Transcript přeměny energie a následující (viz. prezentace)

Mechanické kmitání

Kmitavý pohyb tělesa (hmotného bodu)

Periodický kmitavý pohyb.

Mechanický oscilátor
Kinematika kmitavého pohybu
Perioda T
[T] = s

Frekvence f
[f] = s–1 = Hz (hertz)

1
f 
T

Harmonický pohyb.
Pružina
Kyvadlo
y  r. sin 


• Fáze 
[φ] = rad
y  ym . sin 
• Okamžitá výchylka y

• Maximální výchylka
ym (amplituda)
y  ym . sin 
• Úhlová frekvence ω
[ω] = rad.s–1
φ = ω.t
y  y m . sin t
Rovnice harmonického pohybu
y  y m . sin .t
2

 2f
T
Rychlost a zrychlení harmonického pohybu
v  .ym . cos .t
a   .ym . sin .t
2
v m  .y m
a m   .ym
2
Kyvadlo


Počáteční fáze kmitavého pohybu φ0
Fázorový diagram
Složené kmitání

Jestliže hmotný bod koná současně několik
harmonických kmitavých pohybů, téhož směru
s okamžitými výchylkami y1, y2, …, yk, je okamžitá
výchylka y výsledného kmitání y = y1 + y2 + … + yk
(princip superpozice)

Fázový rozdíl dvou pohybů Δφ = φ02 – φ01
2kπ rad: stejná fáze
(2k+1)π rad: opačná fáze
Rozdílné frekvence
Rázy

Amplituda rázů se mění s frekvencí f = f2 – f1.
Příklad 1
Napište rovnici výsledného kmitání, které vzniká superpozicí
izochronních kmitání o amplitudách výchylky 3 cm a 5 cm,
jestliže složky mají
a) stejnou fázi (φ1 = φ2),
b) opačnou fázi (φ2 = φ1 + π).
a) y12   0,08sin t
b) y12   0,02sint  
Příklad 2
Napište rovnici výsledného kmitání, které
vzniká superpozicí dvou izochronních kmitání
o frekvenci 8 Hz a o stejné amplitudě výchylky
2 cm. Fázový rozdíl kmitání je π/4 a počáteční
fáze jedné složky je nulová.
sin   sin   2 sin
 
2
cos


y12   0,04sin16 t 
8

 
2
Příklad 3
Dvě izochronní harmonická kmitání téhož směru o frekvenci
4 Hz mají stejnou amplitudu výchylky 2 cm a rozdíl fází
kmitání je π/2. Napište rovnici výsledného kmitání, jestliže
jedno kmitání má nulovou počáteční fázi.


y12   2,8.10 sin 8 t 
4

2
Dynamika kmitavého pohybu

Síla, která způsobuje harmonické kmitání
F  m.a  m. .y
2

Pohybová rovnice harmonického pohybu.
Závaží na pružině

Parametry: hmotnost tělesa m, tuhost
pružiny k.
Tuhost pružiny:
F
k
l
Výsledné síly působící na kmitající těleso:
F  k.y
y .… okamžitá výchylka oscilátoru
Z obou vztahů pro sílu F tedy vyplývá:
F  m. .y  k.y
2
Frekvence vlastního kmitání
1 k
m
f0 
 T0  2.
2 m
k

Úhlová frekvence – parametry oscilátoru

Vlastní kmitání oscilátoru (ω0)
Kyvadlo

Fyzické kyvadlo - těleso zavěšené nad
těžištěm, otáčivé kolem vodorovné osy.

Matematické kyvadlo - hmotný bod zavěšený
na tenkém vlákně se zanedbatelnou
hmotností.
l
T0  2..
g
1
g
 f0 
.
2. l
Přeměny energie

Celková energie = kinetická energie Ek + potenciální
energie pružnosti Ep.
Ep = ½.kym2
E = ½.kym2 + 0
Ek = ½.mvm2
E = 0 + ½.mvm2

Pokud na oscilátor nepůsobí vnější síly, je
mechanická energie kmitání konstantní.
Oscilátor kmitá s konstantní amplitudou.
1 2 1
2
E  ky  mv
2
2
Tlumené kmitání
Pomocí předchozího vztahu můžeme určit tzv. setrvačnou
hmotnost tělesa (hmotnost tělesa v pohybu)


Vlastní kmitání
Nucené kmitání

Když se frekvence nutící síly přiblíží vlastní
frekvenci oscilátoru, zvětší se amplituda
kmitů. Dojde k rezonanci.

Měníme-li frekvenci nutící síly, pak
v hodnotě frekvence vlastních kmitů je
amplituda největší – vznikne maximum.
Rezonanční křivka, význam rezonance


Rezonance - dva oscilátory (oscilátor, rezonátor)
Těsná vazba, perioda rázů menší x
volná vazba, perioda rázů větší
Shrnutí
















Mechanický oscilátor
Kmit
Perioda
Frekvence
Harmonický pohyb
Rovnice harmonického kmitání
Rychlost, zrychlení
Složené kmitání
Fázový rozdíl
Počáteční fáze
Rázy
Pohybová rovnice harmonického oscilátoru
Frekvence vlastního kmitání oscilátoru
Energie mechanického oscilátoru
Nucené kmitání
Rezonance
Příklad 1

Pružina se po zavěšení tělesa o hmotnosti
20 g prodloužila o 7 mm. Určete energii
kmitání tohoto oscilátoru po vychýlení z
rovnovážné polohy o 21 cm.
Příklad 2

Celková energie harmonického oscilátoru je
3 .10–5 J a maximální velikost síly, která na
něj působí, je 1,5.10–3 N. Napište rovnici
okamžité výchylky oscilátoru, jestliže
oscilátor kmitá s periodou 2 s a jeho
počáteční fáze je 60°.
Příklad 3

Určete poměr potenciální energie
harmonického kmitání hmotného bodu a jeho
kinetické energie jako funkci fáze kmitání.
Příklady 3 - 6

Pružinový oscilátor vznikl zavěšením tělesa
o hmotnosti 10 kg na pružinu, která se prodloužila
o 15 cm. Určete periodu oscilátoru
(g = 9,8 m.s-2)
(0,78 s)

Mechanický oscilátor tvořený tělesem o hmotnosti
200 g zavěšeným na pružině tuhosti 32 N.m-1 kmitá
s amplitudou 4 cm. Určete a) rychlost tělesa
v rovnovážné poloze, b) největší sílu, která na těleso
v průběhu periody působí.
(0,5 m.s-1, 1,3 N)

V kyvadlových hodinách se používalo
tzv. sekundové kyvadlo, které při každém
průchodu rovnovážnou polohou umožňovalo
pootočení mechanizmu hodin o jeden dílek
odpovídající 1 s. Určete délku sekundového
kyvadla.
(1 m)

Pružina se po zavěšení tělesa o hmotnosti 20 g
prodloužila o 7 mm. Určete energii kmitání
tohoto oscilátoru po vychýlení z rovnovážné
polohy o 21 cm.
(0,62 J)