Transcript 12.pr.Mechanicke kmitani

Mechanické kmitání
Kmitání - kmitavý pohyb
• Kmitavý pohyb (mechanické kmitání) je po pohybech přímočarých a
křivočarých třetím základním typem pohybu, s níž se setkáváme jak v
přírodě, tak v technické praxi.
• Příklady kmitavých pohybů:
- pulsování srdce,
- chvění bubínku ucha při příjmu zvuku,
- kyvadlo v pendlovkách,
- píst v automobilu,
- vysílání a příjem signálů rozhlasu a televize …
• Pro mechanické kmitání je charakteristické, že kmitající těleso při
pohybu zůstává stále v okolí určitého bodu, označovaného jako
rovnovážná poloha.
• Jestliže těleso pravidelně prochází rovnovážnou polohou, koná
periodický kmitavý pohyb.
• Dochází-li k přenosu kmitání prostorem, hovoříme o vlnění (např.
elektromagnetické vlnění, akustické vlnění).
Kmitavý pohyb
Zařízení, které volně (bez vnějšího působení)
kmitá, je tzv. mechanický oscilátor.
• Nejstarší mechanický
oscilátor používaný u
hodinových strojů tzv.
lihýř (byl použit i u
Pražského orloje).
• Lihýř bylo zařízení k
udržení rovnoměrného
„přesného“ (chyba až
osm hodin za den)
chodu hodin používané
od konce 13.století,
předchůdce pérových
hodin (16. století) a
kyvadla (17.století)
jednou z nejstarších částí orloje jsou
mechanický hodinový stroj a astronomický
číselník z roku 1410
Existují dva „speciální“ typy mechanických oscilátorů („speciálnost“
těchto oscilátorů se projevuje v jejich snadném popisu):
1. těleso zavěšené na pružině - kmitání je způsobené
silou pružnosti pružiny
2. kyvadlo - kmitání je způsobené tíhovou silou
Při kmitavém pohybu se kmitající těleso
pohybuje v blízkosti rovnovážné polohy.
Rovnovážná poloha je taková poloha
mechanického oscilátoru, v níž jsou síly,
které na oscilátor působí, v rovnováze.
Jinými slovy je to poloha, v níž se
mechanický oscilátor zastaví a samovolně
(tj. bez dodání práce z okolí) ji neopustí.
• Trajektorií pohybu mechanického
oscilátoru je:
- úsečka (v případě kmitání tělesa
zavěšeného na pružině)
- část křivky (část kružnice opisuje
např. kyvadlo hodin).
Obecnější křivku opisuje např. skokan bumgeejumpingu, který koná složitější pohyb: kmitá na
pružině - pružném laně, ale zároveň se kýve
jako kyvadlo).
Závislost okamžité polohy kmitajícího tělesa na
čase zobrazujeme jako tzv. časový diagram.
Z něho je vidět, že:
1. těleso urazí ve stejných časových intervalech
různé dráhy- kmitavý pohyb je tedy pohyb
nerovnoměrný
2. kmitající těleso vždy po určité době dospěje
do stejné polohy. Periodicky se opakující část
kmitavého pohybu nazýváme kmit.
Časový diagram kmitání
Závislost okamžité polohy kmitajícího tělesa
na čase zobrazuje časový diagram.
Časový diagram kmitavého pohybu
Kmitavý pohyb, jehož časovým diagramem je
sinusoida (kosinusoida), se nazývá harmonický
kmitavý pohyb nebo obecně harmonické kmitání.
Kmity mechanického oscilátoru (i libovolného periodického pohybu) lze
charakterizovat pomocí:
1. periody (doby kmitu) T - doba, za níž proběhne 1 kmit a oscilátor
dospěje do stejné polohy jako v počátečním čase;
2. frekvence (kmitočtu) f - je dána počtem kmitů za
jednu sekundu.
1
f 
T
[ f ] = s-1 = 1 Hz
V souvislosti s kmitáním kyvadel se zavádí ještě doba kyvu.
Doba kyvu je doba rovná polovině periody, tj. platí:
T

2
Oscilátor tedy urazí za jeden kyv poloviční dráhu ve srovnání s
dráhou uraženou za jeden kmit. Je vidět, že platí: 1 kmit = 2 kyvy.
Příklady některých kmitavých pohybů spolu s jejich frekvencí
kmitání lidského srdce
1,25 Hz
střídavý proud v el. síti
50 Hz
zvuk tónu
tón časového signálu v rozhlase
440 Hz
103 Hz
kmitání křemenného krystalu v hodinkách
3,3.104 Hz
kmitání procesoru počítače
25.106 Hz
signál družicové televize
1011 Hz
• Dostane-li kmitavá soustava impuls,
rozkmitá se vždy určitým kmitočtem, tzv.
vlastním kmitočtem soustavy.
Takové kmitání nazýváme volné
(netlumené) kmitání nebo volné
(netlumené) kmity.
• Působí-li na soustavu periodicky
proměnlivá vnější síla s určitým
kmitočtem, donutí soustavu kmitat tímto
určitým kmitočtem, který je obecně odlišný
od vlastního kmitočtu soustavy.
Pak hovoříme o nuceném kmitání nebo o
nucených kmitech.
Kyvadlo
Kyvadlo je těleso, volně otočné
kolem pevné vodorovné osy,
neprocházející jeho těžištěm
(umístěné nad těžištěm).
Pokud je takové těleso vychýleno
z rovnovážné polohy, koná kývavý
pohyb. Při něm se střídavě mění
potenciální energie kyvadla
na kinetickou energii kyvadla
a naopak.
• Kyvadlo a zákonitosti jeho
pohybu umožnily konstrukci
přesných hodin, které měřily
čas mnohem přesněji než
předchozí modely. Poprvé
bylo použito v roce1656.
• Kyvadlo se uplatnilo také při
konstrukci seismografu.
• Foucaultovo kyvadlo je
kyvadlo umožňující
experimentálně ověřit
otáčení Země
(možno vidět v Kroměříži,
v Pantheonu v Paříži)
Foucaultovo kyvadlo
v kroměřížské Květné
zahradě
Foucaultovo kyvadlo v
pařížském Pantheonu
Matematické kyvadlo
Zjednodušená forma fyzikálního kyvadla je tzv.
matematické kyvadlo. Přibližně ho realizujeme
zavěšením malé těžší kuličky na tenkou pevnou
nit, jejíž hmotnost je zanedbatelně malá
vzhledem k hmotnosti kuličky. Na kuličku působí
jen tíhová síla a tahová síla vlákna, která ho
udržuje stále ve stejné vzdálenosti od závěsu
(odpory prostředí neuvažujeme).
Volně zavěšená kulička je v rovnovážné poloze,
kdy se tíhová síla FG rovná tahové síle závěsu Ft.
Pokud kyvadlo z rovnovážné polohy vychýlíme,
vznikne složením sil výslednice F, která směřuje
do rovnovážné polohy a vytváří tak kmitavý
pohyb kyvadla.
Velikost výsledné síly je
F  m.g. sin 
kde g ... je tíhové zrychlení,
úhel, o který je vlákno
 ... jevychýleno
z rovnovážné
polohy,
m ... je hmotnost kuličky.
Matematické kyvadlo
• Pro frekvenci a periodu kmitání matematického kyvadla platí:
1
f 
2
g
l
l
T  2
g
• Z těchto vztahů vyplývá, že frekvence a perioda harmonického
pohybu matematického kyvadla závisí na délce jeho závěsu a na
velikosti tíhového zrychlení v daném místě. Nezávisí však na

hmotnosti kyvadla ani na jeho rozkyvu
(jen pokud je úhel rozkyvu
malý). Tuto zákonitost objevil již Galileo Galilei.
• Místo periody neboli doby kmitu T se častěji používá doba kyvu ,
která se rovná polovině jeho doby kmitu. Proto doba kyvu

l
 
g
• Reálná kyvadla používaná v praxi jsou kyvadla fyzická. Periodu
fyzického kyvadla určujeme měřením.
Kinematika kmitavého pohybu
• Kmitání lze z kinematického hlediska rozdělit následujícím
způsobem.
• periodické - periodické kmity se opakují po určitém
časovém intervalu. Při periodickém pohybu se systém po
určitém čase navrátí zpět do původního stavu. Periodické
kmity lze dále rozdělit na
– harmonické - harmonický kmit je periodický pohyb,
který lze vyjádřit ve tvaru
y  ym . sin .t
– anharmonické - není-li možné vyjádřit periodický
pohyb jako harmonický, nazýváme jej anharmonickým
pohybem.
• neperiodické (aperiodické) - pokud se nejedná o
periodický pohyb, mluvíme o pohybu neperiodickém
(např. přímočarý pohyb nebo aperiodické tlumené kmity).
Druhy kmitání
Podle tlumení kmitů lze kmitání dělit na:
• netlumené - při kmitání nedochází ke ztrátě
energie (nedochází k tlumení kmitavého pohybu)
• tlumené - při kmitání se část energie kmitů ztrácí
(např. v důsledku tření nebo odporu prostředí), a to
samozřejmě ovlivňuje kmitání (nejčastěji postupným
zmenšováním amplitudy).
• Působení vnější síly na kmitající systém - buzení
(též budící nebo vynucující síla), které se dělí na:
- harmonické buzení nebo periodické buzení
- stochastické (náhodné)
Podle vlivu buzení lze kmitání dělit na:
• volné - kmitání soustavy bez působení vnějších
sil, tzn. soustava je vychýlena z rovnováhy,
uvolněna a ponechána v pohybu bez působení
buzení. Volné kmitání je popsáno homogenními
diferenciálními rovnicemi
• vlastní - jsou kmity soustavy, na kterou
nepůsobí buzení. Vlastní kmity jsou vlastní čísla
získaná řešením diferenciální rovnice popisující
dané kmitání. Frekvence vlastních kmitů se
označuje jako vlastní frekvence (kmitočet).
• nucené (vynucené) - kmitání je ovlivňováno
buzením.
Kinematika kmitavého pohybu
Při pohybu mechanického oscilátoru se výchylka y s časem
periodicky mění a vzhledem k rovnovážné poloze nabývá
kladných i záporných hodnot. V určitých časech dosahuje
výchylka největší kladné, případně záporné hodnoty. Kladná
hodnota největší výchylky je amplituda výchylky ym.
Okamžitá výchylka kmitavého pohybu
Pro výchylku harmonického pohybu tělesa,
která se v počátečním okamžiku nachází v
rovnovážné poloze, platí vztah :
y = ym sin t
t - je fáze kmitavého pohybu,
 - je úhlová frekvence.
Pozn.: úhlová frekvence a frekvence
jsou veličiny fyzikálně ekvivalentní
(jedna je 2 π násobkem druhé)
2

 2f
T
Rychlost a zrychlení kmitavého pohybu
rychlost harmonického
kmitavého pohybu:
dy
v
dt
v    y m  cos t
t - je fáze kmitavého pohybu,
 - je úhlová frekvence.
zrychlení harmonického
kmitavého pohybu:
a  dv
dt
a     y m  sin t
2
Zrychlení harmonického pohybu je přímo úměrné výchylce
a v každém okamžiku má opačný směr: a = - 2  y
Časové diagramy kinematických veličin
y
a
v
Pro znázornění počáteční fáze se
používá fázový diagram, kde se
využívá souvislosti mezi
rovnoměrným pohybem po kružnici
a harmonickým pohybem. Fázový
diagram má význam hlavně pro
skládání kmitů.
Základní vlastnosti harmonického
pohybu – amplitudu výchylky a
počáteční fázi – zobrazí fázor – vektor
s počátkem ve středu diagramu, jeho
délka odpovídá amplitudě, úhel mezi
ním a osou x počáteční fázi.
Fázový
diagram
Fázový rozdíl
Když harmonický pohyb nezačíná v rovnovážné poloze,
musíme uvažovat, že v čase t = 0 už hmotný bod urazil úhel 0.
0 je počáteční fáze kmitavého pohybu.
Fázový rozdíl  dvou harmonických veličin o stejné frekvenci
je určen rozdílem jejich počátečních fází  = 02 – 01,
01 a 02 jsou počáteční fáze.
Je-li fázový rozdíl mezi dvěma veličinami stejné frekvence 2k ,
mají veličiny stejnou fázi a pro (2k+1) opačnou fázi, kde k=0,
1, 2 ….
Fáze kmitavého pohybu
Kmitající těleso prochází rovnovážnou polohou po uplynutí doby t0, rovnice
harmonického kmitání bude mít tvar:
y  y m  sint  0 
Složené kmitání
Skládaných harmonických pohybů
Princip superpozice:
Jestliže hmotný bod koná současně několik harmonických
kmitavých pohybů, téhož směru s okamžitými výchylkami
y1, y2, …, yk, je okamžitá výchylka y výsledného kmitání
y = y1 + y2 + … + yk.
Okamžité výchylky mohou mít kladnou i zápornou hodnotu.
Proto se při superpozici sčítají a odčítají.
Superpozice dvou harmonických kmitání o stejné
frekvenci
Na principu superpozice je založeno grafické skládání harmonických
pohybů. V časovém rozvinutí dvou harmonických pohybů postupně
sčítáme, popř. odečítáme jejich okamžité výchylky v jednotlivých časových
okamžicích, čímž dostaneme okamžité výchylky výsledného pohybu.
Spojením jejich koncových bodů obdržíme časový průběh výsledného
kmitání.
Příklady složených kmitání
s různým fázovým rozdílem složek
Skládají-li se harmonické pohyby se stejnou frekvencí,
vznikne harmonický pohyb se stejnou frekvencí.
Jeho amplituda závisí na fázovém rozdílu složek.
Časový diagram složeného kmitání
s různou frekvencí složek
Superpozicí kmitání různé frekvence vzniká složené kmitání, které není
harmonické. Kmitání však může být periodické a to v případě, že v poměru jejich
period, popř. frekvencí, jsou celá čísla. Na obrázku jsou dvě kmitání s poměrem
frekvencí 1:2.
Časový diagram složeného kmitání
s blízkou frekvencí složek - rázy
Z diagramu je patrné, že amplituda výsledného kmitání se periodicky zvětšuje
a zmenšuje.
Vzniká složené kmitání - rázy neboli zázněje.
Amplituda rázů se mění s frekvencí f = f1 – f2. To znamená, že při postupném
přibližování frekvencí obou kmitání se frekvence rázů zmenšuje.
Pro f1 = f2 rázy zaniknou.
Rázy jsou velmi citlivým indikátorem pro sladění dvou současně znějících tónů.
Vymizí-li rázy, jsou oba tóny dokonale sladěny.
Dynamika kmitavého pohybu
Zrychlení harmonického kmitavého pohybu a= -2y
Na základě 2. Newtonova pohybového zákona (F = m.a)
můžeme obecně vyjádřit sílu, která způsobuje harmonické
kmitání:
F= -m 2 y
Tuto rovnici označujeme také jako pohybovou rovnici
mechanického oscilátoru.
Dynamika kmitavého pohybu
Úkolem však je určit souvislost úhlové frekvence 
s konkrétními vlastnostmi mechanického
oscilátoru, tedy s parametry oscilátoru.
Parametry pružinového oscilátoru, který tvoří
těleso zavěšené na pružině, jsou hmotnost m
tělesa a tuhost k pružiny.
Reakcí k vnější síle je síla pružnosti Fp, která brání
deformaci pružiny.
Příčinou harmonického kmitání mechanického
oscilátoru je síla, která je přímo úměrná výchylce
oscilátoru z rovnovážné polohy a stále směřuje do
rovnovážné polohy.
U pružinového oscilátoru
F = -k.y.
Tuhost pružiny
F
k
l
vlastní kmitání závisí pouze na svých
vlastních parametrech (tuhost pružiny
a hmotnost tělesa)
Uvedeme-li oscilátor do kmitavého
pohybu, tíhová síla je stálá (má
stejnou velikost i směr). Mění se ale
velikost síly pružnosti, protože se
neustále mění výchylka tělesa
zavěšeného na pružině (viz obr. )
Pro výslednou sílu platí F = Fp + Fg.
Pro velikost této síly lze psát:
F = Fg – Fp = m.g – k(
k   N  m
1
je to skalární veličina definovaná
jako podíl síly, kterou musíme
působit, abychom natáhli pružinu
o vzdálenost delta l; pro každou
pružinu je jiná.
V rovnovážné poloze na pružinu se závažím působí
síla pružnosti o velikosti FP= k. l a síla tíhová
FG , která má stejnou velikost, ale opačný směr.
Proto
.
FG  FP
m  g  k  l
Síla pružnosti se snaží vrátit pružinu do
původního nedeformovaného stavu (ještě před
zavěšením závaží). Po zavěšení závaží na
pružinu míří síla pružnosti tedy vždy směrem
vzhůru.
l + y)
F  k  y
Na těleso působí proměnlivá síla, která
neustále směřuje do rovnovážné polohy a je
příčinou kmitavého pohybu.
V případě, kdy se oscilátor nachází nad rovnovážnou polohou, míří síla směrem dolů. Jinými slovy:
síla má vždy opačný směr ve srovnání s výchylkou oscilátoru.
Dynamika kmitavého pohybu
Úhlová frekvence volně kmitajícího mechanického
oscilátoru závisí jen na jeho parametrech,
tj. na hmotnosti m tělesa a tuhosti k pružiny.
Takové kmitání nazýváme vlastní kmitání oscilátoru
a jeho vlastní úhlovou frekvenci označíme 0:
 k  y  0  y  m
2
k
m
1
0 
 T0  2
 f 
m
k
2
k
m
Dynamika kmitavého pohybu
Úpravou najdeme vztah pro periodu T0 a frekvenci f0
vlastního kmitání pružinového oscilátoru:
m
T0  2
k
1 k
f0 
2 m
Přeměny energie v mechanickém oscilátoru
Při harmonickém kmitavém pohybu mechanického oscilátoru
se periodicky mění jeho potenciální energie v energii kinetickou
a naopak. Pokud na oscilátor nepůsobí vnější síly, je
mechanická energie kmitání konstantní a oscilátor kmitá
s konstantní amplitudou.
Přeměny energie v mechanickém oscilátoru
1 2 1
2
E  ky m  mv m  konst .
2
2
Celková energie kmitání mechanického oscilátoru je
konstantní a je přímo úměrná druhé mocnině amplitudy
výchylky, popř. druhé mocnině amplitudy rychlosti
vlastního kmitání.
Přeměny energie v mechanickém oscilátoru
Netlumené kmitání je takové, kdy se nemění amplituda
kmitání, na oscilátor nepůsobí v průběhu kmitání žádné
vnější síly.
U oscilátoru dochází ke ztrátám energie, kterým nelze u
skutečného oscilátoru nikdy zabránit, a vzniká tlumené
kmitání.
Kmitání reálného oscilátoru je vždy tlumené.
Nucené kmitání
mechanického oscilátoru
Nucené kmitání vzniká působením periodické síly
na oscilátory (i na objekty, které vlastnosti
oscilátoru nemají).
• Frekvence nuceného kmitání závisí na frekvenci působící
síly a nezávisí na vlastnostech kmitajícího objektu.
Nucené kmitání je netlumené. Říkáme, že mezi oscilátorem
a jeho okolím existuje vazba.
Při nuceném kmitání oscilátor kmitá vždy s frekvencí
vnějšího působení.
Rezonance
Malou, periodicky působící silou lze v oscilátoru
vzbudit kmitání o značné amplitudě, pokud je perioda
vnějšího působení shodná s periodou vlastního
kmitání oscilátoru – tzv. rezonanci.
Rezonance je využita např. u hudebních nástrojů.
Rezonanční křivka
(závislost amplitudy na úhlové frekvenci)
U ideálního oscilátoru bez tlumení by
amplituda výchylky nucených kmitů
při rezonanci rostla neomezeně.
Amplituda nuceného
kmitání je největší při
rezonanci, tzn. když
frekvence působící síly
je rovna frekvenci
vlastního kmitání
oscilátoru.
Šířka rezonanční křivky
je ovlivněna tlumením
(malé tlumení-úzká
křivka 1, velké tlumení
– široká křivka 2)