Transcript Deskriptivní geometrie DG/PÚPN

Deskriptivní geometrie
DG/PÚPN
Roman Hašek
Pedagogická fakulta JU v Č. Budějovicích
[email protected]
Osnova předmětu
I. Úvod
Promítací metody.
II. Kótované promítání
Zobrazení bodu, přímky, úsečky a roviny. Polohové a metrické úlohy. Průmět kružnice.
Otáčení roviny. Afinita. Obrazec v obecné rovině.
III. Mongeovo promítání
Zobrazení bodu, přímky a roviny. Polohové a metrické úlohy. Průmět kružnice. Otáčení
roviny. Hranol, jehlan, válec a kužel s podstavou v obecné rovině.
IV. Kosoúhlé promítání
Zobrazení bodu, přímky a roviny. Polohové a metrické úlohy. Průmět kružnice. Otáčení
roviny. Hranol, jehlan, válec a kužel s podstavou v průmětně.
V. Axonometrie
Zobrazení bodu, přímky a roviny. Polohové a metrické úlohy. Průmět kružnice. Otáčení
roviny. Hranol, jehlan, válec a kužel s podstavou v průmětně.
Doporučená literatura
• Urban, A., Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1982.
• Drábek, K., Harant, F., Setzer, O., Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1978.
• Fakulta aplikovaných věd ZČU v Plzni, Katedra mat. – oddělení geometrie
http://geometrie.kma.zcu.cz (Materiály pro studenty – Materiály podle oborů)
• Jiří Doležal, Základy geometrie a Geometrie, VŠB-TU Ostrava
http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html
Přednáška č. 1
1. Promítací metody.
Rovnoběžné a středové promítání.
Dělící poměr. Dvojpoměr.
Kótované promítání.
Mongeovo promítání.
Kosoúhlé promítání.
Axonometrie (pravoúhlá, kosoúhlá)
Lineární perspektiva.
2. Kótované promítání
Zobrazení bodu, přímky, úsečky a roviny.
Polohové a metrické úlohy.
Průmět kružnice.
Otáčení roviny.
Promítání
Promítáním rozumíme zobrazení trojrozměrného prostoru E3 na rovinu E2. Promítat ale
můžeme také třeba dvojrozměrný prostor E2 na přímku E1 apod.
Rovnoběžné promítání
Středové promítání
S
C
C
s
A
A
B
B
A'
A'
B'
B'
Rovnob. p. zachovává dělící poměr
  ( ABC ) 
C'
p
C'
CA
CB
Střed. p. zachovává dvojpoměr
( ABCD) 
( ABC )
( ABD)
p
Rovnoběžné promítání
C
s
• Kótované promítání
• Mongeovo promítání
• Kosoúhlé promítání
• Axonometrie (pravoúhlá, kosoúhlá)
A
B
A'
B'
C'
Rovnoběžné promítání je dáno průmětnou p a směrem promítání s, který není
rovnoběžný s průmětnou p.
Přímku rovnoběžnou se směrem promítání s nazýváme promítací přímka, rovinu
rovnoběžnou se směrem s pak nazýváme promítací rovina.
Průmětem přímky je přímka nebo bod:
P … stopník přímky
C … promítací přímka
p
Průmětem roviny je celá průmětna p nebo přímka:
ps … stopa roviny
s’ … průmět promítací roviny
Hlavní přímky roviny jsou přímky roviny rovnoběžné s průmětnou p:
h … hlavní přímka
h’… průmět hlavní přímky
Průmětem rovnoběžných přímek a, b jsou rovnoběžné přímky a’, b’ nebo dva
body:
Hlavní roviny jsou roviny rovnoběžné s průmětnou p. Průmět útvaru ležícího v hlavní
rovině je s ním shodný:
Kótované promítání
- pravoúhlé promítání na jednu průmětnu
Průmět bodu
B
A
A1(2)
A1(2)
C1(-4.53)
z
x
B1(3.45)
C1(-4.53)
p
y
B1(3.45)
p
C
kóta – orientovaná vzdálenost bodu od průmětny (z-tová souřadnice bodu)
kótovaný průmět – pravoúhlý průmět (půdorys) s připsanou kótou
Průmět přímky
L1(3)
K1(1.3)
P1(0)
P … stopník přímky
a … odchylka přímky od průmětny
L
K
p1
L1(3)
a
P=P1(0)
p
K1(1.3)
p
p1
Průmět roviny
s
L
M
K
L1(3)
h
a
K1(1.3)
q1
P=P1(0)
p
h1(1.3)
q
p1s
určení roviny … tři nekolineární body, přímka a bod mimo ni, dvě různoběžky, dvě
různé rovnoběžky
stopa roviny ps… průsečnice roviny s s průmětnou
hlavní přímka h … přímka, která leží v rovině a je rovnoběžná s průmětnou;
spojuje body o stejných kótách.
spádová přímka s … přímka, která leží v rovině a je kolmá na její hlavní přímky
Příklad 1: Sestrojte stopu roviny s = (ABC).
C1(6)
B1(3)
A1(-1)
Příklad 2: Určete kótu bodu M, který leží v rovině s = (ABC).
M1(?)
C1(6)
B1(3)
A1(-1)
Stupňování a spád přímky
e … ekvidistance
i … (jednotkový) interval přímky
a … odchylka přímky od prům.
e
tg 
i
… spád přímky
Příklad 3: Vystupňujte přímku p:
Skutečná velikost úsečky. Odchylka přímky od roviny.
- používáme sklopení promítací roviny přímky
(L )
L
( p)
3,01 cm
K
p1
(K )
p1
1,30 cm
K1(1.3)
L1(3)
a
L1(3)
P=P1(0)
p
K1(1.3)
P1(0)
p
Příklad 4: Určete skutečnou velikost úsečky AB; A(3.8), B(2.5).
Příklad 5: Určete odchylku přímky MN od průmětny; M(-2.6), N(4.1).
Příklad 6: Zobrazte čtverec, je-li dán střed S a přímka p = KL, na které leží strana
čtverce; K(3.2), L(0), S1K1L1.
Odchylka roviny od průmětny
- je rovna odchylce spádové přímky od průmětny
Příklad 7: Určete odchylku roviny s = (ABC) od průmětny; A(-1), B(1), C(3).
Poznámka: Průměty hlavních a spádových přímek jsou navzájem kolmé.
Otočení roviny
Příklad 8: Zobrazte čtverec, znáte-li vrchol A a přímku p = MN, na které leží
úhlopříčka čtverce; A(3.5), M(-0.5), N(0.5).
otočení bodu:
A0
Poznámka:
Pravoúhlý průmět bodu a pravoúhlý průmět
jeho otočené polohy si odpovídají v pravoúhlé
afinitě, jejíž osou je průmět osy otáčení.
A1(za)
S1(0)
za
(A)
pr
Vzájemná poloha přímek
různoběžné přímky
rovnoběžné přímky
mimoběžné přímky
Příklad 9: Rozhodněte o vzájemné poloze přímek p = AB, q = CD:
A1(1)
D1(6)
Poznámka: Co když obě přímky leží v promítací rovině?
Příklad 10: Určete úhel přímek a = AB, b = BC:
C1(-1)
B1(4)
Kótované promítání – domácí práce
1. Určete kótu bodu D tak, aby přímky p = AB, q = CD byly různoběžné;
A(-2), B(3), C(1), D(?).
2. V kótovaném promítání sestrojte čtverec ABCD; známe-li jeho střed S(4),
rovinu čtverce a jeden jeho vrchol A.
Reference:
Urban, A.: Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1982.
Drábek, K., Harant, F., Setzer, O.: Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1978.
Kargerová, M, Mertl, P., Veselý, Z.: Inženýrská geometrie, ČVUT, Praha, 1996.