
Komentář – I
• Jestliže se harmonický pohyb pomocí sinusoidy
definuje, není třeba tvar výchylky „odvozovat“.
•
Jaká je motivace pro promítání rovnoměrného pohybu
po kružnici?
• Postup „naruby“ od kinematiky k dynamice??
• Pletou si pohybový zákon (pohybovou rovnici) a silový
zákon pro pružnou sílu.
• Správný postup – od pohybové rovnice k řešení, použití
analogie s průměty kruhového pohybu.
s. 34
Gymnaziální učebnice – II
• Příčinou
kmitavého
pohybu
kyvadla je síla F, která je výslednicí tíhové síly FG a tahové
síly FT, kterou působí vlákno závěsu na těleso.
• Harmonické kmitání jsme zavedli jako přímočarý pohyb.
Aby tato podmínka byla přibližně splněna i u kyvadla, musí být
výchylka tak malá, že oblouk, po
němž se těleso pohybuje, můžeme považovat za úsečku. To je
dostatečně splněno, jestliže
úhel α nepřekročí 5o.
α
FT
F
FG
Komentář – II
• Jaká bude „výslednice“ tíhové a tahové síly v
rovnovážné poloze?
Je-li výslednice sil tečná v daném bodě k trajektorii,
je normálové zrychlení nulové a křivost trajektorie
nulová (s výjimkou bodů nulové rychlosti – krajní polohy
kyvadla). Trajektorií kyvadla by tedy nemohla být
kružnice
• Proč zrovna omezení úhlem 5 stupňů?
Nesmyslnost argumentace nahrazení oblouku úsečkou
proto, že jsme „harmonické kmitání zavedli jako
přímočarý pohyb“.