Transcript 3. Harmonická analýza, Fourierova transformace, lineární systémy.

Harmonická analýza
Součet periodických funkcí s periodami T, T/2, T/3,... je periodická funkce s periodu T
má periodu T
perioda
základní frekvence
Platí i naopak?
vyšší harmonické
frekvence
Harmonická analýza
„Každá“ periodická funkce s periodou
může být rozložena do řady
(Fourierova řada)
Harmonická analýza
„Každá“ periodická funkce s periodou
může být rozložena do řady
(Fourierova řada)
Jiné vyjádření
Důkaz:
- nejprve zkontrolujme zda obě vyjádření funkce f jsou ekvivalentní:
Důkaz:
- a pak dokažme tvrzení tím, že odvodíme vztah pro koeficienty
?
vynásobíme
a integrujeme přes libovolný interval délky T
Příklad:
Časová (prostorová) závislost
čas, poloha
Znázornění ve frekvenční oblasti
amplituda
1
3
5
7
frekvence,
prostorová frekvence
Co když f není periodická?
libovolná spojitá proměnná
(označení)
Fourierova transformace
(inverzní Fourierova transformace, FT-1)
(Fourierova transformace, FT)
určuje (spojité) frekvenční spektrum pro (aperiodickou) funkci
se nazývá Fourierův obraz funkce
Příklad: obdélníkový pulz
Časová (prostorová) oblast
Frekvenční oblast
Příklad: gaussovský pulz
Časová (prostorová) oblast
Frekvenční oblast
Příklad
frekvence rotoru = 32 Hz
(maximum v nule
není vykresleno)
Lineární systémy
vstup, signál, ...
výstup, odezva, ...
Lineární systém
Systém je lineární pokud splňuje princip superpozice,
tj. pokud je odezva na součet dvou libovolných signálů
rovna součtu jejich jednotlivých odezev.
Často lze vztah mezi vstupem a výstupem popsat rovnicí:
lineární
operátor
vstup, signál, ...
výstup, odezva, ...
Příklad: nucený harmonický oscilátor jako lineární systém
vstup, signál, ...
výstup, odezva, ...
Lineární systém
Systém je lineární pokud splňuje princip superpozice,
tj. pokud je odezva na součet dvou libovolných signálů
rovna součtu jejich jednotlivých odezev.
kmitající nosník
F(t)/m
výchylka
Pozn.: dříve jsme psali
Co už víme (o nucených kmitech)?
vstup, signál, ...
výstup, odezva, ...
Lineární systém
Odezva lineárního systému na harmonickou funkci je
(v ustáleném stavu) opět harmonická funkce.
odezvová funkce
Příklad: odezvová funkce pro nucený harmonický oscilátor
kmitající nosník
Jak najít odezvu na libovolný signál?
vstup, signál, ...
výstup, odezva, ...
Lineární systém
?
Rozložíme vstup do jednotlivých harmonických složek
síla je libovolná
a pak použijeme princip superpozice: odezva na součet
harmonických signálů je rovna součtu odezev těchto
signálů.
Jak najít odezvu na libovolný signál?
časová oblast:
vstup:
frekvenční oblast:
FT
krát
výstup:
FT-1