Механические колебания
Download
Report
Transcript Механические колебания
Тема 8. Механические колебания
Периодические колебания
P
t
Т
P
t
синусоида
гармонические
колебания
Механические колебательные
системы
Пружинный маятник
Математический маятник
Крутильный маятник
P
PA
t
P = PA sin ω t
амплитуда
фаза
P
t
P = PA cos ωt =
= PA sin (ωt+π/2)
P
t
P = PA sin(ωt+φ0 )
начальная фаза
U
U ( x ) U ( x0 )
Umin
A
x0-A
x0
x
dU dU
F x x (xk x( x) x 0 )
0
0
dx
dx
F xd2U k x ( x x ) 2
0
x
0
2
квазиупруг
ая сила
dx
2
x0+A
dU m x kx
x0 0
( минимум
dx
функции
U ( x 0 ) U min
уравнение гармоничес ких колебаний
d U
k ( x x0 )
dx
2
2
x 2 A xcos(
k t 0 ) U ( x ) U min
0
)
2
Свободные колебания груза на
пружине. Трения нет
2
Fx = - k x;
m
dt
x x 0
x
0
x
A
T
2
kx
k
2
0
x
d x
2
0
m
x A sin( 0 t 0 )
x v x A 0 cos( 0 t 0 )
t
x v x a x A 0 sin ( 0 t 0 )
2
Свободные колебания груза на
пружине. Трения нет
x A sin( 0 t 0 )
2
0
х
x
x
0
x
A
T
k
m
0 ( t T ) 0 0 t 0 2
0T 2
T 2
m
k
t
1
T
0 2
Графики координаты x(t), скорости vx(t) и
ускорения ax(t) тела, совершающего
гармонические колебания.
x A cos 0 t A cos
2 t
T
x v x A 0 sin 0 t
x v x a x A 0 cos 0 t
2
Изменения на графике гармонического процесса
при изменении либо амплитуды колебаний, либо
частоты, либо начальной фазы.
Математический маятник
max= Fx = - mg sinφ;
sinφ ≈ x /L ≈ φ
d
2
m
dt
2
2
0
mg
L
0
0
2
g
L
A sin( 0 t 0 )
A 0 cos( 0 t 0 )
2
A 0
sin ( 0 t 0 )
T 2
L
g
E E кин Е пот ;
v
E
mv
x
kx
2
x
0
2
2
;
2
x A sin( 0 t 0 ) ;
Eпот
0
2
k
m
v x x A 0 cos( 0 t 0 )
t
mA 0 cos 0 t
2
Eкин
E
2
2
2
2
t
E
E
kA
2
( тах )
Е пот
;
Е ~ A
2
E
2
2
2
t
kA sin 0 t
mv max
2
( тах )
E кин
;
2
Превращения энергии при
свободных колебаниях.
Колебания груза на пружине
с трением
(Fупр )x = - k x; (Fсопр)x= -r·vx
v
2
Fсопр
m
d x
dt
2
kx r
dx
dt
x 2 x 0 x 0
2
x
0
x
0
2
k
r
2m
m
0
x A ( t ) sin( t 0 )
A ( t ) A0 e
t
0
2
2
Логарифмический декремент
затухания
ln
x (t )
x (t T )
e
ln
e
ln
t
(t T )
ln e
T
A (t )
A (t T )
T
логарифмический декремент
затухания
T
1/
x/A0
A ( t ) A0 e
1.0
t
A(t)
0.5
1/e
Ne /T
0.0
1/ Ne
-0.5
0
5
10
-A(t)
-1.0
t/T
/T
15
20
При наличии затухания полная
механическая энергия системы не
сохраняется.
Она уменьшается со временем.
Е = const!
2
E полная Е кин Е пот
mv x
2
kx
2
,
k m
2
2
0
При 0
x ( t ) A0 e
t
sin( t 0 ),
v x ( t ) x ( t ) A0 e
t
0
2
2
( sin( t 0 ) cos( t 0 ))
m
v
2
x
2
m
2
m
2
k
2
m
2
0
2
2 t
2
2 t
A0 e
A0 e
x
2
A e sin( t
t 2
) cos( t 0 )
0
2
sin ( t 0 ) cos ( t 0 )
2
2
2
2
sin 2 ( t 0 )
m
2
2
0
A0 e
2
2 t
sin ( t 0 )
2
m
E полная ( t )
m
2
m
2
2
2 t
2
2 t
A0 e
m
2
2
A0 e
A0 e
2
v
2
x
m
2
0 x
2
2
( 0 ) sin ( t 0 ) cos ( t 0 )
2
2
2
2
sin 2 ( t 0 )
2 t
2
2
2
0
2
( 0 ) sin ( t 0 )
2
2
2
( 0 ) cos ( t 0 ) sin 2 ( t 0 )
2
2
2
E полная ( t )
m
2
2
A0 e
2 t
m
2
A0 e
2
E пол ная ( t )
2
m
2
2 t
0
2
cos 2 ( t 0 ) sin 2 ( t 0 )
2
A0 e
спадает со временем
2 t
0
2
средняя
энергия ,
экспоненци ально
Добротность Q
показывает, как велик запас
энергии колебаний по сравнению
с потерями за один период
Q 2
E
E
E (t )
m
2
A0 0 e
2
2
2 t
E E (t ) E (t T )
m
A e
2
m
2
A e
2
0
2
0
2 t
1 e
Q 2
2 T
2
0
2
0
m
1
2T
2
2 t
2
A0 0 e
2
m
2
2 t
A e
2
0
2
0
2T
2 (t T )
Вынужденные колебания груза
на пружине.
x(t) = xm·cos(ωt-Δφ)
(Fупр )x = - k x; (Fсопр)x= -r·vx; (Fвн)x = F0 cos ωt
2
m
d x
dt
2
kx r
dx
dt
x 2 x x
2
0
0
2
k
m
F0 cos( t )
F0
cos t
m
r
2m
x ( t ) x зат ( t ) x вын ( t )
x зат A зат ( t ) sin( зат t 0 ) A зат ( t ) A0 e
t
0
x вын A ( ) cos( t )
tg
A ( )
F0
m
2
2
0
2
1
2
0
2 2
4
2
2
10
tg()
8
6
4
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
-2
-4
-6
-8
-10
tg
2
0
2
2
5
A
(F0/m )
A ( )
F0
1
m
2
0
2 2
4
2
4
max
3
2
0 2
2
2
1
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
2
F0
Amax
F0
m
1
m
2
0
max
2
2
4 max
2
2
1
F0
m
2
0
( 0 2 )
2
2
2
1
4 4
2
0
2
4
4 ( 0 2 )
2
F0
m
2
1
2 0
2
A ( 0 ) A 0
A max
A0
0
2
A max
A0
T0
Q
F0
m
2
0
1 - колебательная система без трения;
2, 3, 4 – кривые при различной добротности.
x вын A ( ) cos( t )
v x вын x вын A ( ) sin( t )
A ( ) cos( t / 2 )
v A ( ) cos( t / 2 )
v A ( )
F0
m
2
0
2 2
4
2
2
5
Va
(F0/m)
v A ( )
F0
m
2
0
2 2
4
2
2
4
max 0
3
2
1
0
0.5
1.0
1.5
2.0
x вын A ( ) cos( t )
v x вын x вын A ( ) cos( t / 2 )
a x в ын v х в ын A ( ) sin( t / 2 )
2
A ( ) cos( t )
2
a A ( ) cos( t )
a A ( )
F0
m
2
0
2
2 2
4
2
2
aA
5
a A ( )
(F0/m)
F0
m
2
0
2
2 2
4
2
2
0
2
4
max
3
0
2
2
2
1
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Векторная диаграмма
const
t
ω
R
φ
x
0 dt
0
0 t
x R cos
R cos( 0 t )
Сложение колебаний одного
направления
y
x1 A1 cos( 01 t )
x 2 A2 cos( 02 t )
φ2=φ02+ωt
x1
x2
x x1 x 2 A cos( 0 t )
A?
0 ?
φ1=φ01+ωt
x
x1 A1 cos( 01 t )
x 2 A2 cos( 02 t )
x x1 x 2 A cos( 0 t )
1
y1
y
2
y2
o
0
x1
x2
x
x
A
2
2
A1
tg 0
2
A2
y1 y 2
x1 x 2
2 A1 A2 Cos 02 01
A1 Sin 01 A 2 Sin 02
A1 Cos 01 A 2 Cos 02
Сложение колебаний
с близкими частотами. Биения
x1 A0 sin( t 01 )
x 2 A0 sin(( ) t 02 )
x x1 x 2 ?
x A0 {sin( t 01 ) sin(( ) t 02 )}
x A0 {sin( t 01 ) sin(( ) t 02 )}
sin sin 2 sin
2
x 2 A0 sin
cos
cos
2
t 01 (( ) t 02 )
2
t 01 (( ) t 02 )
2
x 2 A0 sin{(
cos
)t
01 02
2
01 t 02
2
;
2
x ( t ) A ( t ) sin( t 0 )
A ( t ) 2 A0 cos(
2
t ( 0 1 ))
0 ( 01 02 ) / 2
}
x/A0
A (t )
A (t )
2
1
0
0.5
1.0
1.5
t/T
-1
-2
0 . 1 ; T 4 / ;
0 1 0
Сложение взаимно
перпендикулярных колебаний
x ( t ) A1 sin( 1t 01 )
y ( t ) A2 sin( 2 t 02 )
y( x) ?
y
A2
-A1
0
-A2
A1
x
В общем случае колебания происходят
по неповторяющейся траектории.
Если частоты изменения координат
кратны целым числам,
траектория со временем повторяется.
В этом случае траектория называется
фигура Лиссажу
x ( t ) A sin( 2 t )
y (t ) A sin( t )
x/A, y/A
1.0
0.5
t/T
0.0
-0.5
-1.0
0.5
1.0
1.5
x ( t ) A sin( 2 t )
y/A
1.0
0.5
x/A
0.0
-1.0
-0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.5
1.0
x ( t ) A sin( 3 t )
x/A, y/A
y (t ) A cos( 2t )
1.0
0.5
t/T
0.0
0.5
-0.5
-1.0
1.0
1.5
Фигура Лиссажу (1: 2=3:2)
x = ASin(1 t ), y=ACos(2t).
y/A
1.0
0.5
x/A
-1.0
-0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.5
1.0
x ( t ) A sin( 2 t )
y (t ) A sin( 3t / 2)
x/A, y/A
1.0
0.5
t/T
0.0
0.5
-0.5
-1.0
1.0
1.5
Фигура Лиссажу (1: 2=2:3)
x = ASin(1 t ), y=ACos(2t).
y/A
1.0
0.5
x/A
-1.0
-0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.5
1.0