Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK Margita Vajsáblová Definícia rotačných plôch a základné pojmy Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK Definícia 1: Majme.
Download ReportTranscript Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK Margita Vajsáblová Definícia rotačných plôch a základné pojmy Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK Definícia 1: Majme.
Margita Vajsáblová
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 119
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 120
Definícia rotačných plôch a základné pojmy
Definícia 1: Majme os o, uhol v
v
0, 2
). Množina všetkých obrazov bodu A
o v rotácii o všetky uhly
0, 2
) je kružnica k
A
, ktorá prechádza bodom A, stred má na osi o a leží v rovine o – os rotácie, kolmej na os o.
k A Rotačná plocha
je útvar, ktorý vznikne rotáciou bodov krivky k (k ) a je tvorený všetkými kružnicami k
A
pre všetky body A
k.
o
o, k
k – určujúca krivka,
k A
– rovnobežkové kružnice:
k
- rovníkové (k
R
) – ich polomery tvoria lokálne maximum, - hrdlové (k
H
) – ich polomery tvoria lokálne minimum,
k H
- kráterové (k
K
) – ležia v dotykovej rovine, - všeobecné (k
A
).
k K A S A k A m
k R
Definícia 2: Meridiány (poludníky) – krivky, ktoré vzniknú rezom rotačnej plochy polrovinami, ktorých hraničnou priamkou je os rotácie. Vlastnosti rotačnej plochy: 1. Všetky meridiány jednej rotačnej plochy sú zhodné.
2. Rotačná plocha je súmerná podľa osi rotácie.
3. Rotačná plocha je súmerná podľa všetkých rovín obsahujúcich jej os.
Druhy rotačných plôch
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 121 -
1, Rotačné kvadratické plochy
– vznikajú rotáciou kužeľosečky okolo jej osi.
a, singulárne:
rotačná valcová plocha, rot. kužeľová plocha, 2 rovnobežné roviny
-
rovina.
Rotačné hyperboloidy:
o
z,
b, regulárne: dvojdielny
Guľová plocha: stred O[0, 0, 0],
x 2 + y 2 + z 2 = r 2
Rotačné elipsoidy: stred O[0, 0, 0], o
x
2
a
2
y
2
z
2
b
2 1
z, Rotačný paraboloid:
o
z :
z
x
2
a
2
y
2
x
2
y
2
a
2
z b
2 2 1
sploštený:
a > b
jednodielny:
x
2
a
2
y
2
z b
2 2 1
pozdĺžny:
a < b
Druhy rotačných plôch
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 122
2. Anuloid (torus, spirická plocha)
kružnice leží.
– plocha 4. stupňa, vzniká rotáciou kružnice okolo osi, ktorá v rovine
(x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ) 2 = 4 a 2 (x 2 + y 2 ) 3. Všeobecné rotačné plochy:
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 123
Obraz rotačnej plochy v Mongeovej projekcii
Úloha: Zostrojte obraz rotačnej plochy, ktorá je daná osou o
a určujúcou krivkou k[k
1 , k 2
].
Riešenie: Zostrojíme niekoľko rovnobežkových kružníc, ktoré vzniknú rotáciou bodov krivky k okolo osi o. Keďže os o je kolmá na pôdorysňu
, pôdorys rovnobežkovej kružnice k
A
je kružnica k
1 A
so stredom na osi o
1
podľa osi o
2
.
1. Zvolíme ľubovoľný A
k, [A
1
a polomerom r = |A
k 1 , A 2
k 2
].
1 o 1
|, nárys je úsečka s dĺžkou 2r súmerná
Y 2
2. k
1 A
= [S
1
=o
1
, r = |A
1 o 1
|].
o 2 k 2 m 2
3. k
2 A
= A´A´´- úsečka, A
2
o 2
, |S
2
A´| = |S
2
A´´| = r.
k 2 A , k 2 A
o 2
, S
2
H 2 R 2
4. Zostrojíme rovnobežkové kružnice ďalších bodov k
X
, k
Y
, ...
5. Ak existujú, zostrojíme hrdlovú kružnicu k a rovníkovú k
R .
H x 12 X´ A´ X 2 A 2 r k 2 A r A´´ Záver:
Pôdorys rotačnej plochy je medzikružie (príp.
kruh) ohraničené rovnobežkovými kružnicami s minimálnym a maximálnym polomerom.
m 1 k 1 H k 1 A
Obrys rotačnej plochy v náryse rovnobežnej s nárysňou: je m
2
, čo je nárys meridiánu m, ktorý leží v rovine
X 1 A 1 r H 1 o 1 k 1 Y 1 X´´ m 1
|| x
12 m 2
sú krivky prechádzajúce bodmi A´, B´, ... a A´´, B´´, ...
R 1
a, b,
Dotykové roviny rotačných plôch
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 124
Dotykovú rovinu rotačnej plochy najjednoduchšie určíme pomocou dotyčnice k rovnobežkovej kružnici a dotyčnice k meridiánu.
Veta: Dotyčnice k meridiánom rotačnej plochy v bodoch tej istej rovnobežkovej kružnice tvoria: a) V bodoch rovníka, alebo hrdlovej kružnice tvoria rotačnú valcovú plochu, ktorej osou je os rotačnej plochy.
b) V bodoch kráterovej kružnice, tvoria dotykovú rovinu.
c) Ak neplatí a,b, tvoria rotačnú kužeľovú plochu, ktorej osou je os rot. plochy.
c,
Obraz rotačnej plochy v kolmej axonometrii
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 125
Úloha: Zostrojte obraz rotačnej plochy, ktorá je daná osou o
z a meridiánom m. Riešenie: Zostrojíme niekoľko rovnobežkových kružníc rotačnej plochy. Keďže o kružnice ležia v rovinách rovnobežných so súradnicovou rovinou
z, rovnobežkové
(x, y). Ich obrazy v kolmej axonometrii sú elipsy, ktorých hlavné osi sú na hlavných priamkach, teda rovnobežné s axonometrickou stopou p roviny, dĺžky hlavných polosí sa rovnajú ich polomeru. Vedľajšie osi týchto elíps ležia na spádových priamkach rovín rovnobežných s rovine
, ktorá je premietacou rovinou aj osi o
, ktoré ležia v premietacej z. Prienik premietacej roviny
s rotačnou plochou je meridián m, ktorý je množinou spomínaných vedľajších vrcholov elíps.
Rovinu
sklopíme do axonometrickej priemetne
pomocou sklopenej polohy meridiánu zostrojíme spätne axonometrické obrazy stredov obrazu rovnobežkových kružníc, ich hlavné a vedľajšie ,
z a r A Z
z
vrcholy.
C A S A .
m r A
O
a S A C A
O
s .
.
Y
y
y a m
x
p X Konštrukcia je uvedená na nasledujúcej strane.
x a
1. Sklopíme premietaciu rovinu
osi z do priemetne
a posunieme (z)
(o) v smere sklápania o ľubovoľnú dĺžku, aby sa sklopená poloha neprekrývala s obrazom rotačnej plochy.
2. V premietacej rovine
leží meridián m rotačnej plochy, ktorý spája vedľajšie vrcholy rovnobežkových kružníc, zostrojíme (m).
3. Zostrojíme obraz ľubovoľnej rovnobežkovej kružnice k, ktorej v sklopení poznáme (S)
(C)
(m), elipsu k
a
:
z a
o a
•
stred S
a
: (S)
(o), S
a
z a
, (S) S
a
z a
,
(o),
•
hlavná os elipsy k kde r = |(S)(C)|,
a
: A
a B a
| | p, |A
a S a
| = |B
a S a
| = r,
(z ) V a (V)
•
vedľajšia os elipsy k
a
: (C)
(m), (C)C
a
z a
, C
a D a
p.
Z (z )
(o )
•
4. Určenie bodu obrysu na rovnobežkovej kružnici –
•
pomocou dotykovej kužeľovej plochy s vrcholom V: (V) je priesečník dotyčnice (m) v bode (C) s (o),
V a
z a
, (V)V
a
z a
,
M A a a k a r C S a a D a O a .
r B a
(O)
(S) .
r (C)
(O)
(s
) (m)
•
z V
a M a
zostrojíme dotyčnicu ku k je na obryse.
a
, dotykový bod
x a P p y a
4. Zostrojíme obrazy ďalších rovnobežkových kružníc a zostrojíme obrysovú krivku (pokračovanie na obrázku nie je z dôvodu prehľadnosti).
Obraz zemepisnej siete na rotačnom elipsoide (príp. guľovej
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 127 • •
ploche) v kolmej axonometrii
Úloha: Zostrojte obraz siete rovnobežiek a meridiánov (každých 45
) na sploštenom elipsoide, ktorého osou je o
z, stred je O a meridiánová elipsa má osi a = 5 cm, b = 4 cm.
Riešenie:
1. Sklopíme premietaciu rovinu
osi z do priemetne
a posunieme (z)
(o) v smere sklápania o ľubovoľnú dĺžku, aby
• • •
sa sklopená poloha neprekrývala s obrazom rotačnej plochy.
2. V premietacej rovine
leží meridián m rotačnej plochy, ktorý spája vedľajšie vrcholy rovnobežkových kružníc, zostrojíme (m), ktorý je elipsa s vedľajšou osou na (z)
(o).
3. Zostrojíme obraz rovníka k
a 0
podľa postupu na predchádzajúcej strane.
4. Prvky rovnobežkovej kružnice k
45
v sklopení určíme pomocou normály elipsy (m) v bode (C), ktorá zviera s rovinou rovníka uhol 45
, jej obraz k
a 45
zostrojíme tiež podľa predchádzajúceho postupu.
5. Zostrojíme obrazy pólov - severného a južného P
a S
, P
a J
.
6.
Obrazy meridiánov rovine rovníka: sú elipsy so spoločným priemerom P
a S P a J
na osi rotácie. Priemer k nemu združený určíme v
z a
o a (z )
(o )
Nech A je na meridiáne m
0
, teda A
a 0
M a 0
.
(z ) n
Bod M
a 45
určíme na rovníku k
a 0
perspektívnej afinity s osou A kolmým na os, ktorá zobrazí elipsu k kružnice k´
0
.
a 0 B a 0
pomocou so smerom
a 0
do
M´ 45 k´ 0
,
(M
a 0 O a
,M´
45 O a
) = 45
,
k a 45 P a S Z m a 45 (P S ) t r 45 45
(C 45 ) M a 45
k a 0
, M
a 45 M´ 45
A a 0 B a 0
.
Osi meridiánovej Rytzovou konštrukciou.
elipsy dourčíme
k a 0 M a 0
A a 0 r 0 =a 45
O a .
(O)
B a 0 (S 45 ) .
(O)
r 0 = a r -45
7.
Obrys elipsoidu os je na (z)
je elipsa s osou A (o),
a 0 B a 0
, druhá dourčíme ju pomocou dotyčníc k sklopenému meridiánu, rovnobežných so smerom sklápania.
M a 45 M´ 45 P a J k´ 0 (S -45 ) (P J ) (m)
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 128
Kolmý priemet guľovej plochy do roviny tiež nazývame ortografické zobrazenie.
Kolmá axonometria je ortografické zobrazenie vo všeobecnej polohe, teda zemská os nie je rovnobežná s priemetňou, ani nie je kolmá na priemetňu.
Na obrázku je ukážka práce študenta vytvorená pomocou programu AutoCAD.
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 129
Na obrázku je ukážka práce študenta obrazu zemepisnej siete guľovej plochy v kolmej axonometrii.