Transcript bfy1_(7)
FYZIKA I.
Jacob Steiner
(1796-1863)
BFY1
je fyzikální model (jako izolovaná částice,
ideální plyn, dokonale hladká podložka…)
Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se
účinkem libovolně velkých sil nemění.
TT může vykonávat pohyby:
Posuvný (translace) - všechny body TT mají v libovolném
čase stejnou okamžitou rychlost.
Rotační – u bodové částice nemělo smysl rotaci uvažovat,
všechny body TT mají v libovolném čase stejnou úhlovou
rychlost.
Kinetická energie TT je součtem příspěvků od obou typů
pohybů.
BFY1
v2
v1
v2>v1
1 2
Ek mv
2
Těleso rotující kolem osy otáčení má
kinetickou energii, ale jeho jednotlivé
body mají odlišné rychlosti.
Jednotlivé body tělesa rotujícího kolem osy se
ale pohybují stejnými úhlovými rychlostmi.
1
2
2 1
E
m
v
Pro jednu i-tou částici
ki
i i
osa otáčení
2
1
dosazením za vi=rii dostaneme: Eki mi ri 2ωi2
2
Zavedeme MOMENT SETRVAČNOSTI i-té částice I i mi ri 2
(někde se značí J)
1 2
I kg.m2
Kinetická energie i-té částice Eki I ii
2
BFY1
Celková kinetická energie Ek tělesa je určena součtem
kinetických energií Eki všech částic tělesa.
n
1
Eki I i 2
Ek Ek1 Ek 2 ... Ekn Eki
2
i1
1 2 1 2
1 2 n1 2 1 2 n
Ek I1ω I 2ω ... I nω I i ω ω I i
2
2
2
2
2 i1
i1
I - moment setrvačnosti tělesa I I1 I 2 ... I n
n
I
i1
i
1 2
Celková kinetická energie rotačního pohybu: Ek Iω
2
Celková kinetická energie tělesa při započítání translačního
(posuvného) a rotačního pohybu:
1 2 1 2
Ek mv Iω
2
2
BFY1
Moment setrvačnosti popisuje rozložení hmoty v tělese.
Platí: I I1 I 2 ... I n
n
n
i1
i1
2
2
I
m
r
i i i ri dm
Dosadíme za moment setrvačnosti i-té částice
Pokud je hmota rozložená spojitě, můžeme
sumu nahradit integrálem.
I i mi ri2
Vzorce pro momenty setrvačnosti těles mají tvar: I kmr2
m - hmotnost tělesa
r - vzdálenost hmoty od osy otáčení,
většinou charakteristický rozměr
tělesa (poloměr, délka apod.)
k - charakterizuje rozložení látky
kolem osy otáčení, čím je hmota
dále od osy, tím je I větší.
Označená tělesa jsou k zapamatování, ostatní ne.
BFY1
BFY1
Pokud známe moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose o,
která prochází těžištěm, můžeme určit moment setrvačnosti
vzhledem k libovolné rovnoběžné ose o´.
IT – vzhledem k ose vedené těžištěm
2
I IT m h
m – hmotnost tělesa
h – vzdálenost obou os o a o´.
Důkaz:
I r 2 dm x a y b dm
2
x 2 y 2 dm 2a xdm
2b ydm a 2 b 2 dm
I T h 2 dm I T mh 2
2
Členy rovny 0
(počátek je v T)
dm má polohu [x,y]
poloha těžiště je [0,0]
BFY1
Určete moment setrvačnosti tenké tyče, která se otáčí okolo
kolmé osy vedené jejím koncem (ta vpravo), jestliže znáte
moment setrvačnosti pro osu vedoucí těžištěm.
2
2
1
L
1 2
1
L
2
2
2
I IT mh mL m m L m m L
4 3
12
2 12
BFY1
• jsou tělesa otáčející se okolo
pevného bodu v prostoru
Roztočíme-li setrvačník kolem jeho osy
symetrie, potom tato osa zachovává stálý
směr v prostoru.
Vektor momentu hybnosti a úhlové
rychlosti je v čase konstantní.
Osa nemusí mít ovšem stejný směr –
setrvačník poté vykonává tzv. precesní
pohyb kolem směru vektoru momentu
hybnosti.
Setrvačník koná dva rotační pohyby.
BFY1
• v praxi jsou to tělesa s velkým momentem
setrvačnosti, látka tělesa je umístěna
souměrně vzhledem k ose otáčení, nejvíce
látky je umístěno v okrajových částech tělesa.
Využití setrvačníků:
zabezpečují rovnoměrnost chodu motorů,
umělý horizont v letadlech, gyrokompas,
zdroje energie v dětských autíčkách.
BFY1
Na obvodu válce, který má poloměr 0,35 m a
moment setrvačnosti 0,12 kg.m2, je navinuto
vlákno, na němž je zavěšeno závaží o hmotnosti
0,4 kg. Válec je otáčivý kolem osy jdoucí jeho
středem. Určete, jak velkou úhlovou rychlostí se
otáčí kolo, pokud závaží urazilo z klidu dráhu 2 m.
R = 0,35 m, I = 0,12 kg·m2, m = 0,4 kg, h = 2 m, ω = ?
Závaží klesne o výšku h, úbytek potenciální energie soustavy
ΔEp = mgh. Tento úbytek se rovná přírůstku kinetické energie.
1
1 2 1
1 2
2
2 2
Ek mv I mR I
2
2
2
2
1 2
m gh m R2 I
2
2m gh
1
9
,
6
rad.s
I m R2
BFY1
Pohyb kulatého tělesa (koule, válce,
disku …) bez podkluzování, kdy se
rychlost posuvného pohybu rovná
obvodové rychlosti.
Možnosti pohledu:
a) Valení jako kombinace
posuvného a otáčivého pohybu:
b) Valení jako
otáčivý pohyb:
BFY1
je součtem příspěvků od posuvného a rotačního pohybu.
Ek Ekp Ekr 1 m v2 1 J 2
2
2
podle typu tělesa se bude lišit, protože
se liší jejich momenty setrvačnosti.
Koule: J 2 m r2
5
1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 7 2
Ek mv . mr . mv mv mv
2
2 5
2
5
10
Válec: J 1 m r2
2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 3 2
Ek Ek mv . mr . mv mv mv
2
2 2
2
4
4
Všimněte si, že Ek NEZÁVISÍ NA POLOMĚRECH TĚLES.
BFY1
Nakloněná rovina přechází na konci ve válcovou smyčku
o poloměru R. Po nakloněné rovině vypustíme z klidu malý
homogenní disk o poloměru r, který se po ní začne valit bez
prokluzování. Z jaké nejmenší výšky h musí být vypuštěn
střed disku, aby proběhl celou smyčku?
V nejvyšším bodě se (aspoň) rovnají tíhová a odstředivá síla.
m v2
Ze ZZE se rovná úbytek Ep
Fo G
mg
Rr
a přírůstek Ek… ΔEp=ΔEk
2
v gR r
3 2
mg h 2 R r mv
4
po dosazení za v 2 a úprav ě
1
h 11R 7 r
4
BFY1
Otáčivý účinek síly F působící na těleso závisí na:
a) velikosti a směru této síly,
b) poloze působiště síly vzhledem k ose otáčení.
Moment síly vzhledem k ose otáčení je vektorová veličina,
která popisuje otáčivé účinky této síly, a je definován jako
vektorový součin polohového vektoru působiště síly a této
síly (v tomto pořadí):
M r F
osa otáčení
M r P
F
M Nm
Směr M určujeme pravidlem pravé ruky
buď přímo podle vektorového součinu
nebo: „prsty naznačíme směr otáčení
tělesa při působení síly a palec ukáže
směr momentu síly“. Vektor M
umísťujeme do osy otáčení.
BFY1
Moment síly lze zapsat i jinak než vektorovým součinem:
Pomocí úhlu φ, který svírá polohový vektor působiště a síla.
Počítáme pouze velikost, směr určíme pravidlem pravé ruky.
Pomocí tečného průměru síly Ft, průmět má velikost
Ft = F.sin φ, je to ta složka síly, která způsobí otáčení tělesa.
Počítáme opět pouze velikost, směr musíme určit podle PPR
M r
┴
r
osa otáčení
P
φ
F
Pomocí ramene síly r┴, což je
vzdálenost vektorové přímky síly
od osy otáčení. Jeho velikost je
r┴ = r.sinφ. Opět určíme pouze
velikost M, směr podle PPR.
M rF sin rFt r F
BFY1
Jestliže moment síly charakterizuje otáčivý účinek síly,
může nastat situace, kdy je roven nule M = 0 a síla
otáčivý účinek nemá.
Otáčivý účinek nemá síla, jestliže:
1. Vektorová přímka síly prochází osou otáčení,
2. Vektorová přímka síly je rovnoběžná s osou otáčení.
V obou případech je sinφ = 0.
Pokud zůstává úhel φ konstantní, nemění se moment síly a
tedy ani otáčivý účinek na těleso.
Důsledek: Působiště síly v tuhém tělese můžeme libovolně
posouvat po její vektorové přímce bez toho, aby se měnil
účinek síly na tuhé těleso.
BFY1
Všechny veličiny posuvného pohybu mají své protějšky
pro rotační pohyb.
Analogií hybnosti je pro rotaci moment hybnosti L.
L r p
L kg.m2 .s 1 J .s
L rpsin rpt r p
Směr L určujeme opět pravidlem pravé ruky.
Jestliže mají svoje protějšky veličiny, očekáváme, že je
budou mít i vztahy a vzorce. Jestliže ve vztazích nahradíme
veličiny posuvného pohybu jejich rotačními protějšky,
získáme vztahy analogické vztahům pro posuvný pohyb.
dp
dL
Např.: F M
dt
dt
BFY1
Celkový moment hybnosti soustavy počítáme jako součet
n
pro všechny částice: L L L ... L L
1
2
n
i1
i
Derivováním podle času získáme analogii k větě o hybnosti a
dL
vlastně i k 2.NZ pro částici:
dt
M ext
Pokud těleso rotuje okolo pevné osy, platí:
(Což je analogie definice hybnosti p = mv)
L I .
Pro toto těleso platí věta o momentu hybnosti neboli
2.impulsová věta:
Jestliže požadujeme, aby bylo těleso ve statické rovnováze,
musí být rovny nule celková hybnost i celkový moment
hybnosti soustavy.
M I ε
BFY1
Tuhé těleso otáčivé kolem nehybné osy je v rovnovážné
poloze, jestliže se rovnají nule (nulovým vektorům):
1) vektorové součty všech vnějších sil působících na těleso,
2) vektorové součty všech momentů těchto sil.
První podmínka vyplývá z věty o hybnosti (1.impulsové věty).
Těleso je v rovnováze pro posuvný (translační) pohyb.
dP
dP
Fext dt , pokudP const, pak dt 0Fext 0
Druhá podmínka vyplývá z věty o momentu hybnosti
(2.impulsové věty). Těleso je v rovnováze pro otáčivý pohyb.
dL
dL
M ext dt , pokudL const, pak dt 0M ext 0
BFY1
U tělesa v rovnovážné poloze
stálé je osa otáčení tělesa nad
těžištěm T.
Po vychýlení tělesa:
stoupá potenciální tíhová
energie tělesa,
E p mgh
moment tíhové síly těleso
vrátí zpět do stálé polohy.
kulička v misce
osa otáčení
T
T
G
h
BFY1
U tělesa v rovnovážné poloze
vratké leží těžiště nad osou
otáčení tělesa.
Po vychýlení tělesa:
klesá tíhová potenciální
energie tělesa,
těleso zaujme rovnovážnou
polohu stálou.
T
osa otáčení
kulička na misce
T
G
BFY1
U tělesa v rovnovážné
poloze volné prochází osa
otáčení tělesa těžištěm.
Po vychýlení tělesa:
potenciální energie tíhová
tělesa se nemění,
těleso zůstává v rovnovážné
poloze volné.
kulička na vodorovné rovině
T
osa otáčení
BFY1
se měří velikostí práce, kterou musíme vykonat,
abychom těleso převrátili z rovnovážné polohy stálé do
rovnovážné polohy vratké.
Při překlápění
hranolu vystoupí
těžiště o výšku Δh,
zvětšuje se jeho
potenciální energie
Ep na úkor práce W
h
vykonané vnějšími
silami.
T
T
osa otáčení
W E p
E p mgh
BFY1
Děkuji za pozornost