Transcript Lekce č.2 Mongeovo promítání

Přednáška č. 2
1. Kótované promítání.
Opakování
Vzdálenost bodu od přímky.
Vzájemná poloha přímky a roviny.
Vzdálenost bodu od roviny.
2. Mongeovo promítání
Zobrazení bodu, přímky a roviny.
Vzájemné polohy bodů, přímek a rovin.
Vzdálenosti a odchylky.
Vzdálenost bodu od přímky
Příklad 11: Určete vzdálenost bodu C od přímky a = AB: A = [-5; 0; 2], B = [0; 4; 0],
C = [5; 1; 3].
Zadání bodů:
A=[-5,0,2] ... A1(2)
C=[5,1,3] ... C1(3)
B=[0,4,0] ... B1(0)
y
x
Vzájemná poloha přímky a roviny
Příklad 12: Sestrojte průsečík přímky m = MN s rovinou r = ABC:
M1(2)
C1(3)
A1(1)
N1(4)
B1(2)
m
Vzdálenost bodu od roviny
Příklad 13: Určete vzdálenost bodu B od roviny a dané spádovým měřítkem s:
s
4
3
2
B1(5)
1
Kótované promítání - opakování
Příklad 14: Je dána přímka a = MN a bod A. Určete obraz rovnostranného trojúhelníku
ABC, leží-li strana BC na přímce a; M = [-5; 0; 2], N = [1; 5; 0], A = [1; 2; 5].
Příklad 15: Bodem M proložte rovinu r kolmou k přímce m = BC.
B(1)
M(3)
C(6)
m
Mongeovo promítání
- pravoúhlé promítání na dvě k sobě kolmé průmětny
Zobrazení bodu
Základní pojmy:

… půdorysna

… nárysna
x12 … základnice
B1, B2 … sdružené průměty
(obrazy) bodu B
B1
… půdorys bodu B
B2
… nárys bodu B
B1B2 … ordinála
Příklad 1: V mongeově promítání zobrazte sdružené průměty bodů K, L, M;
K = [2; 3; 4], L = [-5; 4; 0], M = [4; -5; -8].
Zobrazení přímky
n
N2
a2
a
P2
x12
N1
a1
P1
p
n
N2
a2
a1, a2 … sdružené průměty přímky a
P
N
P2
N1
… půdorysný stopník
… nárysný stopník
a1
P1
x12
Příklad 2: Sestrojte stopníky přímky a
a2
x12
a1
Zvláštní polohy přímky:
- přímka kolmá k průmětně
- přímka kolmá k základnici
- přímka rovnoběžná s půdorysnou - horizontální hlavní přímka (hl. př. prvé osnovy) h, hI
- přímka rovnoběžná s nárysnou - frontální hlavní přímka (hl. př. druhé osnovy) f, fII
Příklad 3: Sestrojte sdružené průměty přímek v uvedených polohách.
Příklad 4: Sestrojte postupně sdružené průměty dvou rovnoběžných, různoběžných
a mimoběžných přímek.
Zobrazení roviny
n
n
r
h
f
x12
p
p
p … půdorysná stopa roviny,
n … nárysná stopa roviny, h, f … hlavní přímky roviny
Příklad 5: Zobrazte roviny:
a) r(4; 4; 3),
b) s(-5; 2; 3),
c) m(∞; 3; 4),
d) k(3; ∞; 4),
Zvláštní polohy rovin:
- rovina kolmá k půdorysně – půdorysně promítací rovina
- rovina kolmá k nárysně – nárysně promítací rovina
- rovina kolmá k oběma průmětnám
Příklad 6: Sestrojte stopy rovin v uvedených polohách.
Zadání roviny (určující prvky roviny):
- tři body,
- dvě různoběžné přímky (spec. stopy, hlavní přímky),
- dvě rovnoběžné přímky,
- přímka a bod
e) l(-3; 2; ∞).
Příklad 7: Sestrojte hlavní přímky h, f roviny s = (a,b), a b.
Zobrazte stopy roviny s.
a2
b2
x12
a1
b1
Příklad 8: Sestrojte stopy roviny s dané různoběžkami a, b.
Příklad 9: Sestrojte stopy roviny s dané bodem A a přímkou b.
Bod a přímka v rovině
Příklad 10: Určete sdružené průměty přímky AB, která leží v rovině r(-5; 5; 4);
A = [0; 2; ?], B = [2; 1; ?].
Příklad 11: Sestrojte sdružené průměty bodu A  r; r(5; 4; 5), A = [0; 2; ?].
Průsečík přímky s rovinou
Příklad 12: Určete průsečík přímky AB s rovinou ;
(-4; 4; 5), A = [2; 1; 0], B = [-5; 4; 8].
Přímka kolmá k rovině
Příklad 13: Bodem K = [2; 3; 4] veďte přímku kolmou k rovině r(-3; 4; 4).
Odchylka roviny od průmětny
Příklad 14: Určete odchylku roviny r(-3; 4; 4) od půdorysny .
Mongeovo promítání – domácí práce
1. Zobrazte stopy roviny určené hlavní přímkou druhé osnovy f = AP a bodem
M; A = [0; 0; 5], P = [-2; 0; 4], M = [0; 2; 6].
Reference:
Urban, A.: Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1982.
Drábek, K., Harant, F., Setzer, O.: Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1978.
Kargerová, M, Mertl, P., Veselý, Z.: Inženýrská geometrie, ČVUT, Praha, 1996.