Transcript Neurčitý integrál

Fakulta životního prostředí
Katedra informatiky a geoinformatiky
Matematika II.
KIG / 1MAT2
Přednáška 08
Neurčitý integrál a jeho vlastnosti
Základní integrační metody
[email protected]
O čem budeme hovořit:
•
•
•
•
•
Definice neurčitého integrálu
Linearita neurčitého integrálu
Základní integrační vzorce
Metoda per partes
Substituční metoda
Definice neurčitého integrálu
Primitivní funkce – neurčitý integrál
Definice
Nechť jsou funkce f(x) a F(x) definovány na
otevřeném intervalu I.
Funkci F(x) budeme nazývat primitivní funkcí k
funkci f(x) ( neurčitým integrálem z funkce f(x) )
právě tehdy, když platí:
(  x  I ) F ( x )  f ( x )
Neurčitý integrál z funkce f(x) budeme též
označovat:
F ( x) 

f ( x ) dx
Schéma k zapamatování
F ( x )  f ( x )
derivování
F(x)
f(x)
integrování
F ( x) 

f ( x ) dx
Příklady
F ( x)  x
F ( x )  sin x
3
2

F ( x)  f ( x)  3x
F (x)  x 
3
 3 x dx
2
F ( x )  f ( x )  cos x
F ( x )  sin x 
 cos
x dx
Z faktu, že existuje vlastní derivace funkce F(x)
vyplývá, že funkce F(x) je spojitá v intervalu I.
Existence a unicita neurčitého integrálu
Věty
Nechť je funkce f(x) spojitá na otevřeném intervalu
I. Pak k ní existuje primitivní funkce F(x).
Je-li funkce F(x) primitivní funkcí k funkci f(x) na
otevřeném intervalu I, pak je primitivní funkcí k
funkci f(x) na intervalu I i funkce G(x) = F(x) + C,
kde C je libovolné reálné číslo.
Jsou-li funkce F(x) a G(x) primitivními funkcemi k
funkci f(x) na otevřeném intervalu I, pak existuje
reálné číslo C takové, že platí G(x) = F(x) + C.
Linearita neurčitého integrálu
Linearita neurčitého integrálu
Věta
Nechť funkce f(x) a g(x) mají na otevřeném
intervalu I primitivní funkce, nechť c je libovolné
reálné číslo.
Pak platí:
c
(
f ( x ) dx  c   f ( x ) dx
f ( x )  g ( x ) ) dx 

f ( x ) dx 
 g ( x ) dx
Základní integrační vzorce
Zapamatujte si!
U každého vzorce si pomocí zpětného derivování
uvědomte v jakém intervalu I platí a proč!
 0 dx  C
 1 dx
 xC
 x dx 
n
1
 x dx
x
n 1
n 1
 C , n  1
 ln x  C
Pokračování
Zapamatujte si!
U každého vzorce si pomocí zpětného derivování
uvědomte v jakém intervalu I platí a proč!
 sin x dx   cos x  C
 cos x dx  sin x  C
1
 sin
2
dx   Cotg x  C
x
1
 cos
2
dx  tg x  C
x
Pokračování
Zapamatujte si!
U každého vzorce si pomocí zpětného derivování
uvědomte v jakém intervalu I platí a proč!
e
x
dx  e  C
 a dx 
x
x
a
x
x
ln a
C

1
2
1
dx  arctg x  C
1
1 x
2
dx  arcsin x  C
Metoda per partes
Idea metody per partes
Při metodě per partes integrujeme podle vzorce:

f ( x )  g  ( x ) dx  f ( x )  g ( x ) 
Odůvodnění:

f  ( x )  g ( x ) dx
( f  g )  f   g  f  g 
(
f  g )  dx 

f   g dx 
f g 

f   g dx 


f  g  dx
f  g  dx
Příklady

x  e dx  x  e   1  e dx 
x
x
x
 x  e  e  C  e  ( x  1)  C
x
 arcsin
x
x
x dx   1  arcsin x dx 
 x  arcsin x 
x
 x  arcsin x 
1
2
 x  arcsin x 
1
1 x
2
 2x
1 x
2
1 x  C
2
dx 
dx 
Substituční metoda
Idea substituční metody
Pravidlo:
Diferenciál funkce
je roven výrazu
t =  (x)
d t = ´(x) . d x
Při substituční metodě integrujeme podle vzorce:

f ( t ) dt 

f ( ( x ))   ( x ) dx
Příklady
 cos ( 2 x  1) dx
t  2x  1

dt  2  dx

1
 tg x
dx 
 cos
1
x

 sin t  C 
2
sin x

dx 
cos t
dt 
2
1
 sin ( 2 x  1)  C
2
t  cos x
dt   sin x dx

   dt   ln t  C   ln cos x  C
t
Co je třeba znát a umět?
•
•
•
•
•
Rozumět definici neurčitého integrálu
(vztah k derivacím)
znát věty linearitě neurčitého integrálu,
znát základní integrační vzorce,
umět počítat integrály metodou per partes,
umět počítat integrály substituční metodou.
Děkuji za pozornost