Transcript Rovnobežné premietanie
Slide 1
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Margita Vajsáblová
7
Slide 2
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Premietanie
stredové
rovnobežné
8
Slide 3
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
9
Stredové premietanie
Definícia 1: Stredové premietanie je zobrazenie f : (E3 – {S}) , kde S ,
ktoré každému bodu A E3 – {S} priradí bod AS , kde
AS = SA .
– priemetňa,
S – stred premietania, S .
S
A
AS
Slide 4
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Rovnobežné premietanie
Definícia 2: Rovnobežné premietanie je zobrazenie f : E3 , ktoré
každému bodu A E3 priradí bod A1 taký, že AA1s,
pričom s Ⅹ .
– priemetňa,
s – smer premietania, s Ⅹ ,
AA1 – premietacia priamka bodu A.
A
s
A1
B ≡ B1
Ak bod B leží v priemetni priemet bodu B ≡ B1.
10
Slide 5
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Rovnobežný priemet priamky
Veta 1: Rovnobežným priemetom priamky rovnobežnej so smerom premietania je bod,
inak priamka.
Definícia 3: Priesečník priamky s priemetňou nazývame stopník priamky, teda
stopník priamky a: a = Pa.
a, Ak priamka a s,
potom a1 ≡ Pa .
b, Ak priamka b Ⅹ s,
potom b1 je priamka.
s
b
c, Ak priamka c ,
potom c1 c.
c
a
Pa ≡ a1
Pb
b1
c1
Poznámka: Priamky rovnobežné s priemetňou nazývame hlavné priamky.
11
Slide 6
Rovnobežný priemet roviny
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Veta 2: Rovnobežným priemetom roviny rovnobežnej so smerom premietania je priamka,
inak celá priemetňa.
Definícia 4: Priesečnicu roviny s priemetňou nazývame stopa roviny, teda stopa roviny :
= p.
a, Ak rovina s,
potom 1 ≡ p .
b, Ak rovina , potom útvary
ležiace v sa zobrazujú do útvarov
zhodných.
c, Ak rovina Ⅹ , Ⅹ s potom
priemetom roviny je celá
priemetňa.
s
A
h
p
1 ≡ p
s
o
A1
Definícia 5: Hlavné priamky roviny sú priamky rovnobežné s priemetňou (aj so stopou roviny),
označujeme ich h, h , h p.
Spádové priamky roviny sú priamky kolmé na hlavné priamky roviny (stopu
roviny), označujeme ich s, s h ,(s p).
Poznámka: K označeniu hlavných a spádových priamok pridávame index, ktorý znamená
príslušnosť priamky k rovine, napr. h, s, h , s, h , s ... ,
12
Slide 7
Vlastnosti rovnobežného premietania
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Veta 3: Rovnobežným priemetom dvoch rovnobežných priamok sú buď dva body
alebo dve rovnobežné priamky (príp. totožné priamky).
a, Ak priamky a b s,
potom a1 a b1 sú body.
b, Ak priamky a b Ⅹ s, potom a1 b1.
a
b
s
a
a1
b1
a1
b
b1
13
Slide 8
Vlastnosti rovnobežného premietania
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Veta 4: Rovnobežné premietanie zachováva kolinearitu 3 bodov na priamke.
Definícia 6: Nech A, B, C, kde B C ležia na jednej priamke. Potom deliaci pomer
bodu C vzhľadom na body A, B je číslo:
A, B ; C
AC
BC
Veta 5: Rovnobežné premietanie zachováva deliaci pomer 3 bodov na priamke,
ktorá nie je rovnobežná so smerom premietania.
s
C
Dôkaz: Zostrojme na CC1 body C* a C** tak,
že AC* a1 a BC** a1.
Potom platí, že AC*C BC**C, a teda:
C**
C*
B
A
a
a1
A1
B1
C1
A, B ; C
AC
BC
AC
BC
*
**
A1C 1
B1 C 1
A1 , B1 ; C 1
14
Slide 9
Kolmé premietanie a jeho vlastnosti
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
15
Definícia 7: Kolmé premietanie je taký druh rovnobežného premietania, kedy smer
premietania s je kolmý na priemetňu.
Poznámka: Uvedieme niektoré špeciálne vlastnosti kolmých priemetov útvarov.
B a
A
A1
s
o
A
A1B1
A1
B1 a1
Veta 6: Nech AB je úsečka, ktorá leží na priamke a a nech priamka a zviera
s priemetňou uhol . Potom pre jej kolmý priemet A1B1 platí:
A1B1 = AB cos .
Slide 10
Kolmé premietanie a jeho vlastnosti
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
b
s
a
o
a1
o
o
b1
Veta 7: (o kolmom priemete pravého uhla): Nech priamka a , nech b a a b
nie je kolmá na . Potom kolmé priemety priamok a, b sú kolmé, teda
a1 b1.
16
Slide 11
Kolmé premietanie a jeho vlastnosti
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
17
k
α
sα
s
hα
o
o
o
o
α
h
1
o
sα1 ≡ k1
pα
Dôsledky vety o kolmom priemete pravého uhla:
- Kolmý priemet spádovej priamky roviny je kolmý na kolmé priemety jej
hlavných priamok (na stopu roviny):
s1 h1 ( p ).
- Kolmý priemet kolmice na rovinu je kolmý na kolmé priemety jej
hlavných priamok (na stopu roviny):
k1 h1 ( p ), teda platí, že k1 s1 , ak majú spoločnú premietaciu rovinu.
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Margita Vajsáblová
7
Slide 2
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Premietanie
stredové
rovnobežné
8
Slide 3
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
9
Stredové premietanie
Definícia 1: Stredové premietanie je zobrazenie f : (E3 – {S}) , kde S ,
ktoré každému bodu A E3 – {S} priradí bod AS , kde
AS = SA .
– priemetňa,
S – stred premietania, S .
S
A
AS
Slide 4
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Rovnobežné premietanie
Definícia 2: Rovnobežné premietanie je zobrazenie f : E3 , ktoré
každému bodu A E3 priradí bod A1 taký, že AA1s,
pričom s Ⅹ .
– priemetňa,
s – smer premietania, s Ⅹ ,
AA1 – premietacia priamka bodu A.
A
s
A1
B ≡ B1
Ak bod B leží v priemetni priemet bodu B ≡ B1.
10
Slide 5
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Rovnobežný priemet priamky
Veta 1: Rovnobežným priemetom priamky rovnobežnej so smerom premietania je bod,
inak priamka.
Definícia 3: Priesečník priamky s priemetňou nazývame stopník priamky, teda
stopník priamky a: a = Pa.
a, Ak priamka a s,
potom a1 ≡ Pa .
b, Ak priamka b Ⅹ s,
potom b1 je priamka.
s
b
c, Ak priamka c ,
potom c1 c.
c
a
Pa ≡ a1
Pb
b1
c1
Poznámka: Priamky rovnobežné s priemetňou nazývame hlavné priamky.
11
Slide 6
Rovnobežný priemet roviny
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Veta 2: Rovnobežným priemetom roviny rovnobežnej so smerom premietania je priamka,
inak celá priemetňa.
Definícia 4: Priesečnicu roviny s priemetňou nazývame stopa roviny, teda stopa roviny :
= p.
a, Ak rovina s,
potom 1 ≡ p .
b, Ak rovina , potom útvary
ležiace v sa zobrazujú do útvarov
zhodných.
c, Ak rovina Ⅹ , Ⅹ s potom
priemetom roviny je celá
priemetňa.
s
A
h
p
1 ≡ p
s
o
A1
Definícia 5: Hlavné priamky roviny sú priamky rovnobežné s priemetňou (aj so stopou roviny),
označujeme ich h, h , h p.
Spádové priamky roviny sú priamky kolmé na hlavné priamky roviny (stopu
roviny), označujeme ich s, s h ,(s p).
Poznámka: K označeniu hlavných a spádových priamok pridávame index, ktorý znamená
príslušnosť priamky k rovine, napr. h, s, h , s, h , s ... ,
12
Slide 7
Vlastnosti rovnobežného premietania
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Veta 3: Rovnobežným priemetom dvoch rovnobežných priamok sú buď dva body
alebo dve rovnobežné priamky (príp. totožné priamky).
a, Ak priamky a b s,
potom a1 a b1 sú body.
b, Ak priamky a b Ⅹ s, potom a1 b1.
a
b
s
a
a1
b1
a1
b
b1
13
Slide 8
Vlastnosti rovnobežného premietania
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Veta 4: Rovnobežné premietanie zachováva kolinearitu 3 bodov na priamke.
Definícia 6: Nech A, B, C, kde B C ležia na jednej priamke. Potom deliaci pomer
bodu C vzhľadom na body A, B je číslo:
A, B ; C
AC
BC
Veta 5: Rovnobežné premietanie zachováva deliaci pomer 3 bodov na priamke,
ktorá nie je rovnobežná so smerom premietania.
s
C
Dôkaz: Zostrojme na CC1 body C* a C** tak,
že AC* a1 a BC** a1.
Potom platí, že AC*C BC**C, a teda:
C**
C*
B
A
a
a1
A1
B1
C1
A, B ; C
AC
BC
AC
BC
*
**
A1C 1
B1 C 1
A1 , B1 ; C 1
14
Slide 9
Kolmé premietanie a jeho vlastnosti
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
15
Definícia 7: Kolmé premietanie je taký druh rovnobežného premietania, kedy smer
premietania s je kolmý na priemetňu.
Poznámka: Uvedieme niektoré špeciálne vlastnosti kolmých priemetov útvarov.
B a
A
A1
s
o
A
A1B1
A1
B1 a1
Veta 6: Nech AB je úsečka, ktorá leží na priamke a a nech priamka a zviera
s priemetňou uhol . Potom pre jej kolmý priemet A1B1 platí:
A1B1 = AB cos .
Slide 10
Kolmé premietanie a jeho vlastnosti
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
b
s
a
o
a1
o
o
b1
Veta 7: (o kolmom priemete pravého uhla): Nech priamka a , nech b a a b
nie je kolmá na . Potom kolmé priemety priamok a, b sú kolmé, teda
a1 b1.
16
Slide 11
Kolmé premietanie a jeho vlastnosti
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
17
k
α
sα
s
hα
o
o
o
o
α
h
1
o
sα1 ≡ k1
pα
Dôsledky vety o kolmom priemete pravého uhla:
- Kolmý priemet spádovej priamky roviny je kolmý na kolmé priemety jej
hlavných priamok (na stopu roviny):
s1 h1 ( p ).
- Kolmý priemet kolmice na rovinu je kolmý na kolmé priemety jej
hlavných priamok (na stopu roviny):
k1 h1 ( p ), teda platí, že k1 s1 , ak majú spoločnú premietaciu rovinu.