Transcript Axonometria
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Margita Vajsáblová
101
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Základné pojmy v axonometrii
102
Definícia 1: Axonometria je rovnobežné premietanie bodov 3 spolu s pravouhlým súradnicovým
systémom (O, x, y, z) do jednej priemetne , pričom sa súradnicové osi premietajú do
troch rôznych priamok.
– priemetňa,
s – smer premietania
z
Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (Oa, xa, ya, za)
Axonometrickým obrazom jednotkových úsečiek (s dĺžkou j) na osiach x, y a z sú
úsečky s dĺžkami jx, jy, jz na xa, ya, za.
j
j
za
O
j
x
s
jz
xa
y
jx O
a
jy
ya
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Základné pojmy v axonometrii
103
Pohlkeho veta: Tri úsečky v rovine, ktoré majú spoločný krajný bod a ležia na troch rôznych
priamkach, možno vždy považovať za rovnobežný priemet 3 susedných hrán kocky
(teda 3 navzájom kolmé a rovnako dlhé úsečky so spoločným začiatkom).
z
Axonometria je daná: (Oa, xa, ya, za, jx, jy, jz, j)
j
j
za
O
j
x
s
jz
xa
y
jx Oa jy
ya
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Obraz bodu v axonometrii
104
Obraz bodu A: A[xA, yA, zA] {Aa[xAa, yAa, zAa], pre súradnice bodu A platí:
y
A
A
x
j
jx
A
A
a
j
z
y
jy
xa x
A
ya y
A
A
A
j
xa
za
jz
za z
A
A
A
A
jx
A
j
jy
,
j
y .q kde q
A
j
jz
jx
x . p kde p
jy
z
,
j
z .r kde r
A
j
jz
j
.
A
xA
p, q, r nazývame koeficienty zmeny
(mierky) na osiach x, y, z.
za
Aa
xAa
xa
j
x
j
O
j
s
jz
y
jx Oa jy
ya
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Obraz bodu v axonometrii
105
Stačí jeden priemet bodu
v axonometrii ?
za
A2a
Oa
A3a
Aa
xa
ya
A1a
Nech A1, A2 a A3 sú kolmé priemety bodu A do súradnicových rovín. Bod A v axonometrii je
jednoznačne daný ľubovoľnou dvojicou z rovnobežných priemetov bodov A, A1, A2, A3 do
axonometrickej priemetne, teda:
Aa – axonometria bodu A,
A1a – axonometrický pôdorys bodu A,
A2a – axonometrický nárys bodu A,
A3a – axonometrický bokorys bodu A.
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Redukčná metóda v axonometrii
Úloha: V axonometrii, ktorá je daná (Oa, xa, ya, za, jx, jy, jz, j), zobraziť bod A[xA, yA, zA].
1. Grafické znázornenie koeficientov zmeny pomocou
redukčných trojuholníkov:
za
zAa
xAa
yAa
jx
zAa
jy
Oa
xAa
jz
A3a
jz
A2a
jx j
y
yAa
Aa
j
ya
j
j
xA
yA
zA
xa
A1a
2. Pomocou podobnosti zobrazíme xA xAa, yA yAa, zA zAa .
3. Dĺžky xAa, yAa, zAa nanášame na príslušné osi xa, ya, za.
4. Vykreslíme obraz bodu v axonometrii: Aa , A1a , A2a , A3a .
106
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
107
Obraz kružníc ležiacich v súradnicových rovinách v šikmej axonometrii
Rovnobežným priemetom kružnice, ktorá leží v ľubovoľnej súradnicovej rovine, (príp. v rovine
rovnobežnej so súradnicovou rovinou) je elipsa. Keďže súradnicové osi sú v skutočnosti navzájom
kolmé, potom priemery elipsy, ktoré sú rovnobežné s axonometrickými priemetmi osí, sú združené
priemery elipsy.
Úloha: V axonometrii danej (Oa, xa, ya, za, jx, jy, jz, j) zobraziť
za
kružnicu k [S, r] ležiacu v (x, y).
1. Redukčnou metódou určíme veľkosť združených
priemerov v smere osí x a y, a to redukciou
polomeru r:
jz
jx
Oa j
y
La
rx
ry
jx
j
Na
jy
xa
ry
j
r
r
2. Veľkosť rx nanesieme od S1a na rovnobežku s xa,
dostaneme priemer KaLa. Veľkosť ry nanesieme od S1a
na rovnobežku s ya, dostaneme priemer MaNa združený
s priemerom KaLa.
S1a Sa
Ka
rx
3. Rytzovou konštrukciou dourčíme osi elipsy.
4. Podobne konštruujeme kružnice k´, k´´, ktoré ležia v rovinách (x, z) a (y, z) .
ry
rx
Ma
ya
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Typy axonometrií
108
Základné rozdelenie axonometrií je podľa smeru premietania:
1.
KOLMÁ AXONOMETRIA, ak s,
2.
ŠIKMÁ AXONOMETRIA, ak s X .
Špeciálne druhy šikmých axonometrií:
1. Vojenská axonometria: xa ya, jx = jy = jz, teda
p:q:r=1:1:1
za
jz
j
Oa
.
2. Kavalierna axonometria: xa za, alebo ya za,
jx = jy = jz, teda p : q : r = 1 : 1 : 1
za
za
.
xa
jy
jz
j Oa
x
jz
j
jy
x
x
ya
xa
ya
Použitie: obrázky mapového charakteru, plány miest,
riešenie sídlisk a pod.
.
Oa jy
ya
xa
Vo vojenskej a kavaliernej axonometrii smer premietania
zviera s priemetňou uhol 45.
3. Šikmé premietanie: xa za, a p : q : r = 1 : i : 1
alebo ya za, a p : q : r = i : 1 : 1, 0 < i <1.
Špeciálnym prípadom šikmého premietania je
z
za
a
voľné rovnobežné premietanie, kedy číslo i = 1/2 a
(xa , ya) = 135.
.
xa
jz
jz
j Oa
j
jy
x
x
ya
xa
.
Oa jy
ya
Obraz kocky v rôznych typoch šikmých axonometrií
1. Vojenská axonometria:
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
109
2. Kavalierna axonometria:
za
za
za
xa
ya
xa
ya
ya
3. Šikmé premietanie:
za
xa
za
xa
ya
ya
xa
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
110
Blokdiagram topografickej plochy vo vojenskej axonometrii
Definícia 2: Blokdiagram je obraz topografickej plochy ohraničenej profilmi vo vertikálnych stenách
hranola v axonometrii (príp. v lineárnej perspektíve).
Úloha: Vo vojenskej axonometrii danej (Oa, xa, ya, za, xa ya, jx = jy = jz = j) zobraziť blokdiagram
topografickej plochy danej vrstevnicovým plánom.
za
x
za
Podklad:
Priesvitka:
O
3
2
O 1
1
y
xa
ya xa
ya
Postup:
1. Na podklade narysujeme súradnicovú sústavu a do súradnicovej roviny (x, y) prekreslíme
vrstevnicový plán.
2. Na priesvitný papier prekreslíme súradnicovú sústavu a obdĺžnik, ktorý ohraničuje vrstevnicový
plán. Na os z nanesieme kóty vrstevníc.
3. Priesvitný papier priložíme k podkladu tak, aby osi z splynuli a kóta vrstevnice splynula aby
splynula s bodom O podkladu a prekreslíme na priesvitku príslušnú vrstevnicu.
4. Na záver vykreslíme profily vo vertikálnych rovinách.