Transcript bfy1_(7)

FYZIKA I.
Jacob Steiner
(1796-1863)
BFY1
je fyzikální model (jako izolovaná částice,
ideální plyn, dokonale hladká podložka…)

Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se
účinkem libovolně velkých sil nemění.
TT může vykonávat pohyby:
 Posuvný (translace) - všechny body TT mají v libovolném
čase stejnou okamžitou rychlost.
 Rotační – u bodové částice nemělo smysl rotaci uvažovat,
všechny body TT mají v libovolném čase stejnou úhlovou
rychlost.
Kinetická energie TT je součtem příspěvků od obou typů
pohybů.
BFY1

v2

v1
v2>v1
1 2
Ek  mv
2
Těleso rotující kolem osy otáčení má
kinetickou energii, ale jeho jednotlivé
body mají odlišné rychlosti.
Jednotlivé body tělesa rotujícího kolem osy se
ale pohybují stejnými úhlovými rychlostmi.
1
2
2  1
E

m
v
Pro jednu i-tou částici
ki
i i
osa otáčení
2
1
dosazením za vi=rii dostaneme: Eki  mi ri 2ωi2
2
Zavedeme MOMENT SETRVAČNOSTI i-té částice I i  mi ri 2
(někde se značí J)
1 2

I  kg.m2

Kinetická energie i-té částice Eki  I ii
2
BFY1

Celková kinetická energie Ek tělesa je určena součtem
kinetických energií Eki všech částic tělesa.
n
1
Eki  I i 2
Ek  Ek1  Ek 2  ... Ekn   Eki
2
i1
1 2 1 2
1 2 n1 2 1 2 n
Ek  I1ω  I 2ω  ... I nω   I i ω  ω  I i
2
2
2
2
2 i1
i1
I - moment setrvačnosti tělesa I  I1  I 2  ... I n 
n
I
i1
i
1 2
Celková kinetická energie rotačního pohybu: Ek  Iω
2
Celková kinetická energie tělesa při započítání translačního
(posuvného) a rotačního pohybu:
1 2 1 2
Ek  mv  Iω
2
2
BFY1

Moment setrvačnosti popisuje rozložení hmoty v tělese.
Platí: I  I1  I 2  ... I n 
n
n
i1
i1
2
2
I

m
r
 i  i i   ri dm
Dosadíme za moment setrvačnosti i-té částice
Pokud je hmota rozložená spojitě, můžeme
sumu nahradit integrálem.
I i  mi ri2
Vzorce pro momenty setrvačnosti těles mají tvar: I  kmr2
m - hmotnost tělesa
r - vzdálenost hmoty od osy otáčení,
většinou charakteristický rozměr
tělesa (poloměr, délka apod.)
k - charakterizuje rozložení látky
kolem osy otáčení, čím je hmota
dále od osy, tím je I větší.
Označená tělesa jsou k zapamatování, ostatní ne.
BFY1
BFY1
Pokud známe moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose o,
která prochází těžištěm, můžeme určit moment setrvačnosti
vzhledem k libovolné rovnoběžné ose o´.
IT – vzhledem k ose vedené těžištěm
2
I  IT  m h
m – hmotnost tělesa
h – vzdálenost obou os o a o´.
Důkaz:


I   r 2 dm    x  a    y  b  dm 
2
  x 2  y 2  dm  2a  xdm 
 2b  ydm   a 2  b 2  dm
 I T  h 2  dm I T  mh 2
2
Členy rovny 0
(počátek je v T)
dm má polohu [x,y]
poloha těžiště je [0,0]
BFY1
Určete moment setrvačnosti tenké tyče, která se otáčí okolo
kolmé osy vedené jejím koncem (ta vpravo), jestliže znáte
moment setrvačnosti pro osu vedoucí těžištěm.
2
2
1
L
1 2
1
L
2


2
2
I  IT  mh  mL  m   m L  m  m L
4 3
12
 2  12
BFY1
• jsou tělesa otáčející se okolo
pevného bodu v prostoru
Roztočíme-li setrvačník kolem jeho osy
symetrie, potom tato osa zachovává stálý
směr v prostoru.
Vektor momentu hybnosti a úhlové
rychlosti je v čase konstantní.
Osa nemusí mít ovšem stejný směr –
setrvačník poté vykonává tzv. precesní
pohyb kolem směru vektoru momentu
hybnosti.
Setrvačník koná dva rotační pohyby.
BFY1
• v praxi jsou to tělesa s velkým momentem
setrvačnosti, látka tělesa je umístěna
souměrně vzhledem k ose otáčení, nejvíce
látky je umístěno v okrajových částech tělesa.
Využití setrvačníků:
 zabezpečují rovnoměrnost chodu motorů,
 umělý horizont v letadlech, gyrokompas,
 zdroje energie v dětských autíčkách.
BFY1
Na obvodu válce, který má poloměr 0,35 m a
moment setrvačnosti 0,12 kg.m2, je navinuto
vlákno, na němž je zavěšeno závaží o hmotnosti
0,4 kg. Válec je otáčivý kolem osy jdoucí jeho
středem. Určete, jak velkou úhlovou rychlostí se
otáčí kolo, pokud závaží urazilo z klidu dráhu 2 m.
R = 0,35 m, I = 0,12 kg·m2, m = 0,4 kg, h = 2 m, ω = ?
Závaží klesne o výšku h, úbytek potenciální energie soustavy
ΔEp = mgh. Tento úbytek se rovná přírůstku kinetické energie.
1
1 2 1
1 2
2
2 2
Ek  mv  I  mR   I
2
2
2
2
1 2
m gh  m R2  I    
2
2m gh
1

9
,
6
rad.s
I  m R2
BFY1
Pohyb kulatého tělesa (koule, válce,
disku …) bez podkluzování, kdy se
rychlost posuvného pohybu rovná
obvodové rychlosti.
Možnosti pohledu:
a) Valení jako kombinace
posuvného a otáčivého pohybu:
b) Valení jako
otáčivý pohyb:
BFY1
 je součtem příspěvků od posuvného a rotačního pohybu.
Ek  Ekp  Ekr  1 m v2  1 J 2
2
2
 podle typu tělesa se bude lišit, protože
se liší jejich momenty setrvačnosti.
Koule: J  2 m r2
5
1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 7 2
Ek  mv  . mr .  mv  mv  mv
2
2 5
2
5
10
Válec: J  1 m r2
2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 3 2
Ek  Ek  mv  . mr .  mv  mv  mv
2
2 2
2
4
4
Všimněte si, že Ek NEZÁVISÍ NA POLOMĚRECH TĚLES.
BFY1
Nakloněná rovina přechází na konci ve válcovou smyčku
o poloměru R. Po nakloněné rovině vypustíme z klidu malý
homogenní disk o poloměru r, který se po ní začne valit bez
prokluzování. Z jaké nejmenší výšky h musí být vypuštěn
střed disku, aby proběhl celou smyčku?
V nejvyšším bodě se (aspoň) rovnají tíhová a odstředivá síla.
m v2
Ze ZZE se rovná úbytek Ep
Fo  G 
 mg
Rr
a přírůstek Ek… ΔEp=ΔEk
2
v  gR  r 
3 2
mg h  2 R  r   mv
4
po dosazení za v 2 a úprav ě
1
h  11R  7 r 
4
BFY1
Otáčivý účinek síly F působící na těleso závisí na:
a) velikosti a směru této síly,
b) poloze působiště síly vzhledem k ose otáčení.

Moment síly vzhledem k ose otáčení je vektorová veličina,
která popisuje otáčivé účinky této síly, a je definován jako
vektorový součin polohového vektoru působiště síly a této
  
síly (v tomto pořadí):
M  r F
osa otáčení


M r P

F

M   Nm
Směr M určujeme pravidlem pravé ruky
buď přímo podle vektorového součinu
nebo: „prsty naznačíme směr otáčení
tělesa při působení síly a palec ukáže
směr momentu síly“. Vektor M
umísťujeme do osy otáčení.
BFY1
Moment síly lze zapsat i jinak než vektorovým součinem:

Pomocí úhlu φ, který svírá polohový vektor působiště a síla.
Počítáme pouze velikost, směr určíme pravidlem pravé ruky.

Pomocí tečného průměru síly Ft, průmět má velikost
Ft = F.sin φ, je to ta složka síly, která způsobí otáčení tělesa.
Počítáme opět pouze velikost, směr musíme určit podle PPR


M r
┴

r
osa otáčení
P
φ

F
Pomocí ramene síly r┴, což je
vzdálenost vektorové přímky síly
od osy otáčení. Jeho velikost je
r┴ = r.sinφ. Opět určíme pouze
velikost M, směr podle PPR.
M  rF sin   rFt  r F
BFY1

Jestliže moment síly charakterizuje otáčivý účinek síly,
může nastat situace, kdy je roven nule M = 0 a síla
otáčivý účinek nemá.
Otáčivý účinek nemá síla, jestliže:
1. Vektorová přímka síly prochází osou otáčení,
2. Vektorová přímka síly je rovnoběžná s osou otáčení.
V obou případech je sinφ = 0.

Pokud zůstává úhel φ konstantní, nemění se moment síly a
tedy ani otáčivý účinek na těleso.
Důsledek: Působiště síly v tuhém tělese můžeme libovolně
posouvat po její vektorové přímce bez toho, aby se měnil
účinek síly na tuhé těleso.
BFY1
Všechny veličiny posuvného pohybu mají své protějšky
pro rotační pohyb.
 Analogií hybnosti je pro rotaci moment hybnosti L.

  
L r  p
L kg.m2 .s 1  J .s
L  rpsin  rpt  r p


Směr L určujeme opět pravidlem pravé ruky.
Jestliže mají svoje protějšky veličiny, očekáváme, že je
budou mít i vztahy a vzorce. Jestliže ve vztazích nahradíme
veličiny posuvného pohybu jejich rotačními protějšky,
získáme vztahy analogické vztahům pro posuvný pohyb.
dp
dL
Např.:  F   M
dt
dt
BFY1

Celkový moment hybnosti soustavy počítáme jako součet
n 




pro všechny částice: L  L  L  ... L  L
1

2
n

i1
i
Derivováním podle času získáme analogii k větě o hybnosti a
dL
vlastně i k 2.NZ pro částici:
dt
 M ext
Pokud těleso rotuje okolo pevné osy, platí:
(Což je analogie definice hybnosti p = mv)

L  I .

Pro toto těleso platí věta o momentu hybnosti neboli
2.impulsová věta:

Jestliže požadujeme, aby bylo těleso ve statické rovnováze,
musí být rovny nule celková hybnost i celkový moment
hybnosti soustavy.
M  I ε
BFY1
Tuhé těleso otáčivé kolem nehybné osy je v rovnovážné
poloze, jestliže se rovnají nule (nulovým vektorům):
 1) vektorové součty všech vnějších sil působících na těleso,
 2) vektorové součty všech momentů těchto sil.


První podmínka vyplývá z věty o hybnosti (1.impulsové věty).
Těleso je v rovnováze pro posuvný (translační) pohyb.
dP
dP
Fext  dt , pokudP  const, pak dt  0Fext  0

Druhá podmínka vyplývá z věty o momentu hybnosti
(2.impulsové věty). Těleso je v rovnováze pro otáčivý pohyb.
dL
dL
M ext  dt , pokudL  const, pak dt  0M ext  0
BFY1

U tělesa v rovnovážné poloze
stálé je osa otáčení tělesa nad
těžištěm T.
Po vychýlení tělesa:
 stoupá potenciální tíhová
energie tělesa,
E p  mgh
 moment tíhové síly těleso
vrátí zpět do stálé polohy.
kulička v misce
osa otáčení
T
T

G
h
BFY1

U tělesa v rovnovážné poloze
vratké leží těžiště nad osou
otáčení tělesa.
Po vychýlení tělesa:
 klesá tíhová potenciální
energie tělesa,
 těleso zaujme rovnovážnou
polohu stálou.
T
osa otáčení
kulička na misce
T

G
BFY1

U tělesa v rovnovážné
poloze volné prochází osa
otáčení tělesa těžištěm.
Po vychýlení tělesa:
 potenciální energie tíhová
tělesa se nemění,
 těleso zůstává v rovnovážné
poloze volné.
kulička na vodorovné rovině
T
osa otáčení
BFY1
se měří velikostí práce, kterou musíme vykonat,
abychom těleso převrátili z rovnovážné polohy stálé do
rovnovážné polohy vratké.
Při překlápění
hranolu vystoupí
těžiště o výšku Δh,
zvětšuje se jeho
potenciální energie
Ep na úkor práce W
h
vykonané vnějšími
silami.

T
T
osa otáčení
W  E p
E p  mgh
BFY1
Děkuji za pozornost