Transcript Stredové premietanie
Slide 1
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Margita Vajsáblová
151
Slide 2
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Obraz útvaru ležiaceho v rovine rovnobežnej s
152
Nech útvar U , kde: , potom U US .
d
H
d’
S
• Útvar U a útvar US sú rovnoľahlé, kde
stredom rovnoľahlosti je S a koeficient
rovnoľahlosti je
k
d
d'
S,
S ,
Slide 3
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Deliaci pomer bodov na priamke v stredovom premietaní
1. Ak je priamka rovnobežná s priemetňou,v stredovom premietaní sa na nej zachováva deliaci pomer.
Dané: A, B na hlavnej priamke roviny .
uS
1
Konštrukcia bodu C, ak (A, B; C) = .
3
4
H
3
2
Riešenie pomocou podobnosti trojuholníkov.
1
d
AS
hS
CS
BS
p
2. Ak priamka a nie je rovnobežná s priemetňou,v stredovom premietaní sa na nej nezachováva deliaci
pomer.
Dané: A, B na ľubovoľnej priamke roviny a(Pa, USa).
d
Konštrukcia bodu C, ak (A, B; C) = - 1 .
H
3
•Zvolíme ľubovoľnú rovinu , v ktorej leží priamka a.
•Bodom A zostrojíme hlavnú priamku roviny .
•Na hlavnej priamke hS zostrojíme body B´ a C´ tak, aby
platilo (A, B; C) = (A, B´; C´).
•Zostrojíme bod US - tzv. úbežník delenia, ako priesečník
priamky BSB´ a úbežnice uS , teda US = BSB´ uS .
•Z bodu US premietneme bod C´ na priamku aS, CS = USC´
aS .
USa
uS
US
aS
BS
CS
Pa
AS 1 = C´ 2
3
4 = B´
hS
p
153
Slide 4
Otáčanie smerovej roviny ´ roviny do priemetne
S0
s1’
USs
rS
S0
(kS )
.
S
’
s’
uS
USs
rS
.
d
p
H
154
Konštrukcia otočenej polohy stredu premietania S v otáčaní smerovej
roviny α´ roviny α:
• Os otáčania – uSα.
• Kružnica otáčania bodu S – v rovine kolmej na os otáčania v kolmo
premietacej rovine priamky smerovej spádovej sα´.
• Stred otáčania bodu S – úbežník spádových priamok roviny α USs.
• Polomer otáčania bodu S je rs =S USs (zistíme v sklopení premietacej
roviny priamky sα´).
• Otočená poloha bodu S je bod S0 = uSα (ks) = [USs , rs = (S) USs ].
kS
s ’
1
uS
H
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
p
d
(S)
(s’ )
Slide 5
Použitie otočenia smerovej roviny α´ do priemetne :
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
155
Zistiť graficky uhol priamok a, b ležiacich v rovine α.
Uhol priamok a, b sa rovná uhlu ich smerových priamok:
(a, b)= (a´, b´)= (a 0´, b 0´)
S0
kS
Otočená poloha priamok a´, b´: a0´= S0 USa , b0´= S0 USb.
b´0
USb
a´0
S0
s
a
US
uS
US
rS
a´0
a
S
H
a’
Pb
p
US
’
uS
s1’
(a, b)
b´0
rS
H
b’
d
Pa
USb
(kS )
USs
(S)
(s’ )
aS
b
a
bS
Pa
Pb
p
Slide 6
Zistiť graficky dĺžku úsečky.
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
1. Úsečka AB leží na hlavnej priamke roviny α:
• Posunieme úsečku AB na stopu p ľubovoľným smerom, teda
zvolíme U uS
USAS p = A*, USBS p = B*.
AB = A*B*.
uS
US
S
Pb
US
uS
H
’
d
p
B*
A*
h
AB
A
BS
AS
hS
p
B
A*
AB
H
a
AB
B*
156
Slide 7
M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Zistiť graficky dĺžku úsečky. 2. Úsečka AB leží na ľubovoľnejVajsáblová,
priamke a:
• Zvolíme ľubovoľnú rovinu α, v ktorej leží priamka a = AB.
• Otočíme úsečku AB na stopu p okolo stopníka Pa do A*B* a platí: AB =
A*B*.
• Otočenie nahradíme rovnobežným premietaním, úbežník tohto smeru
premietania a nazývame merací bod priamky a a platí:
• a uS , aUSa = USa S = USa S 0.
• Potom aAS p = A*, aBS p = B*, AB = A*B*.
a´0
S0
k
USa S
a
s1’
kS
USa S
USs
k
uS
USa
S
H
AB
a´0
S0
a’
p
B*
s’
USa
’
uS
aS
A*
USs
BS
(kS )
a
(S)
H d
(s’ )
Pa
A
AB
B
AS
a
B*
AB
Pa
p
A*
Kružnica meracích bodov priamok smeru a leží v priemetni a k = [USa,r = USa S].
157
Slide 8
Priamka kolmá na rovinu
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
158
Kolmica na rovinu je kolmá na všetky priamky roviny α, teda aj na spádovú priamku roviny α.
• Smerová kolmica k´ na rovinu α leží v spoločnej premietacej rovine ´ so smerovou spádovou priamkou
roviny α USk - úbežník kolmíc na rovinu α leží na priamke s1’ k1´ .
• V sklopení premietacej roviny ´ platí: (s’ ) (k´).
• Teda USk= (k´ ) k1´ s1’ .
’
s1
p
k1´ uS
uS
Pk
.
.
AB
’
.
p
US
k
k
s
AS
.
US .
k
BS
sS
A*
PS
uS
s
H
B*
’
s’
S
.
kS=USkAS
k’
USs
H
d
•
s1’ k1´ uS
p
(s’ )
.
.
(k’ )
(S)
AS
p
kS
USk
• Merací bod k kolmice k leží na úbežnici roviny (s, k), kde
uS s1’ k1´ a platí |USk(S)| = |USkk| .
• p - stopa roviny prechádza stopníkom Ps spádovej priamky
sS =AS USs a je rovnobežná s uS .
• Dĺžku úsečky ležiacej na priamke k zistíme premietnutím na
stopu p cez k: ASk p = A*, BSk p = B*, AB =
A*B*.
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Margita Vajsáblová
151
Slide 2
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Obraz útvaru ležiaceho v rovine rovnobežnej s
152
Nech útvar U , kde: , potom U US .
d
H
d’
S
• Útvar U a útvar US sú rovnoľahlé, kde
stredom rovnoľahlosti je S a koeficient
rovnoľahlosti je
k
d
d'
S,
S ,
Slide 3
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Deliaci pomer bodov na priamke v stredovom premietaní
1. Ak je priamka rovnobežná s priemetňou,v stredovom premietaní sa na nej zachováva deliaci pomer.
Dané: A, B na hlavnej priamke roviny .
uS
1
Konštrukcia bodu C, ak (A, B; C) = .
3
4
H
3
2
Riešenie pomocou podobnosti trojuholníkov.
1
d
AS
hS
CS
BS
p
2. Ak priamka a nie je rovnobežná s priemetňou,v stredovom premietaní sa na nej nezachováva deliaci
pomer.
Dané: A, B na ľubovoľnej priamke roviny a(Pa, USa).
d
Konštrukcia bodu C, ak (A, B; C) = - 1 .
H
3
•Zvolíme ľubovoľnú rovinu , v ktorej leží priamka a.
•Bodom A zostrojíme hlavnú priamku roviny .
•Na hlavnej priamke hS zostrojíme body B´ a C´ tak, aby
platilo (A, B; C) = (A, B´; C´).
•Zostrojíme bod US - tzv. úbežník delenia, ako priesečník
priamky BSB´ a úbežnice uS , teda US = BSB´ uS .
•Z bodu US premietneme bod C´ na priamku aS, CS = USC´
aS .
USa
uS
US
aS
BS
CS
Pa
AS 1 = C´ 2
3
4 = B´
hS
p
153
Slide 4
Otáčanie smerovej roviny ´ roviny do priemetne
S0
s1’
USs
rS
S0
(kS )
.
S
’
s’
uS
USs
rS
.
d
p
H
154
Konštrukcia otočenej polohy stredu premietania S v otáčaní smerovej
roviny α´ roviny α:
• Os otáčania – uSα.
• Kružnica otáčania bodu S – v rovine kolmej na os otáčania v kolmo
premietacej rovine priamky smerovej spádovej sα´.
• Stred otáčania bodu S – úbežník spádových priamok roviny α USs.
• Polomer otáčania bodu S je rs =S USs (zistíme v sklopení premietacej
roviny priamky sα´).
• Otočená poloha bodu S je bod S0 = uSα (ks) = [USs , rs = (S) USs ].
kS
s ’
1
uS
H
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
p
d
(S)
(s’ )
Slide 5
Použitie otočenia smerovej roviny α´ do priemetne :
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
155
Zistiť graficky uhol priamok a, b ležiacich v rovine α.
Uhol priamok a, b sa rovná uhlu ich smerových priamok:
(a, b)= (a´, b´)= (a 0´, b 0´)
S0
kS
Otočená poloha priamok a´, b´: a0´= S0 USa , b0´= S0 USb.
b´0
USb
a´0
S0
s
a
US
uS
US
rS
a´0
a
S
H
a’
Pb
p
US
’
uS
s1’
(a, b)
b´0
rS
H
b’
d
Pa
USb
(kS )
USs
(S)
(s’ )
aS
b
a
bS
Pa
Pb
p
Slide 6
Zistiť graficky dĺžku úsečky.
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
1. Úsečka AB leží na hlavnej priamke roviny α:
• Posunieme úsečku AB na stopu p ľubovoľným smerom, teda
zvolíme U uS
USAS p = A*, USBS p = B*.
AB = A*B*.
uS
US
S
Pb
US
uS
H
’
d
p
B*
A*
h
AB
A
BS
AS
hS
p
B
A*
AB
H
a
AB
B*
156
Slide 7
M.: Deskriptívna geometria pre GaK
Zistiť graficky dĺžku úsečky. 2. Úsečka AB leží na ľubovoľnejVajsáblová,
priamke a:
• Zvolíme ľubovoľnú rovinu α, v ktorej leží priamka a = AB.
• Otočíme úsečku AB na stopu p okolo stopníka Pa do A*B* a platí: AB =
A*B*.
• Otočenie nahradíme rovnobežným premietaním, úbežník tohto smeru
premietania a nazývame merací bod priamky a a platí:
• a uS , aUSa = USa S = USa S 0.
• Potom aAS p = A*, aBS p = B*, AB = A*B*.
a´0
S0
k
USa S
a
s1’
kS
USa S
USs
k
uS
USa
S
H
AB
a´0
S0
a’
p
B*
s’
USa
’
uS
aS
A*
USs
BS
(kS )
a
(S)
H d
(s’ )
Pa
A
AB
B
AS
a
B*
AB
Pa
p
A*
Kružnica meracích bodov priamok smeru a leží v priemetni a k = [USa,r = USa S].
157
Slide 8
Priamka kolmá na rovinu
Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK
158
Kolmica na rovinu je kolmá na všetky priamky roviny α, teda aj na spádovú priamku roviny α.
• Smerová kolmica k´ na rovinu α leží v spoločnej premietacej rovine ´ so smerovou spádovou priamkou
roviny α USk - úbežník kolmíc na rovinu α leží na priamke s1’ k1´ .
• V sklopení premietacej roviny ´ platí: (s’ ) (k´).
• Teda USk= (k´ ) k1´ s1’ .
’
s1
p
k1´ uS
uS
Pk
.
.
AB
’
.
p
US
k
k
s
AS
.
US .
k
BS
sS
A*
PS
uS
s
H
B*
’
s’
S
.
kS=USkAS
k’
USs
H
d
•
s1’ k1´ uS
p
(s’ )
.
.
(k’ )
(S)
AS
p
kS
USk
• Merací bod k kolmice k leží na úbežnici roviny (s, k), kde
uS s1’ k1´ a platí |USk(S)| = |USkk| .
• p - stopa roviny prechádza stopníkom Ps spádovej priamky
sS =AS USs a je rovnobežná s uS .
• Dĺžku úsečky ležiacej na priamke k zistíme premietnutím na
stopu p cez k: ASk p = A*, BSk p = B*, AB =
A*B*.