Transcript (x,y)…

4.OBECNÁ AXONOMETRIE A KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ
Obecná axonometrie 4.1-4.9
Mongeovo promítání
Axonometrie
+řešení složitých
konstruktivních úloh v
prostoru
+také umožňuje řešit
konstruktivní úlohy v
prostoru
-malá názornost
-je daleko názornější
Axonometrie
obecná axonometrie
kosoúhlé promítání
vojenská perspektiva
kavalírní perspektiva
pravoúhlá axonometrie
technická izometrie
dimetrie
►
Znalost těchto metod je základem skicování, které je potřebné i v době CAD
systémů.
4.0.Kartézský souřadnicový systém (O; x,y,z, jednotka j) v E3
O…počátek
i,j,k …ortonormální vektory
Společná velikost vektorů j
(x,y)…souřadnicová rovina
(y,z)…souřadnicová rovina
(x,z)…souřadnicová rovina
x,y,z…osy
►
V technické praxi se převážně užívá pravotočivý kartézský systém
4.1 Souřadnicový kvádr
Bod B=(xB,yB,zB) v E3
p=(x,y)...půdorysna
n=(x,z)...nárysna
m=(y,z)...bokorysna
B1 ...pravoúhlý průmět B do p
B2 ...pravoúhlý průmět B do n
B3 ...pravoúhlý průmět B do m
►
Každý bod B v E3 určuje souřadnicový kvádr se stěnami v souřadnicových rovinách
(x,y), (x,z), (y,z) o vrcholech O, B, B1, B2, B3
4.2 Axonometrie bodu
Dáno:
souřadnicový kvádr
s...směr promítání
r...rovina (r || s)
rovinu r nakonec ztotožníme
s nákresnou (tabule, sešit) 
►
Souřadnicový kvádr bodu B a souřadnicový systém (O; x, y, z; j) promítneme
rovnoběžně (směr s) do roviny r. Rovinu nazveme axonometrickou průmětnou.
4.2 Axonometrie bodu
Ba B1a || za
Ba B2a || ya
Ba B3a || xa
B a axonometricky průmět
bodu B
B1a axonometricky průmět
půdorysu bodu B
B2a axonometricky průmět
nárysu bodu B
B3a axonometricky průmět
bokorysu bodu B
jx,jy,jz axonometrické
průměty jednotky j na
osách
x a,y a,z a axonometrické
průmět y os
Oa axonometricky průmět
(Oa;xa,ya,za) osový kříž
počátku
► Axonometrie je vzájemně jednoznačné zobrazení prostoru E3 na množinu
dvojic bodů B a,B1a (B a B1a || z a ) v rovině r, symbolicky zapíšeme B  B1a,B a
► Bod v prostoru je jednoznačně určen dvojicí B a,B a, stručně axonometrie bodu B
4.3 Pohlkeova věta: Tři úsečky se společným koncovým bodem, které leží v
jedné rovině a neleží na jedné přímce, můžeme považovat za rovnoběžný průmět tří
navzájem kolmých a shodných úseček v prostoru, které mají společný koncový bod.
(Oa;xa,ya,za) osový kříž
můžeme volit libovolně s
výjimkou xayaza
jednotková krychle v nadhledu
jednotková krychle v podhledu
►
Axonometrie je určena: osovým křížem (Oa;xa,ya,za) a axonometrickými
jednotkami jx,jy,jz
4.4 Axonometrický průmět objektu daného sdruženými
průměty-metoda redukce souřadnic V axonometrii (Oa;xa,ya,za;jx,jy,jz )
zobrazte objekt daný sdruženými průměty
Řešení:
1) Souřadnice bodů (např.
bod B) jsou zkresleny v
poměrech jx/j=xaB/xB,
jy/j=yaB/yB, jz/j=zaB/zB,
ke konstrukci užijem
afinitu.
2) Použijeme zkreslených xových a y-ových
souřadnic bodů,
sestrojíme axonometrii
půdorysu objektu.
3) Pro konstrukci
axonometrie objektu nad
jeho půdorysem užijeme
zkreslených z-ových
souřadnic
►
Pro zjednodušení budeme dále vynechávat označení axonometrických průmětů.
4.5 Axonometrický průmět kružnice k v souřadnicové
nebo hlavní rovině Je dáno: (Oa;xa,ya,za;jx,jy,jz ), k = (S,r ), k  (x,y )
Řešení:
Kružnice k v rovině (x,y ) se
zobrazí jako elipsa
určená sdruženými
průměry MN,PQ pro
které platí:
MN ||x, |MN |=2r *jx
PQ ||y, |PQ |=2r *jy
►
Osy elipsy dané sdruženými průměry MN,PQ sestrojíme Rytzovou konstrukcí
4.6 Eckhartova metoda konstrukce axonometrického průmětu objektu
(bodu) daného sdruženými průměty v Mongeově promítání.
Jsou dány libovolně umístěné sdružené průměty objektu a dva různé směry s1, s2
Označme:
A1...půdorys bodu A
x1,y1...půdorysy os x,y
A2...nárys bodu A
x2,z2...nárysy os x,z
Konstrukce:,
1) l1 : A1 l1 , l1 || s1
2) l2 : A2 l2 , l2 || s2
3) Bod A a= l1  l2
►
Pokud průměty A1, A2 mají opravdu reprezentovat bod A, musí si odpovídat x-ové
souřadnice
4.6 Ověření Eckhartovy metody.
1) Touto metodou snadno
sestrojíme osový kříž a
axonometrické jednotky.
Podle Pohlkeovy věty
existuje axonometrie k
danému osovému kříži a
axonometrickým
jednotkám.
2) Jednotky na osách se
zkreslí v poměrech: jx/j,
jy/j, jz/j. Stačí ukázat že
souřadnice xA, yA, zA se
Ekhartovou metodou
zkreslí ve stejných
poměrech: jx/j=xaB/xB,
jy/j=yaB/yB, jz/j=zaB/zB,
►
K Eckhartově metodě můžete použít i jiných dvojic sdružených průmětů: půdorys,
bokorys; nárys,bokorys.
4.6.1 Úloha
Eckhartovou metodou sestrojte axonometrický průmět jednotkové krychle
1) Zvolíme jednotku,
umístíme půdorys a
bokorys krychle.
2) Zvolíme směry s1, s2
3) Použijeme Eckhartovu
metodu
►
K Eckhartově metodě můžete použít i jiných dvojic sdružených průmětů: půdorys,
bokorys; nárys,bokorys.
4.9 Druhy axonometrií A)podle axonometrických jednotek na tři skupiny
z
z
z
jz
jz
O
jz
O
O
jy
jx
y
jx
jy
y
x
x
x
jy
jx
y
isometrie: jx= jy= jz
dimetrie: jx= jy jz
trimetrie: jx jy jz
B) podle směru s promítání na pravoúhlou axonometrii, je-li směr promítání kolmý
k axonometrické průmětně r a na obecnou axonometrii (šikmou) pro s  r.
Axonometrická průmětna může splynout s některou rovinou souřadnicového trojhranu.
z
z
j=jz
jz=j
O
y
jx=j
jx O j=j
y
x
x
a) kosoúhlé promítání, je-li r(y,z ), (|jx|/|j |=q, jy=jx=j )
b) vojenská perspektiva, je=li r(x,y ), (jx=jy=jz=j)
jy=j
y
4.10 Kosoúhlé promítání
Dáno:
souřadnicový kvádr
s...směr promítání s  m
m...rovina (y,z ), (r || s )
rovinu m nakonec ztotožníme
s nákresnou (tabule, sešit) 
►
Bod v kosoúhlém promítání je dán dvojicí B1k,B k, stručně kosoúhlý průmět bodu B
4.10 Kosoúhlé promítání
Dáno:
souřadnicový kvádr
s...směr promítání s  m
m...rovina (y,z ), (r || s )
rovinu m nakonec ztotožníme
s nákresnou (tabule, sešit) 
►
Bod v kosoúhlém promítání je dán dvojicí B1k,B k, stručně kosoúhlý průmět bodu B
4.10 Kosoúhlé promítání
Dáno:
osový kříž (O ;x,y,z ), y  z
axonometrické jednotky
jx,jy,jz , jy=jx=j
Zadávání kosoúhlého
promítání:
úhel w, kde w =  x,y
kvocient q, q = |jx|/ |j |
►
Dále vynecháváme indexy pro označení kosoúhlých průmětů. Takže kosoúhlý průmět
Bk bodu označíme jen B
4.10.1 Konstrukce v souřadnicové rovině.
Sklopíme rovinu (x,y) do nákresny (y,z), sklopené útvary označíme ().
1) Osa sklápění je o  y.
2) Osu x sklopíme do
přímky (x).
3) Bod Ax sklopíme do
(A):
(A)(x), |OA|/|O(A)|=q
4) Bod B (x,y) sklopíme do
bodu (B) užitím souřadnic,
yB nezkreslená, xB
zkreslená
5) Nyní umíme sklopit
libovolný bod v rovině
(x,y) a na ose x
6) Směr A(A) nazveme
směrem zkreslení xových souřadnic
a) Přímky spojující kosoúhlé průměty bodů a body sklopené jsou navzájem rovnoběžné.
b) Dvojice přímek m,(m) se buď protínají na ose sklápěni nebo jsou sní rovnoběžné.
4.10.2 Úloha
V kosoúhlém promítání zobrazte čtverec ABCD v rovině (x,y),znáte-li stranu AB
(w=135°, q=2/3)
1) Rovinu (x,y) sklopíme
kolem y do nákresny.
Směr zkreslení x-ových
souřadnic je dán
koncovými body vektorů j
a jx
2) V nákresně sestrojíme
čtverec (A)(B)(C)(D)
3) Bod (C) sklopíme zpět do
C
4) Nakreslíme rovnoběžník
ABCD
►
Ze dvou možných řešení je zobrazeno pouze jedno.
4.10 Kosoúhlé promítání kružnice v souřadnicové rovině
4.10.3 Úloha
V kosoúhlém promítání zobrazte rotační kužel o vrcholu V s podstavou v rovině (x,z)
znáte-li jeho površku VA. Podstavná kružnice k leží rovině (x,z) a prochází bodem A
(w=135°, q=2/3)
1) Střed podstavy S je
průsečík osy o kužele s
rovinou podstavy.
2) Sklopíme rovinu (x,z) do
(y,z) a sestrojíme
skutečnou velikost úsecky
SA
3) Zobrazíme kružnici k v
rovině (x,z)
►
Ze dvou možných řešení je zobrazeno pouze jedno.