Transcript bfy1_(5)

FYZIKA 1
Sir George Stokes
(1819 - 1903)
BFY1
Tíhové pole Země je pole HOMOGENNÍ → ve všech
místech pole je stejná intenzita K, stejný potenciál φ a tělesu
je udělováno zrychlení g = 9,81 ms-2. Omezujeme se jen na
malé oblasti na povrchu Země (jinak to je radiální pole)
 Pohyby v tíhovém poli Země označujeme jako VRHY
 Podle vzájemného směru g a v0 je rozdělujeme:
 Volný pád - v0 = 0, přímočarý RZrP
 Svislý vrh - v0 a g jsou rovnoběžné, přímočarý RZrP
 Vodorovný vrh - v0 a g jsou kolmé, trajektorie je parabola
 Šikmý vrh – všechny ostatní případy, trajektorie je parabola

Pozn.: VP a svislý vrh řešíme jako RZrP se zrychlením a = g.
Vodorovný a šikmý vrh musíme zkoumat po složkách ve
směru osy x a y, jsou to tzv. dvourozměrné pohyby.
BFY1
Je složený ze dvou pohybů: volný pád a RPP ve směru v0
Zkoumáme: polohu tělesa v čase t (souřadnice [x, y]) a
rychlost tělesa v čase t (složky vx, vy)

y

vo
d1  vot
1 2
d 2  gt
2
d
h
y
x  vot
1 2
y  h  gt
2
x
x
BFY1

Podle principu superpozice ji určíme po složkách, které
pak podle Pythagorovy věty složíme.
y
h

vo

vo
v  v  gt 
2
2
o
tD 
2h
g
D  v0

gt
gt
tg a 
vo
a
v
2h
g
Zajímá nás: Čas dopadu tD, je stejný jako u volného pádu.
Délka vrhu D – dosadíme tD do vzorce pro x.
x
BFY1
Při popisu šikmého vrhu budeme postupovat podobně jako
u vodorovného vrhu – popíšeme pohyb po složkách ve
směru os x a y, a ty potom složíme s využitím Pyth.věty.
 Na rozdíl od vodorovného vrhu musíme nejdříve složky
ve směru x a y určit.

y

v 0y
Počáteční rychlost v0 svírá se směrem osy x úhel α,
který označujeme jako elevační.
v

v
cos
a
0
x
0
Velikosti složek počáteční rychlosti:
v0 y  v0 sin a

v0
Šikmý vrh je složen z:
a

v0x
x
 RPP ve směru osy x
 Svislého vrhu ve směru osy y
BFY1
vx  v0 x  const, x  v0 xt  v0 cosa.t
 Ve směru y … svislý vrh v  v  gt  v sina  gt
y
0y
0
1 2
1 2
y  v0 yt  gt  v0 sina.t  gt
2
2

2
g  9,81ms
vy  0 

 

v0 x  v
vy v
v0 x

 v
v0 x

v
y
v0 y o
v
Rychlost v je vektorovým
a

součtem složek vx a vy.
v0 x


Ve směru x … RP
Doba výstupu tV → čas dosažení nejvyššího bodu
v0 sina
v y  0 0  v0 sina  gtV  tV  g
BFY1
Vztahy pro souřadnice x a y vyjadřují parametrické zadání
trajektorie, parametrem je čas t.
 Rovnici trajektorie jako funkci y(x) získáme jejich úpravou.

x
x  v0 cosa .t  t 
Dosadíme do rovnice pro y.
v0 cosa
2
1 2
x
1  x 
y  v0 sina.t  gt  v0 sina .
 g

2
v0 cosa 2  v0 cosa 
g x2
y  tga .x  2
2v0 cos2 a

g, v0, α jsou pro danou situaci konstanty, rovnice má tvar
paraboly y = ax2 + bx, což je to, co bychom očekávali.
BFY1

Souřadnice [x, y] pro dolet jsou [R, 0], dosadíme:
R
R  v0 cosa .t  t  v cosa
0
vo
1 
1 2 
R

t
.
v
sin
a

gt 
0  v0 sina.t  gt
 0
2 
2

Rovnice je v součinovém tvaru, jedním řešením je t = 0, což
odpovídá času výstřelu, druhou vyřešíme po dosazení za t.
1
R
1
0  v0 sina  gt  v0 sina  g
2 v0 cosa
2
1
R
Maximální R bude pro
v0 sina  g
2 v0 cosa
danou rychlost v0 tehdy,
2
2
2v0 sina cosa v0 sin 2a
když bude sin2α = 1,
R

g
g
což je pro úhel α = 45o.
BFY1
Souřadnice [x, y] pro maximální výšku jsou [½R, H]
v0 sina
 Maximální výšky H dosáhne těleso v čase tV,
tV 
g
 Dosadíme do vztahu pro y-ovou souřadnici:
2
1 2
v0 sina 1  v0 sina 
H  v0 sina .tV  gtV  v0 sina .
 g
 
2
g
2  g 
v02 sin 2 a 1 v02 sin 2 a v02 sin 2 a v02y

 g


2
g
2
2g
g
2g

Pozn.: Porovnejte tento vztah se vzorcem pro maximální
výšku h svislého vrhu, odpovídá očekávání.
Pro úhly α a 90°–α je stejný dolet R,
ale vrhy se liší výškou H.
BFY1
Budeme řešit situaci při dopadu tělesa ve vzdálenosti R
od místa vrhu, předpokládáme, že vrh se odehrává na
vodorovné rovině (neházíme z kopce).
v0 sina
 Čas výstupu tV je stejný jako čas od dosažení
tV 
g
maximální výšky do okamžiku dopadu.
 Od dosažení bodu H se jedná v podstatě o vodorovný
vrh s počáteční rychlostí v0x, ve svislém směru je to VP.

v0 sina
vy  gtV  g
 v0 sina  v0 y Složením v0x a v0y je v0
g
vx  v0 x
Závěr: Rychlost dopadu je stejná jako počáteční rychlost v0
Podobně se dá ukázat, že se rovnají i úhel dopadu a
elevační úhel..
BFY1
Všechny předchozí úvahy se týkaly pohybu ve vakuu, odpor
vzduchu jsme zanedbali.
 V reálné situaci odpor prostředí zanedbat nelze a trajektorií
šikmého vrhu není parabola, ale balistická křivka.

vo
a
BFY1
Nekonzervativní síla, která se projevuje se při pohybu tělesa
v tekutině, což může být kapalina, plyn nebo plazma.
 Záleží pouze na vzájemném pohybu tekutiny a tělesa.
 Velikost odporové síly závisí na rychlosti:
 Malé rychlosti – závisí přímo úměrně na v
 Střední rychlosti – závisí na druhé mocnině v
 Extrémně velké rychlosti – závisí na třetí mocnině v.

Laminární proudění, těleso je
obtékáno pravidelně bez vzniku vírů,
nastává při malých rychlostech
Turbulentní proudění, těleso je
obtékáno nepravidelně za vzniku
vírů, nastává při středních a velkých
rychlostech.
BFY1

Pro malé rychlosti a laminární proudění vizkózní
kapaliny platí Stokesův vzorec.
F  6Rv

R – poloměr kuličky, nebo jiný rozměr
v – vzájemná rychlost tělesa a kapaliny
η – dynamická viskozita kapaliny
Pro střední rychlosti a turbulentní proudění platí
Newtonův vzorec.
1
2
F  CSv
2
ρ – hustota tekutiny
v – vzájemná rychlost tělesa a tekutiny
S – účinný průřez kolmý na směr pohybu
C – součinitel odporu
BFY1
C  1,4
C  0,48
C  0,01
Nejmenší hodnotu součinitele odporu C má těleso
aerodynamického tvaru.
BFY1

Budeme zkoumat jen určitou zjednodušenou situaci:
 Proudící
prostředí je vzduch (kapaliny zatím odložíme)
 Proudění je turbulentní, za se tělesem tvoří víry.
 Tvar tělesa není aerodynamický, zkoumáme „kulatá“ tělesa
Při pádu rychlost v narůstá a odporová síla Fo roste.
 Při dostatečně dlouhém pádu se Fo vyrovná s tíhovou silou G.
Podle 2.NZ je zrychlení nulové a = 0 a těleso už dále
nezrychluje v = const.
 Těleso padá stálou rychlostí vm – mezní rychlost

Fo  G
1
CSvm2  m g
2
2m g
 vm 
CS
BFY1

Těleso si pohybuje po trajektorii tvaru kružnice, jedná se o
křivočarý pohyb – rovnoměrný nebo nerovnoměrný.
t
s
t
vs t
  
s

t
S
Úhlová dráha je velikost
úhlu, který přísluší k oblouku
délky Δs
s
 
r
RP po kružnici koná těleso
tehdy, jestliže za stejné
časové intervaly t opíše
stejně dlouhé oblouky Δs
resp. urazí stejnou úhlovou
dráhu Δφ příslušnou k
oblouku Δs.
Obvodová rychlost
je konstantní a má
s
v
směr tečny ke
t
kružnici.
BFY1
Děj, který se pravidelně opakuje – PERIODICKÝ
 PERIODA - T: Doba, za kterou se rovnoměrný pohyb
částice po kružnici zopakuje,
obecně: doba potřebná k vykonání jednoho cyklu
T  s
periodického pohybu.
 FREKVENCE - f: Počet oběhů částice při rovnoměrném
pohybu po kružnici za 1 sekundu,
1
f 
obecně: počet cyklů periodického pohybu
T
1 1 1
za jednotku času.
 f     s  Hz (hertz)
T  s
Obvodová rychlost pomocí T a f:

s 2r
 2rf Za čas T urazí částice při pohybu
v

T
po kružnice celý obvod, tj. Δs = 2πr
t
BFY1

Analogicky k obvodové rychlosti v je definována úhlová
rychlost ω jako poměr úhlové dráhy a času:
t
s



S
Vektor ω je kolmý k rovině kružnice
a leží na přímce procházející jejím
středem. Směr vektoru určíme
pravidlem pravé ruky: Jestliže prsty
pravé ruky obrácené dlaní k částici
ukazují směr jeho pohybu, udává
vztyčený palec směr vektoru ω.
  rad.s 1

t
2
   2f v r
T
Pozn.: Šípová konvence: pokud
chceme znázornit směr kolmý k
nákresně, kreslíme „šíp“:
Směr k nám …. 
Směr od nás …. 
BFY1

I v případě rovnoměrného pohybu (velikost rychlosti v je
konstantní) se částice po kružnici pohybuje se zrychlením.

 v
a
t

 v1

v2

ad
 
 v v1

ad
Zrychlení označujeme jako
dostředivé ad, protože má směr
vždy do středu kružnice. Vektor
dostředivého zrychlení je kolmý
k vektoru okamžité rychlosti.
v2
2
a



r
Velikost ad… d
r
S

V případě nerovnoměrného pohybu po kružnici (velikost
rychlosti v se s časem mění) má vždy částice toto dostředivé
zrychlení ad, je však jen jednou složkou celkového zrychlení.
BFY1
Zrychlení je definováno jako změna rychlosti za čas,
analogicky definujeme úhlové zrychlení ε jako změnu
úhlové rychlosti za čas.
2 1 


t 2  t1
t
 d
  
  lim t0

a  ad  at
t dt

a  a a
2
d
2
t

a

at
v r  
at  
 r.
 r
t
t
t
S
Kromě dostředivého a úhlového zrychlení definujeme i
obvodové zrychlení neboli tečné zrychlení at , které má směr
vektoru rychlosti, tedy tečny ke kružnici.
Pozn.: U rovnoměrného pohybu po kružnici se at = 0

ad
BFY1

Otáčející se vztažná soustava je neinerciální, protože se
vzhledem k inerciální soustavě pohybuje se zrychlením.
v
a
t

 v1

v2

ad

v
Fd

ad
S
v2
2
a



r
Velikost ad… d
r
Dostředivá síla Fd je ta, která
udržuje částici v pohybu po
Fo kružnici – např. tahová síla
 lanka, gravitační síla při pohybu
v1 planet apod.
v2
Fd  ma d  m  m 2 r  Fo
r
Opačným směrem než dostředivá síla Fd působí odstředivá
setrvačná síla Fo, není to reakce na Fd, ale má stejnou velikost.
Setrvačnou odstředivou sílu pociťujeme při průjezdu zatáčkou.
BFY1
Děkuji za pozornost