Transcript Diferenciální rovnice

Katedra informatiky a geoinformatiky
Fakulta životního prostředí
Univerzita Jana Evangelisty Purkyně
Matematika II.
KIG / 1MAT2
Přednáška 12
Diferenciální rovnice
[email protected]
O čem budeme hovořit:
•
•
•
•
•
•
Které rovnice jsou „diferenciální“?
Typy diferenciálních rovnic
Separace proměnných
Variace konstant
Brouk na gumě
Lineární rovnice druhého řádu s
konstantními koeficienty
Které rovnice jsou „diferenciální“?
S jakými rovnicemi jsme se již setkali?
Známe rovnice, kde hledaným objektem je číslo
(lineární a kvadratické, iracionální, logaritmické a
exponenciální, goniometrické, atd.).
Při řešení soustav lineárních rovnic jsme
zmiňovali maticovou rovnici, kde neznámou byl
vektor - matice typu (n,1).
Podobně můžeme sestavovat další typy rovnic pro
objekty libovolné algebraické struktury (na
objektech musí být definovány relace a operace).
Jak vypadají diferenciální rovnice?
Hledaným objektem u diferenciálních rovnic je
funkce (v našem případě u tzv. obyčejných
diferenciálních rovnic reálná funkce y = f(x)
jedné reálné proměnné).
Pro diferenciální rovnice je typické, že kromě
neznámé y se v rovnici vyskytují i derivace, tedy
y´, y´´ , y (3) , y (4) , atd.
Diferenciální rovnice má tedy obecný tvar
F ( y (n), y (n-1) , … , y´´, y´, y , x ) = 0
Typy diferenciálních rovnic
Řád diferenciální rovnice
Řádem diferenciální rovnice budeme nazývat
řád nejvyšší derivace neznámé funkce y,
která se v rovnici vyskytuje.
Příklady:
ln x . y (3) + 3 . y´ - sin x = 0 DR třetího řádu
( y´´)2 . sin (y´) + y = 2x
DR druhého řádu
F ( y´, y , x ) = 0
DR prvního řádu
Lineární diferenciální rovnice
Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu má
tvar
an(x) . y (n) + … + a1(x) . y´+ a0(x) . y = b(x) .
Je-li pravá strana rovnice nulová funkce,
nazývá se tato rovnice homogenní.
Jsou-li koeficienty na levé straně rovnice
konstantní funkce (reálná čísla), nazývá se
rovnice s konstantními koeficienty.
Příklad diferenciální rovnice
Uvažujme systém parabol, které jsou popsány
rovnicí s parametrem C
y = x2 – C.x .
Jak tyto paraboly popsat diferenciální rovnicí?
Paraboly.fig
Systém parabol popisuje lineární diferenciální
rovnice prvního řádu:
x . y´ - y = x 2
Separace proměnných
Jak postupovat při separaci?
Některé jednoduché diferenciální rovnice
můžeme upravit na tvar rovnosti diferenciálů
funkcí proměnné y a proměnné x.
Pak stačí provést integraci obou stran rovnosti.
Příklad:
Řešme rovnici
dy
y 1
2

2
2
x  y  y  1
dx
x
arctg y  
2
1
x
C
y  tg ( C 
1
x
)
Obecné a partikulární řešení
Integrační konstanta způsobí, že diferenciální
rovnici vyhovuje nekonečně mnoho konkrétních
funkcí. Často hledáme jen jednu z těchto funkcí,
která vyhovuje tzv. počáteční podmínce.
Příklad: Nalezněme funkci, která je řešením
rovnice x 2. y´- y 2 = 1 a prochází bodem [1;1].
y  tg ( C 
1
)
x
1
1  tg ( C  )
1
C 1 

4
y  tg (

4
1
1
x
)
Variace konstant
Jak postupovat při variaci konstant?
U některých diferenciálních rovnic je vhodné
nejprve vyřešit příslušnou homogenní rovnici,
a pak předpokládat řešení, kde „integrační
konstanta je funkcí proměnné x“.
Příklad:
Řešme rovnici
Příslušná homogenní rovnice:
y 
x 1
Její řešení je:
x
2
x
y 
x 1
x
y  e xK
y  x
y 0
Z konstanty se stane funkce!
A nyní řešení nehomogenní rovnice budeme
x
předpokládat ve tvaru:
y  e  x  K ( x)
Pak získáme, že:
K ( x )  x  e
x
Integrací per partes obdržíme:
K ( x)   e
x
 ( x  1)  C
Závěr: obecné řešení původní rovnice je
y  C  x e  x  x
x
2
Příklad navazující na motivaci
Systém parabol y = x 2 – C . x jsme popsali
diferenciální rovnicí x . y´ - y = x 2 .
Jak postupovat obráceně - tedy jak tuto rovnici
vyřešit?
Příslušná homogenní rovnice:
x  y  y  0
Její řešení separací:
y  Cx
Předpoklad variace:
y  C (x)  x
Obecné řešení rovnice:
y  x  K x
2
Brouk na gumě
Zadání úlohy
Jeden konec vodorovného gumového vlákna délky
d = 1 m je pevný a druhý konec se v čase t = 0
sekund začne pohybovat rychlostí c = 1 m/s .
Na pevném konci vlákna sedí brouk, který v čase
t = 0 sekund začne lézt po vlákně rychlostí
v = 1 dm/s .
Doleze někdy brouk na vzdalující se konec vlákna?
Matematická formulace úlohy
V čase t je rychlost brouka rovna součtu jeho
vlastní rychlosti v a „unášecí rychlosti“ způsobené
natahováním vlákna:
s
s  v 
d  ct
c
To je nehomogenní lineární diferenciální rovnice
prvního řádu pro neznámou funkci s(t) :
s 
Vyřešme ji:
c
d  ct
s  v
Obecné řešení diferenciální rovnice
c
Příslušná homogenní rovnice je:
s 
Separací proměnných získáme:
s  K  ( d  ct )
Předpoklad pro variaci:
s  K ( t )  ( d  ct )
K (t ) 
Funkce K(t) má tvar:
Obecné řešení tedy je:
v
d  ct
s  0
 ln ( d  ct )  L
c
s (
v
c
 ln ( d  ct )  L )  ( d  ct )
Partikulární řešení
Integrační konstanta L v obecném řešení
s(t )  (
v
 ln ( d  ct )  L )  ( d  ct )
c
musí vyhovovat okrajové podmínce s(0) = 0 . Proč?
Odtud vypočítáme:
L  
v
 ln d
c
Partikulární řešení, popisující závislost dráhy
uražené broukem na čase, tedy je:
s(t ) 
v
c
 ln (
d  ct
d
)  ( d  ct )
Doleze brouk na konec vlákna anebo ne?
Musela by být splněna podmínka:
To nastane právě tehdy, když:
s ( t )  ( d  ct )
v
 ln (
c
d  ct
)1
d
Odtud vypočítáme čas t , v kterém brouk dorazí
na konec vlákna:
c
t 
d
 ( e v  1)
c
Pro hodnoty ze zadání úlohy můžeme vypočítat:
brouk - graf.xls
t e
10
 1  22 025 ,5 s  6 ,12 h
Lineární rovnice druhého řádu
s konstantními koeficienty
Jak řešit tyto rovnice?
Soustředíme se na homogenní rovnice:
a2 . y ´´ + a1 . y´+ a0 . y = 0 .
Jejich řešení budeme předpokládat ve tvaru
y e
ax
Derivováním a dosazením získáme pro neznámou a
tzv. charakteristickou rovnici.
Její kořeny určují dvě základní řešení y1 a y2 .
Obecná řešení homogenní rovnice vytvářejí
vektorový prostor dimenze 2 s bází y1 a y2 .
Příklad
Řešme diferenciální rovnici:
y   y   2 y  0
Charakteristická rovnice je:
a a20
Řešeními jsou tedy funkce:
Obecné řešení
homogenní rovnice je
pak jejich lineární
kombinací:
2
e
y  C1  e
2x
2x
e
 C2  e
x
x
Děkuji za pozornost